Coordenadas do ângulo de ação - Action-angle coordinates

Na mecânica clássica , as coordenadas do ângulo de ação são um conjunto de coordenadas canônicas úteis na solução de muitos sistemas integráveis . O método dos ângulos de ação é útil para obter as frequências do movimento oscilatório ou rotacional sem resolver as equações do movimento . As coordenadas do ângulo de ação são usadas principalmente quando as equações de Hamilton-Jacobi são completamente separáveis. (Conseqüentemente, o hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, ou seja, a energia é conservada .) Variáveis ​​de ângulo de ação definem um toro invariável , assim chamado porque manter a constante de ação define a superfície de um toro , enquanto as variáveis ​​de ângulo parametrizam as coordenadas no toro.

As condições de quantização de Bohr-Sommerfeld , usadas para desenvolver a mecânica quântica antes do advento da mecânica ondulatória , afirmam que a ação deve ser um múltiplo integral da constante de Planck ; da mesma forma, o insight de Einstein sobre a quantização EBK e a dificuldade de quantizar sistemas não integráveis ​​foi expresso em termos de toros invariantes de coordenadas de ângulo de ação.

As coordenadas do ângulo de ação também são úteis na teoria de perturbação da mecânica hamiltoniana , especialmente na determinação de invariantes adiabáticos . Um dos primeiros resultados da teoria do caos , para as perturbações não lineares de sistemas dinâmicos com um pequeno número de graus de liberdade, é o teorema KAM , que afirma que os toros invariantes são estáveis ​​sob pequenas perturbações.

O uso de variáveis ​​de ângulo de ação foi central para a solução da rede de Toda e para a definição de pares Lax , ou mais geralmente, a ideia da evolução isoespectral de um sistema.

Derivação

Os ângulos de ação resultam de uma transformação canônica do tipo 2, onde a função geradora é a função característica de Hamilton ( não a função principal de Hamilton ). Uma vez que o hamiltoniano original não depende explicitamente do tempo, o novo hamiltoniano é meramente o hamiltoniano antigo expresso em termos das novas coordenadas canônicas , que denotamos como (os ângulos de ação , que são as coordenadas generalizadas ) e seus novos momentos generalizados . Não precisaremos resolver aqui para a própria função geradora ; em vez disso, vamos usá-lo meramente como um veículo para relacionar as novas e antigas coordenadas canônicas .

Em vez de definir os ângulos de ação diretamente, definimos seus momentos generalizados, que se assemelham à ação clássica para cada coordenada generalizada original

onde o caminho de integração é implicitamente dado pela função de energia constante . Como o movimento real não está envolvido nesta integração, esses momentos generalizados são constantes do movimento, o que implica que o hamiltoniano transformado não depende das coordenadas generalizadas conjugadas

onde os são dados pela equação típica para uma transformação canônica tipo 2

Portanto, o novo hamiltoniano depende apenas dos novos momentos generalizados .

A dinâmica dos ângulos de ação é dada pelas equações de Hamilton

O lado direito é uma constante do movimento (já que todos os são). Portanto, a solução é dada por

onde está uma constante de integração. Em particular, se a coordenada generalizada original sofre uma oscilação ou rotação de período , o ângulo de ação correspondente muda em .

Estas são as frequências de oscilação / rotação para as coordenadas generalizadas originais . Para mostrar isso, integramos a mudança líquida no ângulo de ação sobre exatamente uma variação completa (ou seja, oscilação ou rotação) de suas coordenadas generalizadas

Definindo as duas expressões iguais, obtemos a equação desejada

Os ângulos de ação são um conjunto independente de coordenadas generalizadas . Assim, no caso geral, cada coordenada generalizada original pode ser expressa como uma série de Fourier em todos os ângulos de ação

onde é o coeficiente da série de Fourier. Na maioria dos casos práticos, no entanto, uma coordenada generalizada original será expressada como uma série de Fourier apenas em seus próprios ângulos de ação

Resumo do protocolo básico

O procedimento geral tem três etapas:

  1. Calcule os novos momentos generalizados
  2. Expresse o hamiltoniano original inteiramente em termos dessas variáveis.
  3. Pegue as derivadas do Hamiltoniano em relação a esses momentos para obter as frequências

Degeneração

Em alguns casos, as frequências de duas coordenadas generalizadas diferentes são idênticas, ou seja, para . Nesses casos, o movimento é denominado degenerado .

O movimento degenerado sinaliza que existem quantidades conservadas gerais adicionais; por exemplo, as frequências do problema Kepler são degeneradas, correspondendo à conservação do vetor Laplace-Runge-Lenz .

O movimento degenerado também sinaliza que as equações de Hamilton-Jacobi são completamente separáveis ​​em mais de um sistema de coordenadas; por exemplo, o problema Kepler é completamente separável em ambas as coordenadas esféricas e coordenadas parabólicos .

Veja também

Referências

  • LD Landau e EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN   0-08-021022-8 (capa dura) e ISBN   0-08-029141-4 (capa mole).
  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics , 2. ed., Addison-Wesley. ISBN   0-201-02918-9
  • G. Sardanashvily , (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems , URSS. ISBN   978-5-396-00687-4
  • Previato, Emma (2003), Dicionário de Matemática Aplicada para Engenheiros e Cientistas , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN   978-1-58488-053-0