Évariste Galois -Évariste Galois

Évariste Galois
Evariste galois.jpg
Um retrato de Évariste Galois com cerca de 15 anos
Nascermos ( 1811-10-25 )25 de outubro de 1811
Faleceu 31 de maio de 1832 (1832-05-31)(20 anos)
Alma mater École préparatoire
Conhecido por Trabalho sobre teoria das equações , teoria dos grupos e teoria de Galois
Carreira científica
Campos Matemática
Influências Adrien-Marie Legendre
Joseph-Louis Lagrange
Assinatura
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Évariste Galois ( / ɡ æ l w ɑː / ; francês:  [evaʁist ɡalwa] ; 25 de outubro de 1811 - 31 de maio de 1832) foi um matemático e ativista político francês. Ainda na adolescência, ele foi capaz de determinar uma condição necessária e suficiente para que um polinômio fosse solúvel por radicais , resolvendo assim um problema que estava em aberto há 350 anos. Seu trabalho lançou as bases para a teoria de Galois e a teoria dos grupos , dois ramos principais da álgebra abstrata .. Ele era um republicano convicto e estava fortemente envolvido na turbulência política que cercou a Revolução Francesa de 1830 . Como resultado de seu ativismo político, ele foi preso repetidamente, cumprindo uma pena de prisão de vários meses. Por razões que permanecem obscuras, logo após sua libertação da prisão ele lutou em um duelo e morreu dos ferimentos que sofreu.

Vida

Vida pregressa

Galois nasceu em 25 de outubro de 1811 para Nicolas-Gabriel Galois e Adélaïde-Marie (nascida Demante). Seu pai era republicano e chefe do partido liberal de Bourg-la-Reine . Seu pai tornou-se prefeito da vila depois que Luís XVIII voltou ao trono em 1814. Sua mãe, filha de um jurista , era uma leitora fluente de latim e literatura clássica e foi responsável pela educação do filho nos primeiros doze anos.

O Cour d'honneur do Lycée Louis-le-Grand , que Galois frequentou quando menino.

Em outubro de 1823, ingressou no Lycée Louis-le-Grand , aos 14 anos, começou a se interessar seriamente pela matemática .

Encontrou um exemplar de Éléments de Géométrie , de Adrien-Marie Legendre , que, diz-se, leu "como um romance" e dominou na primeira leitura. Aos 15 anos, ele estava lendo os artigos originais de Joseph-Louis Lagrange , como Réflexions sur la résolution algébrique des équations que provavelmente motivaram seu trabalho posterior na teoria das equações, e Leçons sur le calcul des fonctions , trabalho destinado a matemáticos profissionais, mas seu trabalho de aula permaneceu sem inspiração e seus professores o acusaram de afetar a ambição e a originalidade de maneira negativa.

Matemático iniciante

Em 1828, tentou o vestibular para a École Polytechnique , a instituição de matemática mais prestigiada da França na época, sem a preparação usual em matemática, e falhou por falta de explicações no exame oral. Nesse mesmo ano, ingressou na École Normale (então conhecida como l'École préparatoire), uma instituição muito inferior para estudos matemáticos na época, onde encontrou alguns professores simpáticos a ele.

Augustin-Louis Cauchy revisou os primeiros trabalhos matemáticos de Galois.

No ano seguinte , foi publicado o primeiro artigo de Galois, sobre frações contínuas . Foi por volta da mesma época que ele começou a fazer descobertas fundamentais na teoria das equações polinomiais . Ele apresentou dois artigos sobre este tema para a Academia de Ciências . Augustin-Louis Cauchy referenciou esses artigos, mas recusou-se a aceitá-los para publicação por razões que ainda permanecem obscuras. No entanto, apesar de muitas alegações em contrário, é amplamente aceito que Cauchy reconheceu a importância do trabalho de Galois, e que ele apenas sugeriu combinar os dois trabalhos em um só para inscrevê-lo na competição para o Grande Prêmio da Academia em Matemática. . Cauchy, um eminente matemático da época, embora com visões políticas opostas às de Galois, considerou o trabalho de Galois um provável vencedor.

Em 28 de julho de 1829, o pai de Galois morreu por suicídio após uma amarga disputa política com o padre da aldeia. Alguns dias depois, Galois fez sua segunda e última tentativa de entrar na Politécnica e falhou mais uma vez. É indiscutível que Galois era mais do que qualificado; no entanto, os relatos divergem sobre por que ele falhou. Relatos mais plausíveis afirmam que Galois fez muitos saltos lógicos e confundiu o examinador incompetente, o que enfureceu Galois. A morte recente de seu pai também pode ter influenciado seu comportamento.

Tendo sido negada a admissão na École polytechnique , Galois fez os exames de Bacharelado para entrar na École normale . Ele passou, recebendo seu diploma em 29 de dezembro de 1829. Seu examinador em matemática relatou: "Este aluno às vezes é obscuro ao expressar suas idéias, mas ele é inteligente e mostra um notável espírito de pesquisa".

Ele apresentou seu livro de memórias sobre a teoria das equações várias vezes, mas nunca foi publicado em sua vida devido a vários eventos. Embora sua primeira tentativa tenha sido recusada por Cauchy, em fevereiro de 1830, seguindo a sugestão de Cauchy, ele a apresentou ao secretário da Academia, Joseph Fourier , para ser considerado para o Grande Prêmio da Academia. Infelizmente, Fourier morreu logo depois, e as memórias foram perdidas. O prêmio seria entregue naquele ano a Niels Henrik Abel postumamente e também a Carl Gustav Jacob Jacobi . Apesar das memórias perdidas, Galois publicou três artigos naquele ano. Um lançou as bases para a teoria de Galois . A segunda foi sobre a resolução numérica de equações ( encontrar raízes na terminologia moderna). A terceira foi importante na teoria dos números , na qual o conceito de um corpo finito foi articulado pela primeira vez.

Incendiário político

Batalha pela Câmara Municipal por Jean-Victor Schnetz . Galois, como um republicano convicto, teria querido participar da Revolução de Julho de 1830, mas foi impedido pelo diretor da École Normale.

Galois viveu durante um período de turbulência política na França. Carlos X sucedeu a Luís XVIII em 1824, mas em 1827 seu partido sofreu um grande revés eleitoral e em 1830 o partido liberal da oposição tornou-se a maioria . Carlos, confrontado com a oposição política das câmaras, encenou um golpe de estado e emitiu suas notórias Ordenações de Julho , dando início à Revolução de Julho, que terminou com Luís Filipe tornando-se rei. Enquanto seus colegas da Polytechnique faziam história nas ruas, Galois, da École Normale , foi trancado pelo diretor da escola. Galois ficou furioso e escreveu uma carta veemente criticando o diretor, que ele submeteu à Gazette des Écoles , assinando a carta com seu nome completo. Embora o editor da Gazeta tenha omitido a assinatura para publicação, Galois foi expulso.

Embora sua expulsão tenha entrado em vigor formalmente em 4 de janeiro de 1831, Galois abandonou a escola imediatamente e se juntou à unidade de artilharia firmemente republicana da Guarda Nacional . Ele dividia seu tempo entre seu trabalho matemático e suas afiliações políticas. Devido à polêmica em torno da unidade, logo após Galois se tornar membro, em 31 de dezembro de 1830, a artilharia da Guarda Nacional foi dissolvida por medo de desestabilizar o governo. Por volta da mesma época, dezenove oficiais da antiga unidade de Galois foram presos e acusados ​​de conspiração para derrubar o governo.

Em abril de 1831, os oficiais foram absolvidos de todas as acusações e, em 9 de maio de 1831, foi realizado um banquete em sua homenagem, com a presença de muitas pessoas ilustres, como Alexandre Dumas . O processo ficou tumultuado. A certa altura, Galois levantou-se e propôs um brinde no qual dizia: "A Louis Philippe ", com um punhal sobre a taça. Os republicanos no banquete interpretaram o brinde de Galois como uma ameaça contra a vida do rei e aplaudiram. Ele foi preso no dia seguinte na casa de sua mãe e mantido em detenção na prisão de Sainte-Pélagie até 15 de junho de 1831, quando foi julgado. O advogado de defesa de Galois afirmou habilmente que Galois realmente disse: "Para Louis-Philippe, se ele trair ", mas que a qualificação foi abafada pelos aplausos. O promotor fez mais algumas perguntas e, talvez influenciado pela juventude de Galois, o júri o absolveu no mesmo dia.

No dia da Bastilha seguinte (14 de julho de 1831), Galois estava à frente de um protesto, vestindo o uniforme da artilharia dissolvida, e veio fortemente armado com várias pistolas, um rifle carregado e um punhal. Ele foi novamente preso. Durante sua permanência na prisão, Galois em um ponto bebeu álcool pela primeira vez na incitação de seus companheiros de prisão. Um desses presos, François-Vincent Raspail , registrou o que Galois disse embriagado em uma carta de 25 de julho. Extraído da carta:

E digo-vos que morrerei num duelo por ocasião de alguma coquete de bas étage . Por quê? Porque ela vai me convidar a vingar sua honra que outro comprometeu.
Sabe o que me falta, meu amigo? Só posso confiar a você: é alguém a quem posso amar e amar apenas em espírito. Perdi meu pai e ninguém o substituiu, está me ouvindo...?

A primeira linha é uma profecia assustadora de como Galois de fato morreria; a segunda mostra como Galois foi profundamente afetado pela perda de seu pai. Raspail continua que Galois, ainda em delírio, tentou suicídio, e que ele teria conseguido se seus companheiros de prisão não o tivessem parado à força. Meses depois, quando o julgamento de Galois ocorreu em 23 de outubro, ele foi condenado a seis meses de prisão por usar uniforme ilegalmente. Enquanto estava na prisão, ele continuou a desenvolver suas idéias matemáticas. Ele foi libertado em 29 de abril de 1832.

Últimos dias

Siméon Denis Poisson revisou o artigo de Galois sobre a teoria das equações e o declarou "incompreensível".

Galois retornou à matemática após sua expulsão da École Normale , embora continuasse a passar algum tempo em atividades políticas. Depois que sua expulsão se tornou oficial em janeiro de 1831, ele tentou iniciar uma aula particular de álgebra avançada que atraiu algum interesse, mas isso diminuiu, pois parecia que seu ativismo político tinha prioridade. Siméon Denis Poisson pediu-lhe para apresentar seu trabalho sobre a teoria das equações , o que ele fez em 17 de janeiro de 1831. Por volta de 4 de julho de 1831, Poisson declarou o trabalho de Galois "incompreensível", declarando que "o argumento [de Galois] não é suficientemente claro nem suficientemente desenvolvido para nos permitir julgar o seu rigor"; no entanto, o relatório de rejeição termina com uma nota encorajadora: "Sugerimos então que o autor publique a totalidade de sua obra para formar uma opinião definitiva." Embora o relatório de Poisson tenha sido feito antes da prisão de Galois em 14 de julho, levou até outubro para chegar a Galois na prisão. Não é surpreendente, à luz de seu caráter e situação na época, que Galois reagiu violentamente à carta de rejeição e decidiu abandonar a publicação de seus trabalhos pela Academia e, em vez disso, publicá-los em particular por meio de seu amigo Auguste Chevalier. Aparentemente, no entanto, Galois não ignorou o conselho de Poisson, pois começou a coletar todos os seus manuscritos matemáticos enquanto ainda estava na prisão e continuou polindo suas ideias até sua libertação em 29 de abril de 1832, após o qual ele foi de alguma forma convencido a um duelo.

O duelo fatal de Galois ocorreu em 30 de maio. Os verdadeiros motivos por trás do duelo são obscuros. Tem havido muita especulação sobre eles. O que se sabe é que, cinco dias antes de sua morte, ele escreveu uma carta a Chevalier que claramente alude a um caso de amor rompido.

Algumas investigações de arquivo sobre as cartas originais sugerem que a mulher de interesse romântico era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, filha do médico do albergue onde Galois ficou durante os últimos meses de sua vida. Fragmentos de cartas dela, copiadas pelo próprio Galois (com muitas partes, como o nome dela, obliterado ou omitido deliberadamente), estão disponíveis. As cartas sugerem que du Motel havia confiado alguns de seus problemas a Galois, e isso pode tê-lo levado a provocar o duelo em nome dela. Essa conjectura também é apoiada por outras cartas que Galois escreveu mais tarde a seus amigos na noite anterior à sua morte. O primo de Galois, Gabriel Demante, quando perguntado se sabia a causa do duelo, mencionou que Galois "se viu na presença de um suposto tio e de um suposto noivo, cada um dos quais provocou o duelo". O próprio Galois exclamou: "Sou vítima de uma coquete infame e seus dois trapaceiros".

Especulações muito mais detalhadas com base nesses escassos detalhes históricos foram interpoladas por muitos dos biógrafos de Galois (mais notavelmente por Eric Temple Bell em Men of Mathematics ), como a especulação frequentemente repetida de que todo o incidente foi encenado pela polícia e monarquistas. facções para eliminar um inimigo político.

Quanto ao adversário no duelo, Alexandre Dumas nomeia Pescheux d'Herbinville, que na verdade era um dos dezenove oficiais de artilharia cuja absolvição foi celebrada no banquete que ocasionou a primeira prisão de Galois. No entanto, Dumas está sozinho nessa afirmação e, se estivesse correto, não está claro por que d'Herbinville estaria envolvido. Especulou-se que ele era o "suposto noivo" de du Motel na época (ela acabou se casando com outra pessoa), mas nenhuma evidência clara foi encontrada apoiando essa conjectura. Por outro lado, recortes de jornais existentes de apenas alguns dias após o duelo dão uma descrição de seu oponente (identificado pelas iniciais "LD") que parecem se aplicar com mais precisão a um dos amigos republicanos de Galois, provavelmente Ernest Duchatelet, que foi preso com Galois pelas mesmas acusações. Dadas as informações conflitantes disponíveis, a verdadeira identidade de seu assassino pode se perder na história.

Quaisquer que fossem as razões por trás do duelo, Galois estava tão convencido de sua morte iminente que passou a noite inteira escrevendo cartas para seus amigos republicanos e compondo o que se tornaria seu testamento matemático, a famosa carta a Auguste Chevalier descrevendo suas ideias e três manuscritos anexados. . O matemático Hermann Weyl disse sobre esse testamento: "Esta carta, se julgada pela novidade e profundidade de idéias que contém, é talvez a peça mais substancial de escrita em toda a literatura da humanidade". No entanto, a lenda de Galois despejando seus pensamentos matemáticos no papel na noite anterior à sua morte parece ter sido exagerada. Nesses trabalhos finais, ele delineou as arestas de alguns trabalhos que vinha fazendo em análise e anotou uma cópia do manuscrito submetido à Academia e outros trabalhos.

O memorial de Galois no cemitério de Bourg-la-Reine . Évariste Galois foi enterrado em vala comum e a localização exata ainda é desconhecida.

No início da manhã de 30 de maio de 1832, ele foi baleado no abdômen , foi abandonado por seus adversários e seus próprios segundos, e foi encontrado por um fazendeiro que passava. Ele morreu na manhã seguinte às dez horas no Hôpital Cochin (provavelmente de peritonite ), depois de recusar os cargos de um padre. Seu funeral terminou em tumultos. Havia planos para iniciar um levante durante seu funeral, mas durante o mesmo tempo os líderes ouviram falar da morte do general Jean Maximilien Lamarque e o levante foi adiado sem que nenhum levante ocorresse até 5 de junho . Apenas o irmão mais novo de Galois foi notificado dos eventos anteriores à morte de Galois. Galois tinha 20 anos. Suas últimas palavras para seu irmão mais novo Alfred foram:

"Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon coragem pour mourir à vingt ans!"
(Não chore, Alfred! Preciso de toda a minha coragem para morrer aos vinte!)

Em 2 de junho, Évariste Galois foi enterrado em uma vala comum do Cemitério de Montparnasse, cuja localização exata é desconhecida. No cemitério de sua cidade natal – Bourg-la-Reine – um cenotáfio em sua homenagem foi erguido ao lado dos túmulos de seus parentes.

Em 1843 , Joseph Liouville revisou seu manuscrito e declarou-o sólido. Foi finalmente publicado na edição de outubro-novembro de 1846 do Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . A contribuição mais famosa deste manuscrito foi uma nova prova de que não existe uma fórmula quíntica – isto é, que as equações de quinto grau e de grau superior geralmente não são solucionáveis ​​por radicais. Embora Niels Henrik Abel já tivesse provado a impossibilidade de uma "fórmula quíntica" pelos radicais em 1824 e Paolo Ruffini tivesse publicado uma solução em 1799 que se revelou falha, os métodos de Galois levaram a pesquisas mais profundas no que hoje é chamado de teoria de Galois. Por exemplo, pode-se usá-lo para determinar, para qualquer equação polinomial, se ela tem uma solução por radicais.

Contribuições para a matemática

A última página do testamento matemático de Galois, de sua própria mão. A frase "para decifrar toda essa bagunça" ("déchiffrer tout ce gâchis") está na penúltima linha.

Das linhas finais de uma carta de Galois ao seu amigo Auguste Chevalier, datada de 29 de maio de 1832, dois dias antes da morte de Galois:

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, more sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Peça publicamente a Jacobi ou a Gauss para dar sua opinião, não quanto à verdade, mas quanto à importância desses teoremas. Mais tarde, espero, haverá algumas pessoas que acharão vantajoso decifrar toda essa confusão.)

Dentro das cerca de 60 páginas das obras reunidas de Galois estão muitas ideias importantes que tiveram consequências de longo alcance para quase todos os ramos da matemática. Seu trabalho foi comparado ao de Niels Henrik Abel , outro matemático que morreu muito jovem, e muito de seu trabalho teve uma sobreposição significativa.

Álgebra

Enquanto muitos matemáticos antes de Galois consideravam o que hoje conhecemos como grupos , foi Galois quem foi o primeiro a usar a palavra group (em francês groupe ) em um sentido próximo ao sentido técnico que hoje se entende, tornando-o um dos fundadores do ramo da álgebra conhecido como teoria dos grupos . Ele desenvolveu o conceito que hoje é conhecido como subgrupo normal . Ele chamou a decomposição de um grupo em seus cosets esquerdo e direito de decomposição adequada se os cosets esquerdo e direito coincidirem, que é o que hoje é conhecido como subgrupo normal. Ele também introduziu o conceito de um campo finito (também conhecido como campo de Galois em sua homenagem) essencialmente da mesma forma que é entendido hoje.

Em sua última carta a Chevalier e manuscritos anexos, a segunda de três, ele fez estudos básicos de grupos lineares sobre campos finitos:

teoria de Galois

A contribuição mais significativa de Galois para a matemática é o desenvolvimento da teoria de Galois. Ele percebeu que a solução algébrica de uma equação polinomial está relacionada à estrutura de um grupo de permutações associadas às raízes do polinômio, o grupo de Galois do polinômio. Ele descobriu que uma equação pode ser resolvida em radicais se for possível encontrar uma série de subgrupos de seu grupo de Galois, cada um normal em seu sucessor com quociente abeliano , ou seja, seu grupo de Galois é solúvel . Isso provou ser uma abordagem fértil, que matemáticos posteriores adaptaram a muitos outros campos da matemática além da teoria das equações à qual Galois originalmente a aplicou.

Análise

Galois também fez algumas contribuições para a teoria das integrais abelianas e frações contínuas .

Conforme escrito em sua última carta, Galois passou do estudo das funções elípticas para a consideração das integrais das diferenciais algébricas mais gerais, hoje chamadas integrais abelianas. Ele classificou essas integrais em três categorias.

Frações continuadas

Em seu primeiro artigo em 1828, Galois provou que a fração contínua regular que representa um surd quadrático ζ é puramente periódica se e somente se ζ é um surd reduzido , isto é, e seu conjugado satisfaz .

Na verdade, Galois mostrou mais do que isso. Ele também provou que se ζ é um surd quadrático reduzido e η é seu conjugado, então as frações contínuas para ζ e para (−1/ η ) são ambas puramente periódicas, e o bloco de repetição em uma dessas frações contínuas é a imagem especular do bloco de repetição no outro. Em símbolos temos

onde ζ é qualquer surd quadrático reduzido e η é seu conjugado.

Destes dois teoremas de Galois pode-se deduzir um resultado já conhecido por Lagrange. Se r  > 1 é um número racional que não é um quadrado perfeito, então

Em particular, se n for qualquer inteiro positivo não quadrado, a expansão de fração contínua regular de √ n contém um bloco repetido de comprimento m , no qual os primeiros m  − 1 denominadores parciais formam uma cadeia palindrômica .

Veja também

Notas

Referências

links externos