Triângulos agudos e obtusos - Acute and obtuse triangles

Um triângulo agudo (ou triângulo agudo) é um triângulo com três ângulos agudos (menos de 90 °). Um triângulo obtuso (ou triângulo obtuso-angular) é um triângulo com um ângulo obtuso (maior que 90 °) e dois ângulos agudos. Como os ângulos de um triângulo devem somar 180 ° na geometria euclidiana , nenhum triângulo euclidiano pode ter mais de um ângulo obtuso.

Os triângulos agudos e obtusos são os dois tipos diferentes de triângulos oblíquos - triângulos que não são triângulos retângulos porque não têm um ângulo de 90 °.

Direito	Obtuso	Agudo
	${\ displaystyle \ underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}}$
	Oblíquo

Propriedades

Em todos os triângulos, o centróide - a intersecção das medianas , cada uma das quais conecta um vértice com o ponto médio do lado oposto - e o incentivo - o centro do círculo que é tangente internamente a todos os três lados - estão no interior de O triângulo. No entanto, enquanto o ortocentro e o circuncentro estão no interior de um triângulo agudo, eles são exteriores a um triângulo obtuso.

O ortocentro é o ponto de intersecção das três altitudes do triângulo , cada uma das quais conecta perpendicularmente um lado ao vértice oposto . No caso de um triângulo agudo, todos os três segmentos estão inteiramente no interior do triângulo e, portanto, eles se cruzam no interior. Mas para um triângulo obtuso, as altitudes dos dois ângulos agudos cruzam apenas as extensões dos lados opostos. Essas altitudes ficam inteiramente fora do triângulo, resultando em sua interseção entre si (e, portanto, com a altitude estendida do vértice de ângulo obtuso) ocorrendo no exterior do triângulo.

Da mesma forma, o circuncentro de um triângulo - a interseção das bissetoras perpendiculares dos três lados , que é o centro do círculo que passa por todos os três vértices - cai dentro de um triângulo agudo, mas fora de um triângulo obtuso.

O triângulo retângulo é o caso intermediário: tanto seu circuncentro quanto seu ortocentro ficam em seu limite.

Em qualquer triângulo, quaisquer duas medidas de ângulo A e B lados opostos um e b , respectivamente, estão relacionadas de acordo com a

${\ displaystyle A> B \ quad {\ text {se e somente se}} \ quad a> b.}$

Isso implica que o lado mais longo de um triângulo obtuso é o oposto ao vértice de ângulo obtuso.

Um triângulo agudo tem três quadrados inscritos , cada um com um lado coincidindo com parte de um lado do triângulo e com os outros dois vértices do quadrado nos dois lados restantes do triângulo. (Em um triângulo retângulo, dois deles são fundidos no mesmo quadrado, então há apenas dois quadrados inscritos distintos.) No entanto, um triângulo obtuso tem apenas um quadrado inscrito, um de cujos lados coincide com parte do lado mais longo do triângulo .

Todos os triângulos em que a linha de Euler é paralela a um lado são agudos. Esta propriedade é válida para o lado BC se e somente se ${\ displaystyle (\ tan B) (\ tan C) = 3.}$

Desigualdades

Lados

Se o ângulo C é obtuso, então para os lados a , b e c temos

${\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {2}} <a ^ {2} + b ^ {2} <c ^ {2},}$

com a desigualdade da esquerda se aproximando da igualdade no limite apenas quando o ângulo de vértice de um triângulo isósceles se aproxima de 180 °, e com a desigualdade da direita se aproximando da igualdade apenas quando o ângulo obtuso se aproxima de 90 °.

Se o triângulo for agudo, então

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}, \ quad b ^ {2} + c ^ {2}> a ^ {2}, \ quad c ^ {2} + a ^ {2}> b ^ {2}.}$

Altitude

Se C é o maior ângulo e h _c é a altitude do vértice C , então para um triângulo agudo

${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {c} ^ {2}}} <{\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} ,}$

com a desigualdade oposta se C for obtuso.

Medianas

Com o lado c mais longo e medianas m _a e m _b dos outros lados,

${\ displaystyle 4c ^ {2} + 9a ^ {2} b ^ {2}> 16m_ {a} ^ {2} m_ {b} ^ {2}}$

para um triângulo agudo, mas com a desigualdade invertida para um triângulo obtuso.

A mediana m _c do lado mais longo é maior ou menor do que o circumradius para um triângulo agudo ou obtuso, respectivamente:

${\ displaystyle m_ {c}> R}$

para triângulos agudos, com o oposto para triângulos obtusos.

Área

Desigualdade de Ono para a área A ,

${\ displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} \ leq (4A) ^ {6},}$

vale para todos os triângulos agudos, mas não para todos os triângulos obtusos.

Funções trigonométricas

Para um triângulo agudo, temos, para os ângulos A , B e C ,

${\ displaystyle \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B + \ cos ^ {2} C <1,}$

com a desigualdade reversa valendo para um triângulo obtuso.

Para um triângulo agudo com circunradius R ,

${\ displaystyle a \ cos ^ {3} A + b \ cos ^ {3} B + c \ cos ^ {3} C \ leq {\ frac {abc} {4R ^ {2}}}}$

e

${\ displaystyle \ cos ^ {3} A + \ cos ^ {3} B + \ cos ^ {3} C + \ cos A \ cos B \ cos C \ geq {\ frac {1} {2}}.}$

Para um triângulo agudo,

${\ displaystyle \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B + \ sin ^ {2} C> 2,}$

com a desigualdade reversa para um triângulo obtuso.

Para um triângulo agudo,

${\ displaystyle \ sin A \ cdot \ sin B + \ sin B \ cdot \ sin C + \ sin C \ cdot \ sin A \ leq (\ cos A + \ cos B + \ cos C) ^ {2}.}$

Para qualquer triângulo, a identidade tangente tripla afirma que a soma das tangentes dos ângulos é igual a seu produto. Uma vez que um ângulo agudo tem um valor tangente positivo, enquanto um ângulo obtuso tem um valor negativo, a expressão para o produto das tangentes mostra que

${\ displaystyle \ tan A + \ tan B + \ tan C = \ tan A \ cdot \ tan B \ cdot \ tan C> 0}$

para triângulos agudos, enquanto a direção oposta da desigualdade vale para triângulos obtusos.

Nós temos

${\ displaystyle \ tan A + \ tan B + \ tan C \ geq 2 (\ sin 2A + \ sin 2B + \ sin 2C)}$

para triângulos agudos e o reverso para triângulos obtusos.

Para todos os triângulos agudos,

${\ displaystyle (\ tan A + \ tan B + \ tan C) ^ {2} \ geq (\ sec A + 1) ^ {2} + (\ sec B + 1) ^ {2} + (\ sec C + 1 ) ^ {2}.}$

Para todos os triângulos agudos com inradius r e circumradius R ,

${\ displaystyle a \ tan A + b \ tan B + c \ tan C \ geq 10R-2r.}$

Para um triângulo agudo com área K ,

${\ displaystyle ({\ sqrt {\ cot A}} + {\ sqrt {\ cot B}} + {\ sqrt {\ cot C}}) ^ {2} \ leq {\ frac {K} {r ^ { 2}}}.}$

Circumradius, inradius e exradii

Em um triângulo agudo, a soma do circumradius R e do inradius r é menos da metade da soma dos lados mais curtos a e b :

${\ displaystyle R + r <{\ frac {a + b} {2}},}$

enquanto a desigualdade reversa vale para um triângulo obtuso.

Para um triângulo agudo com medianas m _a , m _b e m _ce circunradius R , temos

${\ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}$

enquanto a desigualdade oposta vale para um triângulo obtuso.

Além disso, um triângulo agudo satisfaz

${\ displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8R ^ {2},}$

em termos dos raios circulares r _a , r _b e r _c , novamente com a desigualdade reversa válida para um triângulo obtuso.

Para um triângulo aguda com semiperimeter s ,

${\ displaystyle sr> 2R,}$

e a desigualdade reversa vale para um triângulo obtuso.

Para um triângulo agudo com área K ,

${\ displaystyle ab + bc + ca \ geq 2R (R + r) + {\ frac {8K} {\ sqrt {3}}}.}$

Distâncias envolvendo centros de triângulo

Para um triângulo agudo, a distância entre o circuncentro O e o ortocentro H satisfaz

${\ displaystyle OH <R,}$

com a desigualdade oposta valendo para um triângulo obtuso.

Para um triângulo agudo, a distância entre o centro incircular I e o ortocentro H satisfaz

${\ displaystyle IH <r {\ sqrt {2}},}$

onde r é o inradius , com a desigualdade reversa para um triângulo obtuso.

Quadrado inscrito

Se um dos quadrados inscritos de um triângulo agudo tem comprimento lateral x _a e outro tem comprimento lateral x _b com x _a < x _b , então

${\ displaystyle 1 \ geq {\ frac {x_ {a}} {x_ {b}}} \ geq {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} \ approx 0,94.}$

Dois triângulos

Se dois triângulos obtusos têm lados ( a, b, c ) e ( p, q, r ) com c e r sendo os respectivos lados mais longos, então

${\ displaystyle ap + bq <cr.}$

Exemplos

Triângulos com nomes especiais

O triângulo de Calabi , que é o único triângulo não equilátero em que o maior quadrado que cabe no interior pode ser posicionado de três maneiras diferentes, é obtuso e isósceles com ângulos de base 39,1320261 ... ° e terceiro ângulo 101,7359477 .. . °.

O triângulo equilátero , com três ângulos de 60 °, é agudo.

O triângulo de Morley , formado a partir de qualquer triângulo pelas interseções de seus trissetores angulares adjacentes, é equilátero e, portanto, agudo.

O triângulo dourado é o triângulo isósceles no qual a proporção do lado duplicado para o lado da base é igual à proporção dourada . É agudo, com ângulos de 36 °, 72 ° e 72 °, sendo o único triângulo com ângulos nas proporções 1: 2: 2.

O triângulo heptagonal , com os lados coincidindo com um lado, a diagonal mais curta e a diagonal mais longa de um heptágono regular é obtuso, com ângulos e ${\ displaystyle \ pi / 7,2 \ pi / 7,}$${\ displaystyle 4 \ pi / 7.}$

Triângulos com lados inteiros

O único triângulo com inteiros consecutivos para uma altitude e os lados é agudo, tendo lados (13,14,15) e altitude do lado 14 igual a 12.

O triângulo de menor perímetro com lados inteiros em progressão aritmética, e o triângulo de menor perímetro de lados inteiros com lados distintos, é obtuso: a saber, aquele com lados (2, 3, 4).

Os únicos triângulos com um ângulo sendo o dobro do outro e tendo lados inteiros na progressão aritmética são agudos: a saber, o triângulo (4,5,6) e seus múltiplos.

Não há triângulos agudos de lados inteiros com área = perímetro , mas há três obtusos, tendo lados (6,25,29), (7,15,20) e (9,10,17).

O menor triângulo de lados inteiros com três medianas racionais é agudo, com lados (68, 85, 87).

Os triângulos de garça têm lados inteiros e área inteira. O triângulo oblíquo da Garça com o menor perímetro é agudo, com lados (6, 5, 5). Os dois triângulos de Garça oblíquos que compartilham a menor área são o agudo com lados (6, 5, 5) e o obtuso com lados (8, 5, 5), sendo a área de cada um 12.

Referências

• Weisstein, Eric W. "Triângulo agudo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "triângulo obtuso" . MathWorld .