Adição - Addition

3 + 2 = 5 com maçãs , uma escolha popular nos livros didáticos

A adição (geralmente representada pelo símbolo de adição + ) é uma das quatro operações básicas da aritmética , as outras três sendo subtração , multiplicação e divisão . A adição de dois números inteiros resulta na quantidade total ou soma desses valores combinados. O exemplo na imagem adjacente mostra uma combinação de três maçãs e duas maçãs, perfazendo um total de cinco maçãs. Esta observação é equivalente à expressão matemática "3 + 2 = 5" (ou seja, "3 mais 2 é igual a 5").

Além de contar itens, a adição também pode ser definida e executada sem se referir a objetos concretos , usando abstrações chamadas de números , como inteiros , números reais e números complexos . A adição pertence à aritmética, um ramo da matemática . Na álgebra , outra área da matemática, a adição também pode ser realizada em objetos abstratos, como vetores , matrizes , subespaços e subgrupos .

A adição tem várias propriedades importantes. É comutativo , o que significa que a ordem não importa, e é associativo , o que significa que quando se adiciona mais de dois números, a ordem em que a adição é realizada não importa (ver Soma ). A adição repetida de 1 é o mesmo que contar; adição de 0 não altera um número. A adição também obedece a regras previsíveis relativas a operações relacionadas, como subtração e multiplicação.

Executar a adição é uma das tarefas numéricas mais simples. A adição de números muito pequenos é acessível a crianças; a tarefa mais básica, 1 + 1 , pode ser realizada por bebês de até cinco meses, e até mesmo alguns membros de outras espécies animais. Na educação primária , os alunos são ensinados a somar números no sistema decimal , começando com um dígito e, progressivamente, enfrentando problemas mais difíceis. Os recursos mecânicos variam do antigo ábaco ao computador moderno , onde a pesquisa sobre as implementações mais eficientes de adição continua até hoje.

Notação e terminologia

O sinal de mais

A adição é escrita usando o sinal de mais "+" entre os termos; isto é, em notação infixa . O resultado é expresso com um sinal de igual . Por exemplo,

("um mais um igual a dois")
("dois mais dois é igual a quatro")
("um mais dois é igual a três")
(veja "associatividade" abaixo )
(veja "multiplicação" abaixo )
Adição colunar - os números na coluna devem ser adicionados, com a soma escrita abaixo do número sublinhado .

Existem também situações em que a adição é "compreendida", embora nenhum símbolo apareça:

  • Um número inteiro seguido imediatamente por uma fração indica a soma dos dois, chamada de número misto . Por exemplo,
    Essa notação pode causar confusão, pois na maioria dos outros contextos, a justaposição denota multiplicação .

A soma de uma série de números relacionados pode ser expressa por meio da notação sigma maiúscula , que denota iteração compacta . Por exemplo,

Os números ou os objetos a serem adicionados na adição geral são referidos coletivamente como os termos , os adendos ou os somatórios ; esta terminologia é transportada para a soma de vários termos. Isso deve ser diferenciado de fatores , que são multiplicados . Alguns autores chamam o primeiro adendo de augend . Na verdade, durante a Renascença , muitos autores não consideraram o primeiro adendo um "adendo" de forma alguma. Hoje, devido à propriedade comutativa de adição, "augend" raramente é usado e ambos os termos são geralmente chamados de adendos.

Toda a terminologia acima deriva do latim . " Adição " e " adicionar " são palavras inglesas derivadas do verbo latino addere , que por sua vez é um composto de ad "para" e ouse "dar", da raiz proto-indo-européia * deh₃- "dar" ; assim, adicionar é dar a . Usar o sufixo gerundivo -nd resulta em "adendo", "coisa a ser adicionada". Da mesma forma, de augere "aumentar", obtém-se "augend", "coisa a ser aumentada".

Ilustração redesenhada de The Art of Nombryng , um dos primeiros textos aritméticos ingleses, do século XV.

"Soma" e "soma" derivam do substantivo latino summa "o mais alto, o topo" e do verbo associado summare . Isso é apropriado não apenas porque a soma de dois números positivos é maior do que qualquer um, mas porque era comum para os antigos gregos e romanos somarem para cima, ao contrário da prática moderna de somar para baixo, de modo que a soma fosse literalmente maior do que o adendos. Addere e summare datam de pelo menos Boécio , senão de escritores romanos anteriores, como Vitrúvio e Frontino ; Boécio também usou vários outros termos para a operação de adição. Os termos posteriores do inglês médio "adden" e "acrescentando" foram popularizados por Chaucer .

O sinal de mais "+" ( Unicode : U + 002B; ASCII : +) é uma abreviação da palavra latina et , que significa "e". Ele aparece em trabalhos matemáticos que datam de pelo menos 1489.

Interpretações

A adição é usada para modelar muitos processos físicos. Mesmo para o caso simples de adicionar números naturais , existem muitas interpretações possíveis e ainda mais representações visuais.

Conjuntos de combinação

AdditionShapes.svg

Possivelmente, a interpretação mais fundamental da adição reside na combinação de conjuntos:

  • Quando duas ou mais coleções disjuntas são combinadas em uma única coleção, o número de objetos na coleção única é a soma dos números de objetos nas coleções originais.

Essa interpretação é fácil de visualizar, com pouco risco de ambiguidade. Também é útil em matemática superior (para a definição rigorosa que inspira, consulte § Números naturais abaixo). No entanto, não é óbvio como se deve estender essa versão de adição para incluir números fracionários ou números negativos.

Uma solução possível é considerar coleções de objetos que podem ser facilmente divididos, como tortas ou, melhor ainda, barras segmentadas. Em vez de apenas combinar conjuntos de segmentos, as hastes podem ser unidas ponta a ponta, o que ilustra outra concepção de adição: adicionar não as hastes, mas os comprimentos das hastes.

Estendendo um comprimento

Uma visualização de linha numérica da adição algébrica 2 + 4 = 6. Uma tradução por 2 seguida por uma tradução por 4 é o mesmo que uma tradução por 6.
Uma visualização de linha numérica da adição unária 2 + 4 = 6. Uma tradução por 4 é equivalente a quatro traduções por 1.

Uma segunda interpretação da adição vem de estender um comprimento inicial por um determinado comprimento:

  • Quando um comprimento original é estendido por um determinado valor, o comprimento final é a soma do comprimento original e o comprimento da extensão.

A soma de um + b pode ser interpretado como uma operação de binário , que combina um e B , em um sentido algébrico, ou ele pode ser interpretado como a adição de b mais unidades para um . Sob a última interpretação, as partes de uma soma a + b desempenham papéis assimétricos, e a operação a + b é vista como aplicando a operação unária + b a a . Em vez de chamar os adendos a e b , é mais apropriado chamar a o augend neste caso, uma vez que a desempenha um papel passivo. A visão unária também é útil ao discutir a subtração , porque cada operação de adição unária tem uma operação de subtração unária inversa e vice-versa .

Propriedades

Comutatividade

4 + 2 = 2 + 4 com blocos

A adição é comutativa , o que significa que se pode alterar a ordem dos termos em uma soma, mas ainda assim obter o mesmo resultado. Simbolicamente, se um e b são dois números quaisquer, então

a + b = b + a .

O fato de a adição ser comutativa é conhecido como "lei comutativa da adição" ou "propriedade comutativa da adição". Algumas outras operações binárias são comutativas, como multiplicação, mas muitas outras não, como subtração e divisão.

Associatividade

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 com hastes segmentadas

A adição é associativa , o que significa que quando três ou mais números são somados, a ordem das operações não altera o resultado.

Como exemplo, a expressão a + b + c deve ser definida para significar ( a + b ) + c ou a + ( b + c )? Dado que a adição é associativa, a escolha da definição é irrelevante. Para quaisquer três números a , b e c , é verdade que ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Por exemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Quando a adição é usada junto com outras operações, a ordem das operações torna-se importante. Na ordem padrão de operações, a adição é uma prioridade mais baixa do que a exponenciação , enésimas raízes , multiplicação e divisão, mas recebe prioridade igual à subtração.

Elemento de identidade

5 + 0 = 5 com sacos de pontos

Adicionar zero a qualquer número não altera o número; isso significa que zero é o elemento de identidade para adição e também é conhecido como identidade aditiva . Em símbolos, para cada a , um tem

a + 0 = 0 + a = a .

Esta lei foi identificado pela primeira vez em Brahmagupta 's Brahmasphutasiddhanta em 628 dC, embora ele escreveu como três leis distintas, dependendo se um é negativo, positivo ou zero em si, e ele usou palavras ao invés de símbolos algébricos. Mais tarde, os matemáticos indianos refinaram o conceito; por volta do ano 830, Mahavira escreveu, "zero torna-se o mesmo que o que é adicionado a ele", correspondendo à afirmação unária 0 + a = a . No século 12, Bhaskara escreveu: "Na adição de cifra, ou subtração dela, a quantidade, positiva ou negativa, permanece a mesma", correspondendo à afirmação unária a + 0 = a .

Sucessor

No contexto de inteiros, a adição de um também desempenha um papel especial: para qualquer inteiro a , o inteiro ( a + 1) é o menor número inteiro maior que a , também conhecido como sucessor de a . Por exemplo, 3 é o sucessor de 2 e 7 é o sucessor de 6. Por causa dessa sucessão, o valor de a + b também pode ser visto como o b ésimo sucessor de a , fazendo a adição iterativa da sucessão. Por exemplo, 6 + 2 é 8, porque 8 é o sucessor de 7, que é o sucessor de 6, tornando 8 o segundo sucessor de 6.

Unidades

Para adicionar numericamente quantidades físicas com unidades , elas devem ser expressas com unidades comuns. Por exemplo, adicionar 50 mililitros a 150 mililitros dá 200 mililitros. No entanto, se uma medida de 5 pés for estendida por 2 polegadas, a soma será 62 polegadas, já que 60 polegadas é sinônimo de 5 pés. Por outro lado, geralmente não faz sentido tentar somar 3 metros e 4 metros quadrados, uma vez que essas unidades são incomparáveis; esse tipo de consideração é fundamental na análise dimensional .

Fazendo adição

Habilidade inata

Estudos sobre o desenvolvimento matemático iniciados por volta da década de 1980 exploraram o fenômeno da habituação : os bebês olham mais para situações inesperadas. Um experimento seminal de Karen Wynn em 1992 envolvendo bonecos do Mickey Mouse manipulados atrás de uma tela demonstrou que bebês de cinco meses esperam que 1 + 1 seja 2, e eles ficam comparativamente surpresos quando uma situação física parece implicar que 1 + 1 seja 1 ou 3. Esse achado já foi afirmado por uma variedade de laboratórios usando diferentes metodologias. Outra experiência de 1992 com crianças mais velhas , entre 18 e 35 meses, explorou o desenvolvimento do controle motor, permitindo-lhes retirar bolas de pingue-pongue de uma caixa; o mais jovem respondeu bem para números pequenos, enquanto os indivíduos mais velhos foram capazes de calcular somas de até 5.

Mesmo alguns animais não humanos mostram uma capacidade limitada de adicionar, especialmente primatas . Em um experimento de 1995 que imitou o resultado de Wynn em 1992 (mas usando berinjelas em vez de bonecas), o macaco rhesus e os macacos micos-cottontop tiveram um desempenho semelhante ao de bebês humanos. Mais dramaticamente, depois de aprender os significados dos algarismos arábicos de 0 a 4, um chimpanzé foi capaz de calcular a soma de dois algarismos sem treinamento adicional. Mais recentemente, os elefantes asiáticos demonstraram capacidade de realizar cálculos aritméticos básicos.

Aprendizagem infantil

Normalmente, as crianças primeiro controlam a contagem . Quando enfrentam um problema que exige que dois itens e três itens sejam combinados, as crianças pequenas modelam a situação com objetos físicos, geralmente dedos ou um desenho, e então contam o total. À medida que ganham experiência, aprendem ou descobrem a estratégia de "contar com": solicitadas a encontrar dois mais três, as crianças contam três e dois, dizendo "três, quatro, cinco " (geralmente marcando os dedos) e chegando aos cinco . Essa estratégia parece quase universal; as crianças podem aprender facilmente com seus colegas ou professores. A maioria o descobre de forma independente. Com a experiência adicional, as crianças aprendem a somar mais rapidamente, explorando a comutatividade da adição, contando a partir do número maior, neste caso, começando com três e contando "quatro, cinco ". Por fim, as crianças começam a se lembrar de certos fatos de adição (" ligações numéricas "), seja por experiência ou por memorização mecânica. Uma vez que alguns fatos são memorizados, as crianças começam a derivar fatos desconhecidos de outros conhecidos. Por exemplo, uma criança solicitada a somar seis e sete pode saber que 6 + 6 = 12 e então raciocinar que 6 + 7 é mais um, ou 13. Esses fatos derivados podem ser encontrados muito rapidamente e a maioria dos alunos do ensino fundamental eventualmente confia em um mistura de fatos memorizados e derivados para adicionar fluentemente.

Diferentes nações introduzem números inteiros e aritmética em diferentes idades, com muitos países ensinando adição na pré-escola. Porém, em todo o mundo, a adição é ensinada ao final do primeiro ano do ensino fundamental.

Mesa

As crianças costumam ver a tabela de adição de pares de números de 0 a 9 para memorizar. Sabendo disso, as crianças podem realizar qualquer adição.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Sistema decimal

O pré-requisito para adição no sistema decimal é a recuperação ou derivação fluente dos 100 "fatos de adição" de um dígito. Pode-se memorizar todos os fatos mecanicamente , mas as estratégias baseadas em padrões são mais esclarecedoras e, para a maioria das pessoas, mais eficientes:

  • Propriedade comutativa : mencionada acima, usando o padrão a + b = b + a reduz o número de "fatos de adição" de 100 para 55.
  • Mais um ou dois : adicionar 1 ou 2 é uma tarefa básica e pode ser realizada por meio da contagem ou, em última instância, da intuição .
  • Zero : como zero é a identidade aditiva, adicionar zero é trivial. No entanto, no ensino de aritmética, alguns alunos são apresentados à adição como um processo que sempre aumenta os adendos; problemas de palavras podem ajudar a racionalizar a "exceção" de zero.
  • Duplas : adicionar um número a si mesmo está relacionado à contagem por dois e à multiplicação . Os fatos duplos formam a espinha dorsal de muitos fatos relacionados, e os alunos os consideram relativamente fáceis de entender.
  • Quase-duplas : somas como 6 + 7 = 13 podem ser rapidamente derivadas do fato de duplas 6 + 6 = 12 adicionando mais um, ou de 7 + 7 = 14, mas subtraindo um.
  • Cinco e dez : somas na forma 5 + x e 10 + x são geralmente memorizadas cedo e podem ser usadas para derivar outros fatos. Por exemplo, 6 + 7 = 13 pode ser derivado de 5 + 7 = 12 adicionando mais um.
  • Fazendo dez : uma estratégia avançada usa 10 como um intermediário para somas envolvendo 8 ou 9; por exemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 .

À medida que os alunos crescem, eles memorizam mais fatos e aprendem a derivar outros fatos com rapidez e fluência. Muitos alunos nunca memorizam todos os fatos, mas ainda assim podem encontrar qualquer fato básico rapidamente.

Carregar

O algoritmo padrão para adicionar números de vários dígitos é alinhar os adendos verticalmente e adicionar as colunas, começando pela coluna à direita. Se uma coluna exceder nove, o dígito extra é " transportado " para a próxima coluna. Por exemplo, na adição 27 + 59

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16, e o dígito 1 é o transporte. Uma estratégia alternativa começa a adicionar a partir do dígito mais significativo à esquerda; esta rota torna o transporte um pouco mais desajeitado, mas é mais rápido para obter uma estimativa aproximada da soma. Existem muitos métodos alternativos.

Frações decimais

As frações decimais podem ser adicionadas por uma simples modificação do processo acima. Um alinha duas frações decimais uma sobre a outra, com a vírgula no mesmo local. Se necessário, pode-se adicionar zeros à direita a um decimal mais curto para torná-lo do mesmo comprimento que o decimal mais longo. Finalmente, realiza-se o mesmo processo de adição anterior, exceto que a vírgula decimal é colocada na resposta, exatamente onde foi colocada na soma.

Como exemplo, 45,1 + 4,34 pode ser resolvido da seguinte forma:

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Notação científica

Na notação científica , os números são escritos na forma , onde está o significando e é a parte exponencial. A adição requer que dois números em notação científica sejam representados usando a mesma parte exponencial, de modo que os dois significandos possam ser simplesmente adicionados.

Por exemplo:

Não decimal

A adição em outras bases é muito semelhante à adição decimal. Como exemplo, pode-se considerar a adição em binário. Adicionar dois números binários de um dígito é relativamente simples, usando uma forma de transporte:

0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0, carregue 1 (uma vez que 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Adicionar dois dígitos "1" produz um dígito "0", enquanto 1 deve ser adicionado à próxima coluna. Isso é semelhante ao que acontece em decimal quando certos números de um dígito são somados; se o resultado for igual ou superior ao valor da raiz (10), o dígito à esquerda é incrementado:

5 + 5 → 0, carregue 1 (uma vez que 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 ))
7 + 9 → 6, carregue 1 (uma vez que 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Isso é conhecido como transporte . Quando o resultado de uma adição excede o valor de um dígito, o procedimento é "transportar" o valor excedente dividido pelo radical (ou seja, 10/10) para a esquerda, adicionando-o ao próximo valor posicional. Isso está correto, pois a próxima posição tem um peso maior por um fator igual à raiz. Carregar funciona da mesma maneira em binário:

  1 1 1 1 1    (carried digits)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

Neste exemplo, dois números estão sendo somados: 01101 2 (13 10 ) e 10111 2 (23 10 ). A linha superior mostra os bits de transporte usados. Começando na coluna mais à direita, 1 + 1 = 10 2 . O 1 é levado para a esquerda e o 0 é escrito na parte inferior da coluna mais à direita. A segunda coluna da direita é adicionada: 1 + 0 + 1 = 10 2 novamente; o 1 é carregado e 0 é escrito na parte inferior. A terceira coluna: 1 + 1 + 1 = 11 2 . Desta vez, um 1 é carregado e um 1 é escrito na linha inferior. Procedendo assim, obtém-se a resposta final 100100 2 (36 10 ).

Computadores

Adição com um amplificador operacional. Veja amplificador Somador para detalhes.

Os computadores analógicos trabalham diretamente com quantidades físicas, portanto, seus mecanismos de adição dependem da forma dos adendos. Um somador mecânico pode representar dois adendos como as posições dos blocos deslizantes, caso em que eles podem ser adicionados com uma alavanca de média . Se os adendos forem as velocidades de rotação de dois eixos , eles podem ser adicionados com um diferencial . Um adicionador hidráulico pode adicionar as pressões em duas câmaras, explorando a segunda lei de Newton para equilibrar as forças em um conjunto de pistões . A situação mais comum para um computador analógico de uso geral é adicionar duas tensões (com referência ao aterramento ); isso pode ser feito aproximadamente com uma rede de resistores , mas um projeto melhor explora um amplificador operacional .

A adição também é fundamental para a operação de computadores digitais , onde a eficiência da adição, em particular o mecanismo de transporte , é uma limitação importante para o desempenho geral.

Parte do mecanismo de diferença de Charles Babbage, incluindo os mecanismos de adição e transporte

O ábaco , também chamado de moldura de contagem, é uma ferramenta de cálculo usada séculos antes da adoção do moderno sistema de numeração escrita e ainda é amplamente usada por mercadores, comerciantes e escriturários na Ásia , África e em outros lugares; remonta a pelo menos 2700–2300 aC, quando era usado na Suméria .

Blaise Pascal inventou a calculadora mecânica em 1642; foi a primeira máquina de somar operacional . Fazia uso de um mecanismo de transporte auxiliado pela gravidade. Foi a única calculadora mecânica operacional no século 17 e o primeiro computador digital automático. A calculadora de Pascal era limitada por seu mecanismo de transporte, que forçava suas rodas a girar apenas para um lado para que pudesse somar. Para subtrair, o operador precisava usar o complemento da calculadora de Pascal , que exigia tantos passos quanto uma adição. Giovanni Poleni seguiu Pascal, construindo a segunda calculadora mecânica funcional em 1709, um relógio calculador feito de madeira que, uma vez configurado, podia multiplicar dois números automaticamente.

" Adicionador completa circuito" lógica que adiciona dois dígitos binários, A e B , juntamente com uma entrada de transporte C em , produzindo o bit de soma, S , e uma saída de transporte, C fora .

Os somadores executam a adição de inteiros em computadores eletrônicos digitais, geralmente usando aritmética binária . A arquitetura mais simples é o somador de transporte de ondulação, que segue o algoritmo padrão de vários dígitos. Uma ligeira melhoria é o design do carry skip , novamente seguindo a intuição humana; não se realiza todos os carregamentos computando 999 + 1 , mas se ignora o grupo de 9s e pula para a resposta.

Na prática, a adição computacional pode ser alcançada por meio de operações lógicas bit a bit XOR e AND em conjunto com operações bithift conforme mostrado no pseudocódigo abaixo. As portas XOR e AND são fáceis de realizar na lógica digital, permitindo a realização de circuitos somadores completos que, por sua vez, podem ser combinados em operações lógicas mais complexas. Em computadores digitais modernos, a adição de inteiros é normalmente a instrução aritmética mais rápida, mas tem o maior impacto no desempenho, uma vez que fundamenta todas as operações de ponto flutuante , bem como tarefas básicas como geração de endereço durante o acesso à memória e instruções de busca durante a ramificação . Para aumentar a velocidade, os designs modernos calculam dígitos em paralelo ; esses esquemas são conhecidos por nomes como carry select, carry lookahead e o pseudocarry Ling . Muitas implementações são, na verdade, híbridos desses três últimos designs. Ao contrário da adição no papel, a adição no computador geralmente altera os adendos. No antigo ábaco e no tabuleiro de adição, ambos os adendos são destruídos, deixando apenas a soma. A influência do ábaco no pensamento matemático foi forte o suficiente para que os primeiros textos latinos freqüentemente afirmassem que no processo de adicionar "um número a um número", ambos os números desaparecem. Nos tempos modernos, a instrução ADD de um microprocessador freqüentemente substitui o augend pela soma, mas preserva o adendo. Em uma linguagem de programação de alto nível , avaliar a + b não altera a ou b ; se o objetivo for substituir a pela soma, isso deve ser solicitado explicitamente, normalmente com a instrução a = a + b . Algumas linguagens como C ou C ++ permitem que isso seja abreviado como a + = b .

// Iterative algorithm
int add(int x, int y) {
    int carry = 0;
    while (y != 0) {      
        carry = AND(x, y);   // Logical AND
        x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
        y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one
    }
    return x; 
}

// Recursive algorithm
int add(int x, int y) {
    return x if (y == 0) else add(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}

Em um computador, se o resultado de uma adição for muito grande para armazenar, ocorre um estouro aritmético , resultando em uma resposta incorreta. O estouro aritmético imprevisto é uma causa bastante comum de erros de programa . Esses erros de estouro podem ser difíceis de descobrir e diagnosticar porque eles podem se manifestar apenas para conjuntos de dados de entrada muito grandes, que são menos prováveis ​​de serem usados ​​em testes de validação. O problema do ano 2000 foi uma série de bugs em que erros de estouro ocorreram devido ao uso de um formato de 2 dígitos durante anos.

Adição de números

Para provar as propriedades usuais de adição, deve-se primeiro definir adição para o contexto em questão. A adição é definida primeiro nos números naturais . Na teoria dos conjuntos , a adição é então estendida a conjuntos progressivamente maiores que incluem os números naturais: os inteiros , os números racionais e os números reais . (Na educação matemática , as frações positivas são adicionadas antes mesmo de os números negativos serem considerados; esta também é a rota histórica.)

Números naturais

Existem duas maneiras populares de definir a soma de dois números naturais a e b . Se definirmos os números naturais como as cardinalidades de conjuntos finitos (a cardinalidade de um conjunto é o número de elementos no conjunto), então é apropriado definir sua soma da seguinte forma:

  • Seja N ( S ) ser a cardinalidade de um conjunto S . Pegue dois conjuntos disjuntos A e B , com N ( A ) = a e N ( B ) = b . Então a + b é definido como .

Aqui, AB é a união de A e B . Uma versão alternativa dessa definição permite que A e B possivelmente se sobreponham e, em seguida, obtenham sua união disjunta , um mecanismo que permite que elementos comuns sejam separados e, portanto, contados duas vezes.

A outra definição popular é recursiva:

  • Seja n + o sucessor de n , ou seja, o número que segue n nos números naturais, então 0 + = 1, 1 + = 2. Defina a + 0 = a . Defina a soma geral recursivamente por a + ( b + ) = ( a + b ) + . Portanto, 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 .

Novamente, existem pequenas variações sobre esta definição na literatura. Tomada literalmente, a definição acima é uma aplicação do teorema da recursão no conjunto parcialmente ordenado N 2 . Por outro lado, algumas fontes preferem usar um teorema de recursão restrito que se aplica apenas ao conjunto de números naturais. Considera-se, em seguida, um para ser temporariamente "fixo", aplica-se a recursividade em b para definir uma função " a  +", e cola estas operações unários para todos um para formar a operação binária completa.

Essa formulação recursiva de adição foi desenvolvida por Dedekind já em 1854, e ele a expandiria nas décadas seguintes. Ele provou as propriedades associativas e comutativas, entre outras, por meio de indução matemática .

Inteiros

A concepção mais simples de um inteiro é que ele consiste em um valor absoluto (que é um número natural) e um sinal (geralmente positivo ou negativo ). O zero inteiro é um terceiro caso especial, não sendo nem positivo nem negativo. A definição correspondente de adição deve proceder por casos:

  • Para um inteiro n , deixe | n | seja seu valor absoluto. Deixe um e b ser inteiros. Se a ou b for zero, trate-o como uma identidade. Se um e b são ambos positivos, definir a + b = | a | + | b | . Se um e b são ambos negativos, definir a + b = - (| a | + | b |) . Se um e b têm sinais diferentes, definir a + b para ser a diferença entre | a | e | b |, com o sinal do termo cujo valor absoluto é maior. Por exemplo, −6 + 4 = −2 ; como −6 e 4 têm sinais diferentes, seus valores absolutos são subtraídos e, como o valor absoluto do termo negativo é maior, a resposta é negativa.

Embora essa definição possa ser útil para problemas concretos, o número de casos a considerar complica as provas desnecessariamente. Portanto, o método a seguir é comumente usado para definir números inteiros. É baseado na observação de que todo inteiro é a diferença de dois inteiros naturais e que duas dessas diferenças, a - b e c - d são iguais se e somente se a + d = b + c . Assim, pode-se definir formalmente os inteiros como as classes de equivalência de pares ordenados de números naturais sob a relação de equivalência.

( a , b ) ~ ( c , d ) se e somente se a + d = b + c .

A classe de equivalência de ( a , b ) contém ( a - b , 0) se ab , ou (0, b - a ) caso contrário. Se n é um número natural, pode-se denotar + n a classe de equivalência de ( n , 0) , e por - n a classe de equivalência de (0, n ) . Isso permite identificar o número natural n com a classe de equivalência + n .

A adição de pares ordenados é feita por componentes:

Um cálculo direto mostra que a classe de equivalência do resultado depende apenas das classes de equivalência dos summands e, portanto, que isso define uma adição de classes de equivalência, ou seja, inteiros. Outro cálculo direto mostra que essa adição é igual à definição de caso acima.

Esta forma de definir inteiros como classes de equivalência de pares de números naturais, pode ser usada para embutir em um grupo qualquer semigrupo comutativo com propriedade de cancelamento . Aqui, o semigrupo é formado pelos números naturais e o grupo é o grupo aditivo de inteiros. Os números racionais são construídos de forma semelhante, tomando como semigrupo os inteiros diferentes de zero com multiplicação.

Essa construção também foi generalizada sob o nome de grupo Grothendieck para o caso de qualquer semigrupo comutativo. Sem a propriedade de cancelamento, o homomorfismo do semigrupo do semigrupo para o grupo pode ser não injetivo. Originalmente, o grupo Grothendieck foi, mais especificamente, o resultado dessa construção aplicada às classes de equivalências sob isomorfismos dos objetos de uma categoria abeliana , com a soma direta como operação de semigrupo.

Números racionais (frações)

A adição de números racionais pode ser calculada usando o mínimo denominador comum , mas uma definição conceitualmente mais simples envolve apenas adição e multiplicação de inteiros:

  • Definir

Por exemplo, a soma .

A adição de frações é muito mais simples quando os denominadores são iguais; neste caso, pode-se simplesmente somar os numeradores, deixando o denominador igual:, então .

A comutatividade e associatividade da adição racional é uma consequência fácil das leis da aritmética de inteiros. Para uma discussão mais rigorosa e geral, consulte o campo de frações .

Numeros reais

Adicionando π 2 /6 e de e usando cortes de Dedekind de racionais.

Uma construção comum do conjunto de números reais é a conclusão de Dedekind do conjunto de números racionais. Um número real é definido como um corte Dedekind de racionais: um conjunto não vazio de racionais que é fechado para baixo e não tem nenhum elemento maior . A soma dos números reais a e b é elemento definido pelo elemento:

  • Definir

Essa definição foi publicada pela primeira vez, em uma forma ligeiramente modificada, por Richard Dedekind em 1872. A comutatividade e a associatividade da adição real são imediatas; definindo o número real 0 como o conjunto de racionais negativos, é facilmente visto como a identidade aditiva. Provavelmente, a parte mais complicada desta construção referente à adição é a definição de inversos aditivos.

Adicionando π 2 /6 e de e usando sequências de Cauchy racionais.

Infelizmente, lidar com a multiplicação de cortes de Dedekind é um processo demorado, caso a caso, semelhante à adição de inteiros com sinal. Outra abordagem é a conclusão métrica dos números racionais. Um número real é essencialmente definido como sendo o limite de uma sequência de racionais de Cauchy , lim  a n . A adição é definida termo a termo:

  • Definir

Essa definição foi publicada pela primeira vez por Georg Cantor , também em 1872, embora seu formalismo fosse um pouco diferente. É preciso provar que essa operação é bem definida, tratando de sequências co-Cauchy. Uma vez que essa tarefa é realizada, todas as propriedades de adição real seguem imediatamente das propriedades dos números racionais. Além disso, as outras operações aritméticas, incluindo multiplicação, têm definições simples e análogas.

Números complexos

A adição de dois números complexos pode ser feita geometricamente pela construção de um paralelogramo.

Os números complexos são adicionados adicionando as partes reais e imaginárias dos summands. Quer dizer:

Utilizando a visualização de números complexos no plano complexo, a adição tem a seguinte interpretação geométrica: a soma de dois números complexos A e B , interpretados como pontos do plano complexo, é o ponto X obtido pela construção de um paralelogramo três de cujos vértices são O , A e B . Equivalentemente, X é o ponto tal que os triângulos com vértices O , A , B e X , B , A são congruentes .

Generalizações

Existem muitas operações binárias que podem ser vistas como generalizações da operação de adição nos números reais. O campo da álgebra abstrata está centralmente preocupado com tais operações generalizadas, e elas também aparecem na teoria dos conjuntos e na teoria das categorias .

Álgebra abstrata

Vetores

Na álgebra linear , um espaço vetorial é uma estrutura algébrica que permite adicionar quaisquer dois vetores e escalonar vetores. Um espaço vetorial familiar é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais; o par ordenado ( a , b ) é interpretado como um vetor da origem no plano euclidiano ao ponto ( a , b ) no plano. A soma de dois vetores é obtida adicionando suas coordenadas individuais:

Essa operação de adição é central para a mecânica clássica , na qual os vetores são interpretados como forças .

Matrizes

A adição de matrizes é definida para duas matrizes das mesmas dimensões. A soma de duas matrizes m × n (pronunciadas "m por n") A e B , denotadas por A + B , é novamente uma matriz m × n calculada pela adição de elementos correspondentes:

Por exemplo:

Aritmética modular

Na aritmética modular , o conjunto de inteiros módulo 12 tem doze elementos; ele herda uma operação de adição dos inteiros que é central para a teoria dos conjuntos musicais . O conjunto de inteiros módulo 2 possui apenas dois elementos; a operação de adição que ele herda é conhecida na lógica booleana como a função " ou exclusiva ". Em geometria , a soma de duas medidas angulares é freqüentemente considerada como sendo sua soma como números reais módulo 2π. Isso equivale a uma operação de adição no círculo , que por sua vez generaliza as operações de adição em toros multidimensionais .

Teoria geral

A teoria geral da álgebra abstrata permite que uma operação de "adição" seja qualquer operação associativa e comutativa em um conjunto. Estruturas algébricas básicas com tal operação de adição incluem monóides comutativos e grupos abelianos .

Teoria dos conjuntos e teoria das categorias

Uma generalização de longo alcance da adição de números naturais é a adição de números ordinais e números cardinais na teoria dos conjuntos. Estes fornecem duas generalizações diferentes de adição de números naturais ao transfinito . Ao contrário da maioria das operações de adição, a adição de números ordinais não é comutativa. A adição de números cardinais, entretanto, é uma operação comutativa intimamente relacionada à operação de união disjunta .

Na teoria das categorias , a união disjunta é vista como um caso particular da operação do coproduto , e os coprodutos gerais são talvez a mais abstrata de todas as generalizações de adição. Alguns coprodutos, como soma direta e soma de cunha , são nomeados para evocar sua conexão com a adição.

Operações relacionadas

A adição, junto com a subtração, multiplicação e divisão, é considerada uma das operações básicas e é usada na aritmética elementar .

Aritmética

A subtração pode ser considerada uma espécie de adição - ou seja, a adição de um inverso aditivo . A própria subtração é uma espécie de inverso da adição, pois adicionar xe subtrair x são funções inversas .

Dado um conjunto com uma operação de adição, nem sempre é possível definir uma operação de subtração correspondente nesse conjunto; o conjunto de números naturais é um exemplo simples. Por outro lado, uma operação de subtração determina exclusivamente uma operação de adição, uma operação inversa aditiva e uma identidade aditiva; por esse motivo, um grupo aditivo pode ser descrito como um conjunto fechado por subtração.

A multiplicação pode ser considerada uma adição repetida . Se um único termo x aparece em uma soma n vezes, então a soma é o produto de n e x . Se n não for um número natural , o produto ainda pode fazer sentido; por exemplo, a multiplicação por -1 produz o inverso aditivo de um número.

Uma régua de cálculo circular

Nos números reais e complexos, adição e multiplicação podem ser trocadas pela função exponencial :

Esta identidade permite que a multiplicação seja realizada consultando uma tabela de logaritmos e computando a adição manualmente; também permite a multiplicação em uma régua de cálculo . A fórmula ainda é uma boa aproximação de primeira ordem no contexto amplo de grupos de Lie , onde relaciona a multiplicação de elementos de grupo infinitesimais com adição de vetores na álgebra de Lie associada .

Existem ainda mais generalizações de multiplicação do que adição. Em geral, as operações de multiplicação sempre distribuem sobre a adição; este requisito é formalizado na definição de anel . Em alguns contextos, como os inteiros, a distributividade sobre a adição e a existência de uma identidade multiplicativa são suficientes para determinar de maneira única a operação de multiplicação. A propriedade distributiva também fornece informações sobre adição; expandindo o produto (1 + 1) ( a + b ) em ambas as maneiras, conclui-se que a adição é forçada a ser comutativa. Por este motivo, a adição de anéis é em geral comutativa.

Divisão é uma operação aritmética remotamente relacionada à adição. Como a / b = a ( b −1 ) , a divisão é distributiva correta sobre a adição: ( a + b ) / c = a / c + b / c . No entanto, a divisão não é mais distributiva do que a adição; 1 / (2 + 2) não é o mesmo que 1/2 + 1/2 .

Encomenda

Gráfico log-log de x + 1 e máximo ( x , 1) de x = 0,001 a 1000

A operação máxima "max ( a , b )" é uma operação binária semelhante à adição. Na verdade, se dois números não negativos a e b são de diferentes ordens de magnitude , então sua soma é aproximadamente igual ao seu máximo. Essa aproximação é extremamente útil nas aplicações da matemática, por exemplo, no truncamento de séries de Taylor . No entanto, apresenta uma dificuldade perpétua na análise numérica , essencialmente porque "max" não é invertível. Se b for muito maior que a , então um cálculo simples de ( a + b ) - b pode acumular um erro de arredondamento inaceitável , talvez até retornando zero. Veja também Perda de significância .

A aproximação se torna exata em uma espécie de limite infinito; se a ou b é um número cardinal infinito , sua soma cardinal é exatamente igual ao maior dos dois. Conseqüentemente, não há operação de subtração para cardinais infinitos.

A maximização é comutativa e associativa, como a adição. Além disso, uma vez que a adição preserva a ordem dos números reais, a adição distribui sobre "max" da mesma forma que a multiplicação distribui sobre a adição:

Por essas razões, na geometria tropical substitui-se a multiplicação pela adição e a adição pela maximização. Nesse contexto, a adição é chamada de "multiplicação tropical", a maximização é chamada de "adição tropical" e a "identidade aditiva" tropical é infinito negativo . Alguns autores preferem substituir adição por minimização; então a identidade aditiva é infinita positiva.

Vinculando essas observações, a adição tropical está aproximadamente relacionada à adição regular por meio do logaritmo :

que se torna mais preciso à medida que a base do logaritmo aumenta. A aproximação pode ser feita extraindo-se uma constante h , nomeada por analogia com a constante de Planck da mecânica quântica , e tomando o " limite clássico ", pois h tende a zero:

Nesse sentido, a operação máxima é uma versão desquantizada de adição.

Outras maneiras de adicionar

Incrementação, também conhecida como operação sucessora , é a adição de 1 a um número.

A soma descreve a adição de muitos números arbitrariamente, geralmente mais do que apenas dois. Inclui a ideia da soma de um único número, que é ele mesmo, e a soma vazia , que é zero . Um somatório infinito é um procedimento delicado conhecido como série .

Contar um conjunto finito é equivalente a somar 1 sobre o conjunto.

A integração é uma espécie de "soma" sobre um continuum , ou mais precisamente e geralmente, sobre uma variedade diferenciável . A integração sobre uma variedade de dimensão zero se reduz à soma.

As combinações lineares combinam multiplicação e soma; são somas em que cada termo tem um multiplicador, geralmente um número real ou complexo . As combinações lineares são especialmente úteis em contextos onde a adição direta violaria alguma regra de normalização, como a mistura de estratégias na teoria dos jogos ou a superposição de estados na mecânica quântica .

A convolução é usada para adicionar duas variáveis ​​aleatórias independentes definidas por funções de distribuição . Sua definição usual combina integração, subtração e multiplicação. Em geral, a convolução é útil como uma espécie de adição do lado do domínio; em contraste, a adição de vetor é uma espécie de adição do lado do intervalo.

Veja também

Notas

Notas de rodapé

Referências

História

Matemática elementar

  • Sparks, F .; Rees C. (1979). Uma Pesquisa de Matemática Básica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-059902-4.

Educação

Ciência cognitiva

  • Fosnot, Catherine T .; Dolk, Maarten (2001). Jovens matemáticos no trabalho: construindo sentido, adição e subtração numérica . Heinemann. ISBN 978-0-325-00353-5.
  • Wynn, Karen (1998). "Competência numérica em bebês". O desenvolvimento de habilidades matemáticas . Taylor e Francis. ISBN 0-86377-816-X.

Exposição matemática

Matemática avançada

Pesquisa matemática

Informática

  • Flynn, M .; Oberman, S. (2001). Projeto Aritmético Avançado de Computador . Wiley. ISBN 978-0-471-41209-0.
  • Horowitz, P .; Hill, W. (2001). The Art of Electronics (2 ed.). Cambridge UP. ISBN 978-0-521-37095-0.
  • Jackson, Albert (1960). Computação analógica . McGraw-Hill. LCC  QA76.4 J3 .
  • Truitt, T .; Rogers, A. (1960). Noções básicas de computadores analógicos . John F. Rider. LCC  QA76.4 T7 .
  • Marguin, Jean (1994). Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (em francês). Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3.
  • Taton, René (1963). Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je? n ° 367 (em francês). Presses universitaires de France. pp. 20–28.

Leitura adicional