Glossário de símbolos matemáticos - Glossary of mathematical symbols
Um símbolo matemático é uma figura ou combinação de figuras que é usada para representar um objeto matemático , uma ação em objetos matemáticos, uma relação entre objetos matemáticos ou para estruturar os outros símbolos que ocorrem em uma fórmula . Como as fórmulas são inteiramente constituídas por símbolos de vários tipos, muitos símbolos são necessários para expressar toda a matemática.
Os símbolos mais básicos são os dígitos decimais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e as letras do alfabeto latino . Os dígitos decimais são usados para representar números por meio do sistema de numeração hindu-arábica . Historicamente, letras maiúsculas eram usadas para representar pontos na geometria, e letras minúsculas eram usadas para variáveis e constantes . As letras são usadas para representar muitos outros tipos de objetos matemáticos . Como o número desses tipos aumentou dramaticamente na matemática moderna, o alfabeto grego e algumas letras hebraicas também são usados. Nas fórmulas matemáticas , o tipo de letra padrão é itálico para letras latinas e letras gregas minúsculas, e tipo vertical para letras gregas maiúsculas. Por ter mais símbolos, outras fontes também são usadas, principalmente negrito , fonte escrita (a letra minúscula raramente é usada devido à possível confusão com a face padrão), fraktur alemão e negrito negro (as outras letras raramente são usadas nesta face, ou seu uso não é convencional).
O uso de letras latinas e gregas como símbolos para denotar objetos matemáticos não é descrito neste artigo. Para tais usos, consulte Variável (matemática) e Lista de constantes matemáticas . No entanto, alguns símbolos descritos aqui têm a mesma forma da letra da qual são derivados, como e .
As letras não são suficientes para as necessidades dos matemáticos, e muitos outros símbolos são usados. Alguns têm origem em sinais de pontuação e diacríticos tradicionalmente usados em tipografia . Outros, como + e = , foram especialmente projetados para a matemática, muitas vezes deformando algumas letras, como nos casos de e .
Layout
Normalmente, as entradas de um glossário são estruturadas por tópicos e classificadas em ordem alfabética. Isso não é possível aqui, pois não há ordem natural nos símbolos, e muitos símbolos são usados em diferentes partes da matemática com diferentes significados, muitas vezes completamente não relacionados. Portanto, algumas escolhas arbitrárias tiveram que ser feitas, que são resumidas a seguir.
O artigo é dividido em seções que são classificadas por um nível crescente de tecnicidade. Ou seja, as primeiras seções contêm os símbolos encontrados na maioria dos textos matemáticos e que devem ser conhecidos até mesmo por iniciantes. Por outro lado, as últimas seções contêm símbolos que são específicos para alguma área da matemática e são ignorados fora dessas áreas. No entanto, a longa seção em colchetes foi colocada perto do final, embora a maioria de suas entradas sejam elementares: isso torna mais fácil pesquisar uma entrada de símbolo por rolagem.
A maioria dos símbolos tem vários significados que geralmente são distinguidos pela área da matemática onde são usados ou por sua sintaxe , isto é, por sua posição dentro de uma fórmula e pela natureza das outras partes da fórmula que estão próximas a eles.
Como os leitores podem não estar cientes da área da matemática à qual está relacionado o símbolo que procuram, os diferentes significados de um símbolo são agrupados na seção correspondente ao seu significado mais comum.
Quando o significado depende da sintaxe, um símbolo pode ter entradas diferentes dependendo da sintaxe. Para resumir a sintaxe no nome da entrada, o símbolo é usado para representar as partes vizinhas de uma fórmula que contém o símbolo. Consulte § Suportes para exemplos de uso.
A maioria dos símbolos tem duas versões impressas. Eles podem ser exibidos como caracteres Unicode ou no formato LaTeX . Com a versão Unicode, é mais fácil usar os mecanismos de pesquisa e copiar e colar . Por outro lado, a renderização do LaTeX geralmente é muito melhor (mais estética) e geralmente é considerada um padrão em matemática. Portanto, neste artigo, a versão Unicode dos símbolos é usada (quando possível) para rotular sua entrada, e a versão LaTeX é usada em sua descrição. Portanto, para descobrir como digitar um símbolo em LaTeX, basta olhar a fonte do artigo.
Para a maioria dos símbolos, o nome da entrada é o símbolo Unicode correspondente. Assim, para pesquisar a entrada de um símbolo, basta digitar ou copiar o símbolo Unicode na caixa de texto de pesquisa. Da mesma forma, quando possível, o nome de entrada de um símbolo também é uma âncora , o que permite um link fácil de outro artigo da Wikipedia. Quando um nome de entrada contém caracteres especiais como [,] e |, também há uma âncora, mas é preciso consultar a fonte do artigo para saber isso.
Finalmente, quando há um artigo sobre o próprio símbolo (não seu significado matemático), ele é vinculado no nome da entrada.
Operadores aritméticos
- +
- 1. Denota adição e é lido como mais ; por exemplo, 3 + 2 .
- 2. Às vezes usado em vez de para uma união disjunta de conjuntos .
- -
- 1. Denota subtração e é lido como menos ; por exemplo, 3 - 2 .
- 2. Denota o inverso aditivo e é lido como negativo ou o oposto de ; por exemplo, –2 .
- 3. Também usado no lugar de \ para denotar o complemento teórico do conjunto ; veja \ em § Teoria dos conjuntos .
- ×
- 1. Na aritmética elementar , denota multiplicação e é lido como tempos ; por exemplo, 3 × 2 .
- 2. Em geometria e álgebra linear , denota o produto vetorial .
- 3. Na teoria dos conjuntos e na teoria das categorias , denota o produto cartesiano e o produto direto . Veja também × em § Teoria dos conjuntos .
- ·
- 1. Denota multiplicação e é lido como tempos ; por exemplo, 3 ⋅ 2 .
- 2. Em geometria e álgebra linear , denota o produto escalar .
- 3. Espaço reservado usado para substituir um elemento indeterminado. Por exemplo, "o valor absoluto é denotado | · | " é mais claro do que dizer que é denotado como | | .
- ±
- 1. Denota um sinal de mais ou um sinal de menos.
- 2. Denota a faixa de valores que uma quantidade medida pode ter; por exemplo, 10 ± 2 denota um valor desconhecido que está entre 8 e 12.
- ∓
- Usado emparelhado com ± , denota o sinal oposto; ou seja, + se ± for - e - se ± for + .
- ÷
- Amplamente utilizado para denotar divisão em países anglófonos, não é mais comum em matemática e seu uso "não é recomendado". Em alguns países, pode indicar subtração.
- :
- 1. Denota a proporção de duas quantidades.
- 2. Em alguns países, pode denotar divisão .
- 3. Na notação de construtor de conjuntos , é usado como um separador que significa "tal que"; veja {□: □} .
- /
- 1. Denota divisão e é lido como dividido por ou mais . Freqüentemente substituído por uma barra horizontal. Por exemplo, 3/2 ou .
- 2. Denota uma estrutura de quociente . Por exemplo, conjunto quociente , grupo quociente , categoria quociente , etc.
- 3. Em teoria número e teoria de campo , indica uma extensão de campo , onde F é um campo de extensão do campo E .
- 4. Na teoria da probabilidade , denota uma probabilidade condicional . Por exemplo, denota a probabilidade de A , dado que B ocorre. Também denotado : consulte " | ".
- √
- Denota a raiz quadrada e é lido como a raiz quadrada de . Raramente usado na matemática moderna sem uma barra horizontal delimitando a largura de seu argumento (veja o próximo item). Por exemplo, √2 .
- √
- 1. Denota a raiz quadrada e é lido como a raiz quadrada de . Por exemplo ,.
- 2. Com um número inteiro maior do que 2 como um sobrescrito esquerda, indica um n th raiz . Por exemplo ,.
- ^
- 1. A exponenciação é normalmente indicada com um sobrescrito . No entanto, é freqüentemente denotado como x ^ y quando os sobrescritos não estão facilmente disponíveis, como em linguagens de programação (incluindo LaTeX ) ou e-mails de texto simples .
- 2. Não deve ser confundido com ∧ .
Igualdade, equivalência e semelhança
- =
- 1. Denota igualdade .
- 2. Usado para nomear um objeto matemático em uma frase como "let ", onde E é uma expressão . Em um quadro negro e em alguns textos matemáticos, isso pode ser abreviado como . Isso está relacionado ao conceito de atribuição em ciência da computação, que é denotado de várias maneiras (dependendo da linguagem de programação usada )
- ≠
- Denota desigualdade e significa "diferente".
- ≈
- Significa "é aproximadamente igual a". Por exemplo, (para uma aproximação mais precisa, veja pi ).
- ~
- 1. Entre dois números, ou é usado em vez de ≈ para significar "aproximadamente igual" ou significa "tem a mesma ordem de magnitude que".
- 2. Denota a equivalência assintótica de duas funções ou sequências.
- 3. Freqüentemente usado para denotar outros tipos de semelhança, por exemplo, semelhança de matriz ou semelhança de formas geométricas .
- 4. Notação padrão para uma relação de equivalência .
- 5. Em probabilidade e estatística , pode especificar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória . Por exemplo, significa que a distribuição da variável aleatória X é normal padrão .
- 6. Notação para mostrar a proporcionalidade . Consulte também ∝ para um símbolo menos ambíguo.
- ≡
- 1. Denota uma identidade , ou seja, uma igualdade que é verdadeira quaisquer valores dados às variáveis que ocorrem nela.
- 2. Na teoria dos números , e mais especificamente na aritmética modular , denota o módulo de congruência um inteiro.
- 1. Pode denotar um isomorfismo entre duas estruturas matemáticas e é lido como "isomorphic to".
- 2. Em geometria , pode denotar a congruência de duas formas geométricas (que é a igualdade até um deslocamento ), e é lido como "é congruente com".
Comparação
- <
- 1. Desigualdade estrita entre dois números; significa e é lido como " menos que ".
- 2. Normalmente usado para denotar qualquer ordem estrita .
- 3. Entre dois grupos , pode significar que o primeiro é um subgrupo adequado do segundo.
- >
- 1. Desigualdade estrita entre dois números; significa e é lido como " maior que ".
- 2. Normalmente usado para denotar qualquer ordem estrita .
- 3. Entre dois grupos , pode significar que o segundo é um subgrupo adequado do primeiro.
- ≤
- 1. Significa "menor ou igual a". Ou seja, tudo o que A e B são, A ≤ B é equivalente a A < B ou A = B .
- 2. Entre dois grupos , pode significar que o primeiro é um subgrupo do segundo.
- ≥
- 1. Significa "maior ou igual a". Ou seja, tudo o que A e B são, A ≥ B é equivalente a A > B ou A = B .
- 2. Entre dois grupos , pode significar que o segundo é um subgrupo do primeiro.
- ≪, ≫
- 1. Significa "muito menos que" e "muito maior que". Geralmente, muito não é definido formalmente, mas significa que a quantidade menor pode ser desprezada em relação à outra. Este é geralmente o caso quando a quantidade menor é menor que a outra em uma ou várias ordens de magnitude .
- 2. Na teoria da medida , significa que a medida é absolutamente contínua em relação à medida .
- ≦
- 1. Um sinônimo raramente usado de ≤ . Apesar da fácil confusão com ≤ , alguns autores o usam com um significado diferente.
- ≺, ≻
- Freqüentemente usado para denotar um pedido ou, mais geralmente, um pedido antecipado , quando seria confuso ou não conveniente usar < e > .
Teoria de conjuntos
- ∅
- Denota o conjunto vazio e é escrito com mais frequência . Usando a notação set-builder , também pode ser denotado {}.
- #
- 1. Número de elementos: pode denotar a cardinalidade do conjunto S . Uma notação alternativa é ; ver | □ | .
- 2. Primorial : denota o produto dos números primos que não são maiores que n .
- 3. Em topologia , denota a soma conectada de duas variedades ou dois nós .
- ∈
- Denota associação ao conjunto e é lido "em" ou "pertence a". Ou seja, significa que x é um elemento do conjunto S .
- ∉
- Significa "não está". Ou seja, significa .
- ⊂
- Denota inclusão de conjunto . No entanto, duas definições ligeiramente diferentes são comuns. Parece que o primeiro é mais comumente usado em textos recentes, pois permite muitas vezes evitar distinções de casos.
- 1. pode significar que A é um subconjunto de B e é possivelmente igual a B ; ou seja, todo elemento de A pertence a B ; na fórmula ,.
- 2. pode significar que A é um subconjunto próprio de B , ou seja, os dois conjuntos são diferentes e cada elemento de A pertence a B ; na fórmula ,.
- ⊆
- meios que A é um subconjunto de B . Usado para enfatizar que a igualdade é possível ou quando a segunda definição é usada para .
- ⊊
- meios que A é um subconjunto apropriado de B . Usado para enfatizar isso , ou quando a primeira definição é usada para .
- ⊃, ⊇, ⊋
- O mesmo que os anteriores com os operandos invertidos. Por exemplo, é equivalente a .
- ∪
- Denota união teórica de conjuntos , ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de A e B juntos. Ou seja ,.
- ∩
- Denota intersecção set-teórica , isto é, é o conjunto formado pelos elementos de ambos A e B . Ou seja ,.
- \
- Defina a diferença ; isto é, é o conjunto formado pelos elementos de um que não estão em B . Às vezes, é usado em seu lugar; consulte - em § Operadores aritméticos .
- ⊖
- Diferença simétrica , isto é, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a exatamente um dos dois conjuntos A e B . A notação também é usada; veja Δ .
- ∁
- 1. Com um subscrito, denota um complemento de conjunto : isto é, se , então .
- 2. Sem um subscrito, denota o complemento absoluto ; isto é, onde U é um conjunto definido implicitamente pelo contexto, que contém todos os conjuntos sob consideração. Esse conjunto U às vezes é chamado de universo do discurso .
- ×
- Consulte também × em § Operadores aritméticos .
- 1. Denota o produto cartesiano de dois conjuntos. Isto é, é o conjunto formado por todos os pares de um elemento de Um e um elemento de B .
- 2. Denota o produto direto de duas estruturas matemáticas do mesmo tipo, que é o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes, equipados com uma estrutura do mesmo tipo. Por exemplo, produto direto de anéis , produto direto de espaços topológicos .
- 3. Na teoria das categorias , denota o produto direto (freqüentemente chamado simplesmente de produto ) de dois objetos, que é uma generalização dos conceitos anteriores de produto.
- ⊔
- Denota a união disjunta . Ou seja, se A e B são dois sets, onde C é um conjunto formado pelos elementos do B renomeado para não pertence a um .
- 1. Uma alternativa para denotar união disjunta .
- 2. Denota o coproduto de estruturas matemáticas ou de objetos em uma categoria .
Lógica básica
Vários símbolos lógicos são amplamente usados em toda a matemática e estão listados aqui. Para símbolos que são usados apenas em lógica matemática , ou raramente são usados, consulte Lista de símbolos lógicos .
- ¬
- Denota negação lógica e é lido como "não". Se E for um predicado lógico , é o predicado avaliado como verdadeiro se e somente se E for avaliado como falso . Para maior clareza, muitas vezes é substituído pela palavra "não". Em linguagens de programação e alguns textos matemáticos, às vezes é substituído por " ~ " ou " ! ", Que são mais fáceis de digitar em alguns teclados.
- ∨
- 1. Denota o ou lógico e é lido como "ou". Se E e F forem predicados lógicos , será verdadeiro se E , F ou ambos forem verdadeiros. Freqüentemente, é substituído pela palavra "ou".
- 2. Na teoria da rede , denota a operação de junção ou limite superior mínimo .
- 3. Em topologia , denota a soma em cunha de dois espaços pontiagudos .
- ∧
- 1. Denota o e lógico e é lido como "e". Se E e F são predicados lógicos , é verdadeiro se E e F são ambos verdadeiros. Freqüentemente, é substituído pela palavra "e" ou pelo símbolo " & ".
- 2. Na teoria da rede , denota a operação de encontro ou maior limite inferior .
- 3. Em álgebra multilinear , geometria e cálculo multivariável , denota o produto em cunha ou o produto exterior .
- ⊻
- Ou exclusivo : se E e F são duas variáveis ou predicados booleanos , denota o ou exclusivo. Notações E XOR F e também são comumente usadas; veja ⊕ .
- ∀
- 1. Denota quantificação universal e é lido "para todos". Se E é um predicado lógico , significa que E é verdadeiro para todos os valores possíveis da variável x .
- 2. Freqüentemente usado indevidamente em texto simples como uma abreviatura de "para todos" ou "para todos".
- ∃
- 1. Denota quantificação existencial e lê-se "existe ... tal que". Se E é um predicado lógico , significa que existe pelo menos um valor de x para o qual E é verdadeiro.
- 2. Freqüentemente usado indevidamente em texto simples como uma abreviatura de "existe".
- ∃!
- Denota quantificação de unicidade , ou seja, significa "existe exatamente um x tal que P (é verdadeiro)". Em outras palavras, é uma abreviatura de .
- ⇒
- 1. Denota material condicional e é lido como "implica". Se P e Q são predicados lógicos , significa que se P é verdadeiro, então Q também é verdadeiro. Portanto, é logicamente equivalente com .
- 2. Freqüentemente usado indevidamente em texto simples como uma abreviatura de "implica".
- ⇔
- 1. Denota equivalência lógica e é lido como "é equivalente a" ou " se e somente se ". Se P e Q são predicados lógicos , é então uma abreviatura de , ou de .
- 2. Freqüentemente usado indevidamente em texto simples como uma abreviatura de " se e somente se ".
- ⊤
- 1. denota o predicado lógico sempre verdadeiro .
- 2. Denota também o valor de verdade verdadeiro .
- 3. Às vezes denota o elemento superior de uma rede limitada (os significados anteriores são exemplos específicos).
- 4. Para uso como sobrescrito, consulte ⊤ □ .
- ⊥
- 1. denota o predicado lógico sempre falso .
- 2. Denota também o valor de verdade falso .
- 3. Às vezes denota o elemento inferior de uma rede limitada (os significados anteriores são exemplos específicos).
- 4. Como um operador binário , denota perpendicularidade e ortogonalidade . Por exemplo, se A, B, C são três pontos em um espaço euclidiano , isso significa que os segmentos de linha AB e AC são perpendiculares e formam um ângulo reto .
- 5. Na criptografia, muitas vezes denota um erro no lugar de um valor regular.
- 6. Para uso como sobrescrito, consulte □ ⊥ .
Blackboard bold
O tipo de letra negro em negrito é amplamente utilizado para denotar os sistemas numéricos básicos . Freqüentemente, esses sistemas também são indicados pela correspondente letra maiúscula em negrito. Uma vantagem clara do negrito do quadro-negro é que esses símbolos não podem ser confundidos com qualquer outra coisa. Isso permite utilizá-los em qualquer área da matemática, sem ter que lembrar sua definição. Por exemplo, se alguém encontrar na combinatória , deve saber imediatamente que isso denota os números reais , embora a combinatória não estude os números reais (mas os usa para muitas provas).
- Denota o conjunto de números naturais ou às vezes . Freqüentemente, também é denotado por .
- Denota o conjunto de inteiros . Freqüentemente, também é denotado por .
- 1. Denota o conjunto de inteiros p -adic , onde p é um número primo .
- 2. Às vezes, denota o módulo de inteiros n , onde n é um inteiro maior que 0. A notação também é usada e é menos ambígua.
- Denota o conjunto de números racionais (frações de dois inteiros). Freqüentemente, também é denotado por .
- Denota o conjunto de números p -adic , onde p é um número primo .
- Denota o conjunto de números reais . Freqüentemente, também é denotado por .
- Denota o conjunto de números complexos . Freqüentemente, também é denotado por .
- Denota o conjunto de quatérnios . Freqüentemente, também é denotado por .
- Denota o corpo finito com q elementos, onde q é uma potência primo (incluindo números primos ). É denotado também por GF ( q ) .
Cálculo
- □ '
- Notação de Lagrange para a derivada : se f é uma função de uma única variável,, lida como "f linha", é a derivada de f em relação a essa variável. A segunda derivada é a derivada de e é denotada .
- Notação de Newton , mais comumente usada para a derivada com respeito ao tempo: se x é uma variável dependente do tempo, então é sua derivada com respeito ao tempo. Em particular, se x representa um ponto móvel, então é sua velocidade .
- Notação de Newton , para a segunda derivada : em particular, se x é uma variável que representa um ponto móvel, então é sua aceleração .
- d □/d □
- A notação de Leibniz para a derivada , que é usada de várias maneiras ligeiramente diferentes.
- 1. Se y for uma variável que depende de x , então , leia como "dy sobre d x", é a derivada de y em relação a x .
- 2. Se f é uma função de uma única variável x , então é a derivada de f , e é o valor da derivada em a .
- 3. Derivada total : se é função de várias variáveis que dependem de x , então a derivada de f é considerada como função de x . Ou seja ,.
- ∂ □/∂ □
- Derivada parcial : se é função de várias variáveis, é a derivada em relação à i- ésima variável considerada variável independente , sendo as demais variáveis consideradas constantes.
- 𝛿 □/𝛿 □
- Derivado funcional : se é uma funcional de várias funções , é o derivado funcional no que diz respeito ao n th função considerada como uma variável independente , as outras funções a ser considerada constante.
- 1. Conjugado complexo : se z é um número complexo , então é seu conjugado complexo. Por exemplo ,.
- 2. fecho topológica : se S é um subconjunto de um espaço topológico T , em seguida, é o seu encerramento topológica, que é, o mais pequeno subconjunto fechado de T que contém S .
- 3. fecho algébrico : se M é um campo , em seguida, é o seu fecho algébrico, isto é, a menor campo algebricamente fechado que contém F . Por exemplo, é o campo de todos os números algébricos .
- 4. valor médio : se X é uma variável que assume os seus valores em alguns multiconjunto de números de S , em seguida , podem representar a média dos elementos de S .
- →
- 1. designa uma função com domínio A e codomain B . Para nomear tal função, escreve-se , que é lido como " f de A a B ".
- 2. Em termos mais gerais, significa um homomorphism ou um morfismo de A para B .
- 3. Pode denotar uma implicação lógica . Para a implicação material que é amplamente usada no raciocínio matemático, é hoje geralmente substituída por ⇒ . Na lógica matemática , permanece usado para denotar implicação, mas seu significado exato depende da teoria específica que é estudada.
- 4. Sobre o nome de uma variável , significa que a variável representa um vetor , em um contexto onde variáveis comuns representam escalares ; por exemplo ,. Negrito ( ) ou circunflexo ( ) são freqüentemente usados para o mesmo propósito.
- 5. Em euclidiana geometria e mais geralmente na geometria afim , indica o vector definido pelos dois pontos P e Q , que podem ser identificados com a tradução que mapeia P para Q . O mesmo vetor também pode ser denotado ; veja espaço afim .
- ↦
- Usado para definir uma função sem precisar nomeá-la. Por exemplo, é a função quadrada .
- ○
- 1. Composição de funções : Se f e g são duas funções, em seguida, é a função de tal modo que para cada valor de x .
- 2. Produto de Hadamard de matrizes : se A e B são duas matrizes do mesmo tamanho, então a matriz é tal que . Possivelmente, também é usado em vez de ⊙ para o produto Hadamard da série de potência .
- ∂
- 1. Limite de um subespaço topológica : se S é um subespaço de um espaço topológico, em seguida, o seu limite , denotado , é a diferença do conjunto entre o fecho e o interior de S .
- 2. Derivada parcial : ver∂ □/∂ □.
- ∫
- 1. Sem um subscrito, denota uma antiderivada . Por exemplo ,.
- 2. Com um subscrito e um sobrescrito, ou expressões colocadas abaixo e acima dele, denota uma integral definida . Por exemplo ,.
- 3. Com um subscrito que denota uma curva, denota uma integral de linha . Por exemplo, se r é uma parametrização da curva C , de a para b .
- ∮
- Muitas vezes utilizado, tipicamente na física, em vez de para integrais de linha mais de uma curva fechada .
- ∬, ∯
- Semelhante a e para integrais de superfície .
- ∇
- Nabla , o operador diferencial vetorial , também denominado del .
- Δ
- 1. operador de Laplace ou Laplaciano : . Também denotado ∇ 2 , onde o quadrado representa uma espécie de produto escalar de ∇ e ele mesmo.
- 2. Pode denotar a diferença simétrica de dois conjuntos, ou seja, o conjunto dos elementos que pertencem exatamente a um dos conjuntos. Também denotado por ⊖ .
- 3. Também usado para denotar o operador de diferença finita .
- □ (aqui um quadrado real, não um marcador de posição)
- Denota o operador d'Alembertian ou d'Alembert , que é uma generalização do Laplaciano para espaços não euclidianos .
Álgebra linear e multilinear
- ∑ ( notação Sigma )
- 1. Denota a soma de um número finito de termos, que são determinados por subscritos e sobrescritos (que também podem ser colocados abaixo e acima), como em ou .
- 2. Denota uma série e, se a série for convergente , a soma das séries . Por exemplo ,.
- ∏ ( notação maiúscula pi )
- 1. Denota o produto de um número finito de termos, que são determinados por subscritos e sobrescritos (que também podem ser colocados abaixo e acima), como em ou .
- 2. Denota um produto infinito . Por exemplo, a fórmula do produto de Euler para a função zeta de Riemann é .
- 3. Também usado para o produto cartesiano de qualquer número de conjuntos e o produto direto de qualquer número de estruturas matemáticas .
- ⊕
- 1. Soma direta interna : se E e F são subgrupos abelianos de um grupo abeliano V , a notação significa que V é a soma direta de E e F ; isto é, cada elemento de V pode ser escrita de uma forma única como a soma de um elemento de E e um elemento de F . Isto aplica-se também quando E e F são subespaços lineares ou sub-mulos do espaço vectorial ou módulo V .
- 2. Soma direta : se E e F são dois grupos abelianos , espaços vetoriais ou módulos , então sua soma direta, denotada, é um grupo abeliano, espaço vetorial ou módulo (respectivamente) equipado com dois monomorfismos e tal que é o direto interno soma de e . Esta definição faz sentido porque esta soma direta é única até um isomorfismo único .
- 3. Ou exclusivo : se E e F são duas variáveis ou predicados booleanos , pode denotar o ou exclusivo. Notações E XOR F e também são comumente usadas; veja ⊻ .
- ⊗
- Denota o produto tensorial . Se E e F são grupos abelianos , espaços vetoriais ou módulos sobre um anel comutativo , então o produto tensorial de E e F , denotado é um grupo abeliano, um espaço vetorial ou um módulo (respectivamente), equipado com um mapa bilinear de a , de tal modo que o bilinear mapeia a partir de qualquer grupo abeliano, espaço vectorial ou módulo G pode ser identificado com os mapas lineares a partir de L . Se E e F são espaços vetoriais sobre um campo R , ou módulos sobre um anel R , o produto tensorial é freqüentemente denotado para evitar ambigüidade.
- ⊤ □
- 1. Transpor : se A é uma matriz, indica a transposição de um , ou seja, a matriz obtida por troca de linhas e colunas de Uma . A notação também é usada. O símbolo é freqüentemente substituído pela letra T ou t .
- 2. Para usos em linha do símbolo, consulte ⊤ .
- □ ⊥
- 1. Complemento ortogonal : Se W é um subespaço linear de um espaço de produto interno V , então denota seu complemento ortogonal , ou seja, o espaço linear dos elementos de V cujos produtos internos com os elementos de W são todos zero.
- 2. Subespaço ortogonal no espaço dual : Se W é um subespaço linear (ou um submódulo ) de um espaço vetorial (ou de um módulo ) V , então pode denotar o subespaço ortogonal de W , ou seja, o conjunto de todas as formas lineares que mapeiam W para zero.
- 3. Para usos em linha do símbolo, consulte ⊥ .
Teoria de grupo avançada
- ⋉
⋊ - 1. Produto semidireto interno : se N e H são subgrupos de um grupo G , de modo que N é um subgrupo normal de G , então e significa que G é o produto semidireto de N e H , ou seja, que todo elemento de G pode ser decomposto exclusivamente como o produto de um elemento de N e um elemento de H (ao contrário do produto direto de grupos , o elemento de H pode mudar se a ordem dos fatores for alterada).
- 2. Produto semidireto externo : se N e H são dois grupos e é um homomorfismo de grupo de N para o grupo de automorfismo de H , então denota um grupo G , único até um isomorfismo de grupo , que é um produto semidireto de N e H , com a comutação dos elementos de N e H definida por .
- ≀
- Em teoria grupo , indica o produto grinalda dos grupos G e H . Também é denotado como ou ; consulte Produto Wreath § Notação e convenções para várias variantes de notação.
Números infinitos
- ∞
- 1. O símbolo é lido como infinito . Como um limite superior de um somatório , um produto infinito , uma integral , etc., significa que o cálculo é ilimitado. Da mesma forma, em um limite inferior significa que o cálculo não é limitado a valores negativos.
- 2. e são os números generalizados que são adicionados à linha real para formar a linha real estendida .
- 3. é o número generalizado que é adicionado à linha real para formar a linha real projetivamente estendida .
- 𝔠
- denota a cardinalidade do continuum , que é a cardinalidade do conjunto de números reais .
- ℵ
- Com um ordinal i como subscrito, denota o i ésimo número aleph , que é o i ésimo cardinal infinito . Por exemplo, é o menor cardinal infinito, ou seja, o cardinal dos números naturais.
- ℶ
- Com um ordinal i como subscrito, denota o i ésimo número . Por exemplo, é o cardinal dos números naturais e é o cardinal do continuum .
- ω
- 1. Denota o primeiro limite ordinal . Também é denotado e pode ser identificado com o conjunto ordenado dos números naturais .
- 2. Com um ordinal i como subscrito, denota o i- ésimo ordinal limite que tem uma cardinalidade maior que a de todos os ordinais precedentes.
- 3. Em ciência da computação , denota o maior limite inferior (desconhecido) para o expoente da complexidade computacional da multiplicação de matrizes .
- 4. Escrito em função de outra função, é usado para comparar o crescimento assintótico de duas funções. Veja a notação Big O § Notações assintóticas relacionadas .
- 5. Na teoria dos números , pode denotar a função ômega primária . Ou seja, é o número de fatores primos distintos do inteiro n .
Colchetes
Muitos tipos de colchetes são usados em matemática. Seus significados dependem não apenas de suas formas, mas também da natureza e do arranjo do que é delimitado por eles e, às vezes, do que aparece entre ou diante deles. Por esse motivo, nos títulos das entradas, o símbolo □ é usado para esquematizar a sintaxe que fundamenta o significado.
Parênteses
- (□)
- Usado em uma expressão para especificar que a subexpressão entre parênteses deve ser considerada como uma entidade única; normalmente usado para especificar a ordem das operações .
- □ (□)
□ (□, □)
□ (□, ..., □) - 1. Notação funcional : se a primeira for o nome (símbolo) de uma função , denota o valor da função aplicada à expressão entre parênteses; por exemplo, , . No caso de uma função multivariada , os parênteses contêm várias expressões separadas por vírgulas, como .
- 2. Também pode denotar um produto, como em . Quando a confusão é possível, o contexto deve distinguir quais símbolos denotam funções e quais denotam variáveis .
- (□, □)
- 1. Denota um par ordenado de objetos matemáticos , por exemplo ,.
- 2. Se a e b são números reais , , ou , e um < b , então denota o intervalo aberto delimitado por um e b . Consulte ] □, □ [ para uma notação alternativa.
- 3. Se a e b são inteiros , pode denotar o maior divisor comum de a e b . A notação é freqüentemente usada em seu lugar.
- (□, □, □)
- Se x , y , z são vetores em , então pode denotar o produto triplo escalar . Veja também [□, □, □] em § Colchetes .
- (□, ..., □)
- Denota uma tupla . Se houver n objetos separados por vírgulas, é um n- duplo.
- (□, □, ...)
(□, ..., □, ...) - Denota uma sequência infinita .
- Denota uma matriz . Freqüentemente indicado com colchetes .
- Denota um coeficiente binomial : dados dois inteiros não negativos , é lido como " n escolhe k " e é definido como o inteiro (se k = 0 , seu valor é convencionalmente 1 ). Usando a expressão do lado esquerdo, ele denota um polinômio em n e, portanto, é definido e usado para qualquer valor real ou complexo de n .
- (□/□)
- Símbolo de Legendre : Se p for um número primo ímpar e a for um inteiro , o valor de será 1 se a for um resíduo quadrático módulo p ; é -1 se a for um módulo p não residual quadrático ; é 0 se p dividir a . A mesma notação é usada para o símbolo de Jacobi e o símbolo de Kronecker , que são generalizações em que p é, respectivamente, qualquer número inteiro positivo ímpar ou qualquer número inteiro.
Colchetes
- [□]
- 1. Às vezes usado como sinônimo de (□) para evitar parênteses aninhados.
- 2. Classe de equivalência : dada uma relação de equivalência , freqüentemente denota a classe de equivalência do elemento x .
- 3. Parte integral : se x é um número real , [ x ] freqüentemente denota a parte integral ou truncamento de x , ou seja, o inteiro obtido removendo todos os dígitos após a casa decimal . Essa notação também foi usada para outras variantes de funções de piso e teto .
- 4. Parêntese de Iverson : se P é um predicado , pode denotar o colchete de Iverson, que é a função que assume o valor 1 para os valores das variáveis livres em P para as quais P é verdadeiro, e assume o valor 0 caso contrário. Por exemplo, é a função delta de Kronecker , que é igual a um se e zero caso contrário.
- □ [□]
- Imagem de um subconjunto : se S é um subconjunto do domínio da função f , então às vezes é usado para denotar a imagem de S . Quando nenhuma confusão é possível, a notação f ( S ) é comumente usada.
- [□, □]
- 1. intervalo fechado : se um e b são números reais tais que , em seguida, denota o intervalo fechado definido por eles.
- 2. Comutador (teoria grupo) : se um e b pertencem a um grupo , em seguida .
- 3. Comutador (teoria anel) : se um e b pertence a um anel , em seguida .
- 4. Denota o colchete de Lie , a operação de uma álgebra de Lie .
- [□: □]
- 1. Grau de extensão de um campo : se F é uma extensão de um campo E , então denota o grau de extensão do campo . Por exemplo ,.
- 2. índice de um subgrupo : Se H é um subgrupo de um grupo E , em seguida, indica o índice de H em L . A notação | G: H | também é usado
- [□, □, □]
- Se x , y , z são vetores em , então pode denotar o produto triplo escalar . Veja também (□, □, □) em § Parênteses .
- Denota uma matriz . Freqüentemente indicado com parênteses .
Suspensórios
- {}
- Notação de construtor de conjunto para o conjunto vazio , também denotado ou ∅ .
- {□}
- 1. Às vezes usado como sinônimo de (□) e [□] para evitar parênteses aninhados.
- 2. Notação de construtor de conjunto para um conjunto singleton : denota o conjunto que possui x como um único elemento.
- {□, ..., □}
- Notação de construtor de conjunto : denota o conjunto cujos elementos estão listados entre colchetes, separados por vírgulas.
- {□: □}
{□ | □} - Notação set-builder : se for um predicado dependente de uma variável x , então e denotam o conjunto formado pelos valores de x para os quais é verdadeiro.
- Chave simples
- 1. Usado para enfatizar que várias equações devem ser consideradas como equações simultâneas ; por exemplo ,.
- 2. Definição por partes ; por exemplo ,.
- 3. Usado para anotações agrupadas de elementos em uma fórmula; por exemplo, , ,
Outros colchetes
- | □ |
- 1. Valor absoluto : se x é um número real ou complexo , denota seu valor absoluto.
- 2. Número de elementos: Se S é um conjunto , pode denotar sua cardinalidade , ou seja, seu número de elementos. também é usado com frequência, consulte # .
- 3. Comprimento de um segmento de linha : Se P e Q são dois pontos em um espaço euclidiano , então geralmente denota o comprimento do segmento de linha que eles definem, que é a distância de P a Q , e é freqüentemente denotado .
- 4. Para um operador de aparência semelhante, consulte | .
- | □: □ |
- Índice de um subgrupo : Se H é um subgrupo de um grupo G , em seguida, indica o índice de H em L . A notação [G: H] também é usada
- denota o determinante da matriz quadrada .
- || □ ||
- 1. Denota a norma de um elemento de um espaço vetorial normatizado .
- 2. Para o operador de aparência semelhante denominado paralelo , consulte ∥ .
- ⌊ □ ⌋
- Função de piso : se x é um número real, é o maior inteiro que não é maior que x .
- ⌈ □ ⌉
- Função Ceil : se x é um número real, é o menor inteiro que não é menor que x .
- ⌊ □ ⌉
- Função de inteiro mais próximo : se x for um número real, é o inteiro mais próximo de x .
- ] □, □ [
- Intervalo aberto : Se a e b forem números reais,, ou , e , então denota o intervalo aberto delimitado por a e b. Veja (□, □) para uma notação alternativa.
- (□, □]
] □, □] - Ambas as notações são usadas para um intervalo aberto à esquerda .
- [□, □)
[□, □ [ - Ambas as notações são usadas para um intervalo de abertura à direita .
- ⟨□⟩
- 1. objeto Criação : se S é um conjunto de elementos de uma estrutura algébrica, indica frequentemente o objecto gerado por S . Se , escreve-se (isto é, as chaves são omitidas). Em particular, isso pode denotar
- o intervalo linear em um espaço vetorial (também frequentemente denominado Span ( S ) ),
- o subgrupo gerado em um grupo ,
- o ideal gerado em um anel ,
- o submódulo gerado em um módulo .
- 2. Freqüentemente usado, principalmente em física, para denotar um valor esperado . Na teoria da probabilidade , geralmente é usado em vez de .
- ⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩ - Ambos e são comumente usados para denotar o produto interno em um espaço de produto interno .
- ⟨□ | e | □⟩
- Notação bra-Ket ou notação de Dirac : se x e y são elementos de um espaço interior do produto , é o vector definido por X , e é o covector definido por Y ; seu produto interno é .
Símbolos que não pertencem a fórmulas
Nesta seção, os símbolos listados são usados como alguns tipos de sinais de pontuação no raciocínio matemático ou como abreviações de frases em inglês. Eles geralmente não são usados dentro de uma fórmula. Alguns foram usados na lógica clássica para indicar a dependência lógica entre sentenças escritas em inglês simples. Com exceção dos dois primeiros, eles normalmente não são usados em textos matemáticos impressos, pois, para facilitar a leitura, é geralmente recomendado ter pelo menos uma palavra entre duas fórmulas. No entanto, eles ainda são usados em um quadro negro para indicar relações entre fórmulas.
- ■, □
- Utilizado para marcar o final de uma prova e separá-la do texto atual. O inicialismo Q.ED ou QED ( latim : quod erat demonstrandum , "como era para ser mostrado") é freqüentemente usado para o mesmo propósito, tanto em maiúsculas como em minúsculas.
- ☡
- Símbolo de curvatura perigosa do Bourbaki : às vezes usado na margem para alertar os leitores sobre erros graves, onde eles correm o risco de cair, ou para marcar uma passagem que é complicada em uma primeira leitura por causa de um argumento especialmente sutil.
- ∴
- Abreviatura de "portanto". Colocado entre duas assertivas, significa que a primeira implica a segunda. Por exemplo: "Todos os humanos são mortais e Sócrates é humano. ∴ Sócrates é mortal."
- ∵
- Abreviatura de "porque" ou "desde". Colocado entre duas assertivas, significa que a primeira está implícita na segunda. Por exemplo: " 11 é primo ∵ ele não possui fatores de número inteiro positivo além dele próprio e um."
- ∋
- 1. Abreviatura de "tal que". Por exemplo, normalmente é impresso " x tal que ".
- 2. Às vezes usado para reverter os operandos de ; ou seja, tem o mesmo significado que . Consulte ∈ em § Teoria dos conjuntos .
- ∝
- Abreviatura de "é proporcional a".
Diversos
- !
- 1. Fatorial : se n for um número inteiro positivo , n ! é o produto dos primeiros n inteiros positivos e é lido como "n fatorial".
- 2. Subfatorial : se n for um número inteiro positivo ,! n é o número de desarranjos de um conjunto de n elementos e é lido como "o subfatorial de n".
- *
- Muitos usos diferentes em matemática; veja Asterisco § Matemática .
- |
- 1. Divisibilidade : se m e n são dois inteiros, significa que m divide n uniformemente.
- 2. Na notação de construtor de conjuntos , é usado como um separador que significa "tal que"; veja {□ | □} .
- 3. Restrição de uma função de : se f é uma função de , e S é um subconjunto do seu domínio , em seguida, é a função com S como um domínio que é igual a f em S .
- 4. Probabilidade condicional : denota a probabilidade de X dado que o evento E ocorre. Também denotado ; veja " / ".
- 5. Durante vários usos como suportes (em pares ou com ⟨ e ⟩ ) ver § Outros suportes .
- ∤
- Não divisibilidade : significa que n não é um divisor de m .
- ∥
- 1. Denota paralelismo em geometria elementar : se PQ e RS são duas linhas , significa que são paralelas.
- 2. Paralelamente , uma operação aritmética usado em engenharia eléctrica para modelar resistências paralelas : .
- 3. Usado em pares como colchetes, denota uma norma ; veja || □ || .
- ∦
- Às vezes usado para denotar que duas linhas não são paralelas; por exemplo ,.
- ⊙
- Produto de Hadamard da série de potências : se e , então . Possivelmente, também é usado em vez de ○ para o produto de matrizes de Hadamard .
Veja também
- Lista de símbolos matemáticos (Unicode e LaTeX)
- Símbolos Alfanuméricos Matemáticos (bloco Unicode)
- Lista de caracteres Unicode
- Listas de operadores matemáticos e símbolos em Unicode
- Operadores matemáticos e operadores matemáticos suplementares
- Símbolos matemáticos diversos: A , B , técnicos
- Seta (símbolo) e diversos símbolos e setas e símbolos de seta
- ISO 31-11 (sinais e símbolos matemáticos para uso em ciências físicas e tecnologia)
- Formulários numéricos
- Formas geométricas
- Diacrítico
- Linguagem da matemática
- Convenções tipográficas e significados comuns dos símbolos:
- Sintaxe e símbolos APL
- Letras gregas usadas em matemática, ciências e engenharia
- Letras latinas usadas em matemática
- Lista de notações físicas comuns
- Lista de letras usadas em matemática e ciências
- Lista de abreviações matemáticas
- Notação matemática
- Notação em probabilidade e estatística
- Constantes físicas
- Convenções tipográficas em fórmulas matemáticas
Referências
links externos
- Jeff Miller: primeiros usos de vários símbolos matemáticos
- Numericana: símbolos e ícones científicos
- Imagens GIF e PNG para símbolos matemáticos
- Símbolos Matemáticos em Unicode
- Detexify: ferramenta de reconhecimento de manuscrito LaTeX
Alguns gráficos Unicode de operadores matemáticos e símbolos:
- Índice de símbolos Unicode
- Intervalo 2100–214F: Símbolos Unicode Letterlike
- Intervalo 2190–21FF: Setas Unicode
- Intervalo 2200–22FF: Operadores matemáticos Unicode
- Intervalo 27C0–27EF: Símbolos Matemáticos Diversos Unicode – A
- Intervalo 2980–29FF: Símbolos Matemáticos Diversos Unicode – B
- Intervalo 2A00–2AFF: Operadores matemáticos suplementares Unicode
Algumas referências cruzadas Unicode:
- Lista resumida de símbolos LaTeX comumente usados e Lista Abrangente de Símbolos LaTeX
- Caracteres MathML - classifica os nomes Unicode, HTML e MathML / TeX em uma página
- Valores Unicode e nomes MathML
- Valores Unicode e nomes Postscript do código-fonte do Ghostscript