Ação (física) - Action (physics)

Em física , a ação é um valor numérico que descreve como um sistema físico tem mudado ao longo do tempo . A ação é significativa porque as equações de movimento do sistema podem ser derivadas por meio do princípio da ação estacionária . No caso simples de uma única partícula se movendo com uma velocidade especificada, a ação é o momento da partícula vezes a distância que ela se move, adicionado ao longo de seu caminho, ou equivalentemente, duas vezes sua energia cinética vezes o período de tempo para o qual ela tem essa quantidade de energia, somada ao longo do período de tempo em consideração. Para sistemas mais complicados, todas essas quantidades são somadas. Mais formalmente, a ação é um funcional matemático que toma a trajetória , também chamada de caminho ou história , do sistema como seu argumento e tem um número real como seu resultado. Geralmente, a ação assume valores diferentes para caminhos diferentes. A ação tem dimensões de energia  x  tempo ou momento  x  comprimento , e sua unidade SI é joule -segundo (como a constante de Planck h ).

Introdução

O princípio de Hamilton afirma que as equações diferenciais de movimento para qualquer sistema físico podem ser reformuladas como uma equação integral equivalente . Assim, existem duas abordagens distintas para a formulação de modelos dinâmicos.

Isso se aplica não apenas à mecânica clássica de uma única partícula, mas também a campos clássicos , como os campos eletromagnético e gravitacional . O princípio de Hamilton também foi estendido à mecânica quântica e à teoria quântica de campos - em particular, a formulação integral do caminho da mecânica quântica faz uso do conceito - onde um sistema físico segue aleatoriamente um dos caminhos possíveis, com a fase da amplitude de probabilidade para cada caminho sendo determinado pela ação para o caminho.

Solução de equação diferencial

As leis empíricas são freqüentemente expressas como equações diferenciais , que descrevem como as quantidades físicas, como posição e momento, mudam continuamente com o tempo , espaço ou uma generalização deles. Dadas as condições iniciais e de contorno para a situação, a "solução" para essas equações empíricas é uma ou mais funções que descrevem o comportamento do sistema e são chamadas de equações de movimento .

Minimização da integral de ação

A ação é parte de uma abordagem alternativa para encontrar tais equações de movimento. A mecânica clássica postula que o caminho realmente seguido por um sistema físico é aquele para o qual a ação é minimizada , ou mais geralmente, é estacionário . Em outras palavras, a ação satisfaz um princípio variacional : o princípio da ação estacionária (veja também abaixo). A ação é definida por uma integral e as equações clássicas de movimento de um sistema podem ser derivadas minimizando o valor dessa integral.

Este princípio simples fornece insights profundos sobre a física e é um conceito importante na física teórica moderna .

História

A ação foi definida de várias maneiras obsoletas durante o desenvolvimento do conceito.

• Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli e Pierre Louis Maupertuis definiram a ação para a luz como a integral de sua velocidade ou velocidade inversa ao longo de seu caminho.
• Leonhard Euler (e, possivelmente, Leibniz) definiu a ação para uma partícula material como a integral da velocidade da partícula ao longo de seu caminho através do espaço.
• Pierre Louis Maupertuis introduziu várias definições ad hoc e contraditórias de ação em um único artigo , definindo ação como energia potencial, como energia cinética virtual e como um híbrido que garantiu a conservação do momento nas colisões.

Definição matemática

Expresso em linguagem matemática, usando o cálculo de variações , a evolução de um sistema físico (ou seja, como o sistema realmente progride de um estado para outro) corresponde a um ponto estacionário (geralmente, um mínimo) da ação.

Várias definições diferentes de "a ação" são comumente usadas na física. A ação geralmente é uma parte integrante ao longo do tempo. No entanto, quando a ação pertence a campos , ela pode ser integrada também a variáveis ​​espaciais. Em alguns casos, a ação é integrada ao longo do caminho percorrido pelo sistema físico.

A ação é normalmente representada como uma integral ao longo do tempo, realizada ao longo do caminho do sistema entre o momento inicial e o momento final do desenvolvimento do sistema:

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \, dt,}$

onde o integrando L é chamado de Lagrangiano . Para que a integral de ação seja bem definida, a trajetória deve ser limitada no tempo e no espaço.

A ação tem as dimensões de [energia]  ×  [tempo] e sua unidade SI é joule -segundo, que é idêntica à unidade de momento angular .

Ação na física clássica

Na física clássica , o termo "ação" tem vários significados.

Ação (funcional)

Mais comumente, o termo é usado para um funcional que assume uma função de tempo e espaço (para campos ) como entrada e retorna um escalar . Na mecânica clássica , a função de entrada é a evolução q ( t ) do sistema entre dois tempos t ₁ e t ₂ , onde q representa as coordenadas generalizadas . A ação é definida como a integral da Lagrangiana L para uma evolução de entrada entre os dois tempos: ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)]}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q} (t), {\ ponto {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt,}$

onde os pontos finais da evolução são fixos e definidos como e . De acordo com o princípio de Hamilton , a verdadeira evolução q _true ( t ) é uma evolução para a qual a ação é estacionária (um mínimo, um máximo ou um ponto de sela ). Este princípio resulta nas equações de movimento na mecânica Lagrangiana . ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1} = \ mathbf {q} (t_ {1})}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2} = \ mathbf {q} (t_ {2})}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q} (t)]}$

Ação abreviada (funcional)

Normalmente denotado como , este também é um funcional . Aqui a função de entrada é o caminho percorrido pelo sistema físico sem levar em conta sua parametrização por tempo. Por exemplo, o caminho de uma órbita planetária é uma elipse, e o caminho de uma partícula em um campo gravitacional uniforme é uma parábola; em ambos os casos, o caminho não depende de quão rápido a partícula atravessa o caminho. A ação abreviada é definida como a integral dos momentos generalizados ao longo de um caminho nas coordenadas generalizadas : ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} = \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} = \ int p_ {i} \, dq_ {i}.}$

De acordo com o princípio de Maupertuis , o verdadeiro caminho é aquele no qual a ação abreviada é estacionária . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$

Função principal de Hamilton

A função principal de Hamilton é obtida do funcional de ação fixando o tempo inicial e o ponto final inicial, enquanto permite que o limite de tempo superior e o segundo ponto final variem. A função principal de Hamilton satisfaz a equação de Hamilton-Jacobi, uma formulação da mecânica clássica . Devido a uma semelhança com a equação de Schrödinger , a equação de Hamilton-Jacobi fornece, sem dúvida, a ligação mais direta com a mecânica quântica . ${\ displaystyle S = S (q, t; q_ {0}, t_ {0})}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle q_ {0},}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle q}$

Função característica de Hamilton

Quando a energia total E é conservada, a equação de Hamilton-Jacobi pode ser resolvida com a separação aditiva de variáveis :

${\ displaystyle S (q_ {1}, \ dots, q_ {N}, t) = W (q_ {1}, \ dots, q_ {N}) - E \ cdot t,}$

onde a função independente do tempo W ( q ₁ , q ₂ ,… q _N ) é chamada de função característica de Hamilton . O significado físico desta função é compreendido tomando sua derivada de tempo total

${\ displaystyle {\ frac {dW} {dt}} = {\ frac {\ parcial W} {\ parcial q_ {i}}} {\ ponto {q}} _ {i} = p_ {i} {\ ponto {q}} _ {i}.}$

Isso pode ser integrado para dar

${\ displaystyle W (q_ {1}, \ dots, q_ {N}) = \ int p_ {i} {\ dot {q}} _ {i} \, dt = \ int p_ {i} \, dq_ { eu},}$

que é apenas a ação abreviada .

Outras soluções das equações de Hamilton-Jacobi

As equações de Hamilton-Jacobi são freqüentemente resolvidas por separabilidade aditiva; em alguns casos, os termos individuais da solução, por exemplo, S _k ( q _k ), também são chamados de "ação".

Ação de uma coordenada generalizada

Esta é uma única variável J _k nas coordenadas do ângulo de ação , definida pela integração de um único momento generalizado em torno de um caminho fechado no espaço de fase , correspondendo ao movimento de rotação ou oscilação:

${\ displaystyle J_ {k} = \ oint p_ {k} \, dq_ {k}}$

A variável J _k é chamada de "ação" da coordenada generalizada q _k ; a variável canônica correspondente conjugada com J _k é seu "ângulo" w _k , por razões descritas mais detalhadamente em coordenadas de ângulo de ação . A integração é apenas sobre uma única variável q _k e, portanto, ao contrário do produto escalar integrado na integral de ação abreviada acima. A variável J _k é igual à mudança em S _k ( q _k ) conforme q _k é variado em torno do caminho fechado. Para vários sistemas físicos de interesse, J _k é uma constante ou varia muito lentamente; portanto, a variável J _k é freqüentemente usada em cálculos de perturbação e na determinação de invariantes adiabáticos .

Ação para um fluxo hamiltoniano

Veja uma forma tautológica .

Equações de Euler-Lagrange

Na mecânica Lagrangiana, o requisito de que a integral de ação seja estacionária sob pequenas perturbações é equivalente a um conjunto de equações diferenciais (chamadas de equações de Euler-Lagrange) que podem ser obtidas usando o cálculo de variações .

O princípio de ação

Campos clássicos

O princípio de ação pode ser estendido para obter as equações de movimento para campos, como o campo eletromagnético ou o campo gravitacional .

A equação de Einstein utiliza a ação de Einstein-Hilbert restringida por um princípio variacional .

A trajetória (caminho no espaço-tempo ) de um corpo em um campo gravitacional pode ser encontrada usando o princípio de ação. Para um corpo em queda livre, essa trajetória é geodésica .

Leis de Conservação

As implicações das simetrias em uma situação física podem ser encontradas com o princípio de ação, junto com as equações de Euler-Lagrange , que são derivadas do princípio de ação. Um exemplo é o teorema de Noether , que afirma que a toda simetria contínua em uma situação física corresponde uma lei de conservação (e vice-versa). Essa conexão profunda requer que o princípio de ação seja assumido.

Mecânica quântica e teoria quântica de campo

Na mecânica quântica, o sistema não segue um único caminho cuja ação é estacionária, mas o comportamento do sistema depende de todos os caminhos permitidos e do valor de sua ação. A ação correspondente aos vários caminhos é usada para calcular a integral do caminho , que fornece as amplitudes de probabilidade dos vários resultados.

Embora equivalente na mecânica clássica às leis de Newton , o princípio de ação é mais adequado para generalizações e desempenha um papel importante na física moderna. Na verdade, esse princípio é uma das grandes generalizações da ciência física. É melhor entendida dentro mecânica quântica, particularmente em Richard Feynman 's caminho formulação integrante , onde ele surge de interferência destrutiva das amplitudes quânticas.

As equações de Maxwell também podem ser derivadas como condições de ação estacionária .

Partícula relativística única

Quando os efeitos relativísticos são significativos, a ação de uma partícula pontual de massa m viajando por uma linha de mundo C parametrizada no tempo adequado é ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle S = -mc ^ {2} \ int _ {C} \, d \ tau.}$

Se, em vez disso, a partícula é parametrizada pelo tempo de coordenada t da partícula e o tempo de coordenada varia de t ₁ a t ₂ , então a ação torna-se

${\ displaystyle S = \ int _ {t1} ^ {t2} L \, dt,}$

onde o Lagrangeanos é

${\ displaystyle L = -mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}.}$

Extensões modernas

O princípio de ação pode ser generalizado ainda mais. Por exemplo, a ação não precisa ser uma integral, porque ações não locais são possíveis. O espaço de configuração nem precisa ser um espaço funcional , dados certos recursos, como geometria não comutativa . No entanto, uma base física para essas extensões matemáticas ainda precisa ser estabelecida experimentalmente.

Veja também

Referências

Fontes e leituras adicionais

Para obter uma bibliografia comentada, consulte Edwin F. Taylor que lista , entre outras coisas, os seguintes livros

• The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Cornelius Lanczos , The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN  0-486-65067-7 . A referência mais citada por todos aqueles que exploram esta área.
• LD Landau e EM Lifshitz , Mecânica, Curso de Física Teórica (Butterworth-Heinenann, 1976), 3ª ed., Vol. 1. ISBN  0-7506-2896-0 . Começa com o princípio da menor ação.
• Thomas A. Moore "Least-Action Principle" em Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN  0-02-897359-3 , OCLC  35269891 , páginas 840-842.
• Gerald Jay Sussman e Jack Wisdom , Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001). Começa com o princípio da menor ação, usa notação matemática moderna e verifica a clareza e a consistência dos procedimentos programando-os em linguagem de computador.
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN  0-07-069258-0 , Um "esboço" abrangente de 350 páginas do assunto.
• Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN  0-486-63069-2 . Um oldie, mas goodie, com o formalismo cuidadosamente definido antes do uso em física e engenharia.
• Wolfgang Yourgrau e Stanley Mandelstam , Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, 1979). Um belo tratamento que não evita as implicações filosóficas da teoria e enaltece o tratamento de Feynman da mecânica quântica que se reduz ao princípio da menor ação no limite da grande massa.
• Página de Edwin F. Taylor

links externos

• Princípio da menor ação interativa Explicação / página da web interativa