Número Aleph - Aleph number

Aleph-nada, aleph-zero ou aleph-null, o menor número cardinal infinito

Em matemática , particularmente na teoria dos conjuntos , os números aleph são uma sequência de números usada para representar a cardinalidade (ou tamanho) de conjuntos infinitos que podem ser bem ordenados . Eles foram introduzidos pelo matemático Georg Cantor e são nomeados após o símbolo que ele usou para denotá-los, a letra hebraica aleph ( ).

A cardinalidade dos números naturais é (li alef-nada ou alef de zero ; o termo alef-nulo também é por vezes utilizado), o próximo cardinalidade maior de um bem-orderable conjunto é alef-ona , em seguida, e assim por diante. Continuando desta forma, é possível definir um número cardinal para cada número ordinal conforme descrito a seguir.

O conceito e a notação são devidos a Georg Cantor , que definiu a noção de cardinalidade e percebeu que conjuntos infinitos podem ter cardinalidades diferentes .

Os números aleph diferem do infinito ( ) comumente encontrado em álgebra e cálculo, em que os alephs medem os tamanhos dos conjuntos, enquanto o infinito é comumente definido como um limite extremo da reta do número real (aplicado a uma função ou sequência que " diverge para o infinito "ou" aumenta sem limite "), ou como um ponto extremo da reta de número real estendida .

Aleph-nada

(aleph-nada, também aleph-zero ou aleph-null) é a cardinalidade do conjunto de todos os números naturais e é um cardinal infinito . O conjunto de todos os ordinais finitos , chamados de ou (onde está a letra grega minúscula ômega ), tem cardinalidade Um conjunto tem cardinalidade se e somente se for contável infinito , ou seja, há uma bijeção (correspondência um-para-um) entre ele e os números naturais. Exemplos de tais conjuntos são

Esses ordinais infinitos: e estão entre os conjuntos infinitos contáveis. Por exemplo, a sequência (com ordinalidade ω · 2) de todos os inteiros ímpares positivos seguidos por todos os inteiros pares positivos

é uma ordenação do conjunto (com cardinalidade ) de inteiros positivos.

Se o axioma da escolha contável (uma versão mais fraca do axioma da escolha ) se mantém, então é menor do que qualquer outro cardeal infinito.

Aleph-um

é a cardinalidade do conjunto de todos os números ordinais contáveis , chamados ou às vezes Este é em si um número ordinal maior do que todos os contáveis, portanto é um conjunto incontável . Portanto, é diferente de A definição de implica (em ZF, teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma de escolha) que nenhum número cardinal está entre e Se o axioma de escolha for usado, pode-se provar que a classe dos números cardinais é totalmente ordenado e, portanto, é o segundo menor número cardinal infinito. Usando o axioma da escolha, pode-se mostrar uma das propriedades mais úteis do conjunto de que qualquer subconjunto contável tem um limite superior (Isso decorre do fato de que a própria união de um número contável de conjuntos contáveis ​​é contável - um dos aplicações mais comuns do axioma da escolha.) Este fato é análogo à situação em que todo conjunto finito de números naturais tem um máximo que também é um número natural, e as uniões finitas de conjuntos finitos são finitas.

é na verdade um conceito útil, embora soe um tanto exótico. Um exemplo de aplicação é o "fechamento" em relação às operações contáveis; por exemplo, tentando descrever explicitamente a σ-álgebra gerada por uma coleção arbitrária de subconjuntos (ver por exemplo, hierarquia de Borel ). Isso é mais difícil do que a maioria das descrições explícitas de "geração" em álgebra ( espaços vetoriais , grupos etc.) porque, nesses casos, só temos que fechar em relação a operações finitas - somas, produtos e semelhantes. O processo envolve definir, para cada ordinal contável, via indução transfinita , um conjunto "jogando em" todas as uniões contáveis ​​e complementos possíveis, e tomando a união de tudo isso sobre todos os

Hipótese do Continuum

A cardinalidade do conjunto de números reais ( cardinalidade do contínuo ) é Não pode ser determinada a partir de ZFC ( teoria do conjunto de Zermelo – Fraenkel aumentada com o axioma de escolha ) onde este número se encaixa exatamente na hierarquia de números aleph, mas segue de ZFC que a hipótese do contínuo, CH , é equivalente à identidade

O CH afirma que não há conjunto cuja cardinalidade esteja estritamente entre a dos inteiros e os números reais. CH é independente de ZFC : não pode ser provado nem refutado dentro do contexto desse sistema de axioma (desde que ZFC seja consistente ). Que CH é consistente com ZFC foi demonstrado por Kurt Gödel em 1940, quando ele mostrou que sua negação não é um teorema de ZFC . Que ele é independente de ZFC foi demonstrado por Paul Cohen em 1963, quando ele mostrou, inversamente, que o próprio CH não é um teorema de ZFC - pelo (então novo) método de forçamento .

Aleph-omega

Aleph-omega é

onde o menor ordinal infinito é denotado ω . Ou seja, o número cardinal é o menor limite superior de

é o primeiro número cardinal incontável que pode ser demonstrado na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel como não sendo igual à cardinalidade do conjunto de todos os números reais ; para qualquer número inteiro positivo n , podemos assumir consistentemente que e, além disso, é possível assumir que é tão grande quanto quisermos. Somos apenas forçados a evitar configurá-lo para certos cardeais especiais com cofinalidade, significando que há uma função ilimitada de para ele (ver o teorema de Easton ).

Aleph-α para α geral

Para definir o número ordinal arbitrário , devemos definir a operação cardinal sucessora , que atribui a qualquer número cardinal o próximo cardinal bem ordenado maior (se o axioma de escolha for válido, este é o próximo cardinal maior).

Podemos então definir os números aleph da seguinte forma:

e para λ , um limite infinito ordinal ,

O α-ésimo ordinal infinito inicial é escrito . Sua cardinalidade é escrita em ZFC, a função aleph é uma bijeção dos ordinais para os cardinais infinitos.

Pontos fixos de ômega

Para qualquer α ordinal, temos

Em muitos casos, é estritamente maior do que α . Por exemplo, para qualquer sucessor ordinal α isso é válido. Existem, entretanto, alguns ordinais limites que são pontos fixos da função ômega, por causa do lema de ponto fixo para funções normais . O primeiro é o limite da sequência

Qualquer cardeal fracamente inacessível também é um ponto fixo da função aleph. Isso pode ser mostrado no ZFC da seguinte maneira. Suponha que seja um cardeal fracamente inacessível. Se fosse um ordinal sucessor , seria um cardinal sucessor e, portanto, não seria fracamente inacessível. Se fosse um limite ordinal menor que então sua cofinalidade (e, portanto, a cofinalidade de ) seria menor e, portanto , não seria regular e, portanto, não fracamente inacessível. Assim e conseqüentemente o que o torna um ponto fixo.

Papel do axioma de escolha

A cardinalidade de qualquer número ordinal infinito é um número aleph. Cada aleph é a cardinalidade de algum ordinal. O menor deles é seu ordinal inicial . Qualquer conjunto cuja cardinalidade seja um aleph é igual a um ordinal e, portanto, pode ser bem ordenado .

Cada conjunto finito é bem ordenado, mas não tem um aleph como cardinalidade.

A suposição de que a cardinalidade de cada conjunto infinito é um número aleph é equivalente em ZF à existência de uma boa ordenação de cada conjunto, que por sua vez é equivalente ao axioma de escolha . A teoria dos conjuntos ZFC, que inclui o axioma de escolha, implica que cada conjunto infinito tem um número aleph como cardinalidade (ou seja, é equinumeroso com seu ordinal inicial) e, portanto, os ordinais iniciais dos números aleph servem como uma classe de representantes para todos possíveis números cardinais infinitos.

Quando a cardinalidade é estudada em ZF sem o axioma de escolha, não é mais possível provar que cada conjunto infinito tem algum número aleph como sua cardinalidade; os conjuntos cuja cardinalidade é um número aleph são exatamente os conjuntos infinitos que podem ser bem ordenados. O método do truque de Scott às vezes é usado como uma forma alternativa de construir representantes para números cardinais no cenário de ZF. Por exemplo, pode-se definir card ( S ) como o conjunto de conjuntos com a mesma cardinalidade de S de classificação mínima possível. Isso tem a propriedade de que card ( S ) = card ( T ) se e somente se S e T têm a mesma cardinalidade. (A carta do conjunto ( S ) não tem a mesma cardinalidade de S em geral, mas todos os seus elementos têm.)

Veja também

Notas

Citações

links externos