Advecção - Advection

No campo da física , engenharia e ciências da terra , advecção é o transporte de uma substância ou quantidade pelo movimento em massa de um fluido. As propriedades dessa substância são carregadas com ele. Geralmente, a maioria da substância advectada é um fluido. As propriedades que são carregadas com a substância advectada são propriedades conservadas , como energia . Um exemplo de advecção é o transporte de poluentes ou lodo em um rio por fluxo de água a jusante. Outra quantidade comumente advectada é a energia ou entalpia . Aqui, o fluido pode ser qualquer material que contenha energia térmica, como água ou ar . Em geral, qualquer substância ou quantidade extensa conservada pode ser advectada por um fluido que pode reter ou conter a quantidade ou substância.

Durante a advecção, um fluido transporta alguma quantidade ou material conservado por meio de movimento em massa. O movimento do fluido é descrito matematicamente como um campo vetorial , e o material transportado é descrito por um campo escalar mostrando sua distribuição no espaço. A advecção requer correntes no fluido e, portanto, não pode acontecer em sólidos rígidos. Não inclui o transporte de substâncias por difusão molecular .

Advecção é às vezes confundida com o processo mais abrangente de convecção, que é a combinação de transporte advectivo e transporte difusivo.

Em meteorologia e oceanografia física , advecção geralmente se refere ao transporte de alguma propriedade da atmosfera ou do oceano , como calor , umidade (veja umidade ) ou salinidade . Advecção é importante para a formação de nuvens orográficas e precipitação de água das nuvens, como parte do ciclo hidrológico .

Distinção entre advecção e convecção

O termo advecção freqüentemente serve como sinônimo de convecção , e essa correspondência de termos é usada na literatura. Mais tecnicamente, a convecção se aplica ao movimento de um fluido (muitas vezes devido a gradientes de densidade criados por gradientes térmicos), enquanto a advecção é o movimento de algum material pela velocidade do fluido. Assim, um tanto confuso, é tecnicamente correto pensar no momento sendo advectado pelo campo de velocidade nas equações de Navier-Stokes, embora o movimento resultante seja considerado convecção. Por causa do uso específico do termo convecção para indicar transporte em associação com gradientes térmicos, é provavelmente mais seguro usar o termo advecção se não houver certeza sobre qual terminologia descreve melhor seu sistema específico.

Meteorologia

Em meteorologia e oceanografia física , advecção geralmente se refere ao transporte horizontal de alguma propriedade da atmosfera ou do oceano , como calor , umidade ou salinidade, e convecção geralmente se refere ao transporte vertical (advecção vertical). Advecção é importante para a formação de nuvens orográficas (convecção forçada pelo terreno) e precipitação de água das nuvens, como parte do ciclo hidrológico .

Outras quantidades

A equação de advecção também se aplica se a quantidade que está sendo advectada for representada por uma função de densidade de probabilidade em cada ponto, embora explicar a difusão seja mais difícil.

Matemática de Advecção

A equação de advecção é a equação diferencial parcial que governa o movimento de um campo escalar conservado conforme ele é advectado por um campo de vetor de velocidade conhecido . É derivado usando a lei de conservação do campo escalar , junto com o teorema de Gauss , e tomando o limite infinitesimal .

Um exemplo de advecção facilmente visualizável é o transporte de tinta despejada em um rio. Conforme o rio flui, a tinta se moverá rio abaixo em um "pulso" via advecção, já que o próprio movimento da água transporta a tinta. Se adicionada a um lago sem fluxo de água significativo, a tinta simplesmente se dispersaria para fora de sua fonte de maneira difusiva , o que não é advecção. Observe que, à medida que se move a jusante, o "pulso" da tinta também se espalha por meio da difusão. A soma desses processos é chamada de convecção .

A equação de advecção

Em coordenadas cartesianas, o operador de advecção é

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla = u_ {x} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + u_ {y} {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} + u_ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}

.

onde é o campo de velocidade e é o operador del (observe que as coordenadas cartesianas são usadas aqui). ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, u_ {y}, u_ {z})}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

A equação de advecção para uma quantidade conservada descrita por um campo escalar é expressa matematicamente por uma equação de continuidade : ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ psi {\ mathbf {u}} \ right) = 0}$

onde é o operador de divergência e novamente é o campo vetorial de velocidade . Freqüentemente, assume-se que o fluxo é incompressível , ou seja, o campo de velocidade satisfaz ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {u}} = 0}

.

Nesse caso, é considerado solenoidal . Se for assim, a equação acima pode ser reescrita como ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}$

Em particular, se o fluxo for estável, então

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

o que mostra que isso é constante ao longo de uma linha aerodinâmica . ${\ displaystyle \ psi}$

Se uma quantidade vetorial (como um campo magnético ) está sendo advectada pelo campo de velocidade solenoidal , a equação de advecção acima torna-se: ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {a}}} {\ partial t}} + \ left ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ right) {\ mathbf {a}} = 0 .}

Aqui, está um campo vetorial em vez do campo escalar . ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ psi}$

Resolvendo a equação

Uma simulação da equação de advecção onde u = (sen t , cos t ) é solenoidal.

A equação de advecção não é simples de resolver numericamente : o sistema é uma equação diferencial parcial hiperbólica , e o interesse geralmente se concentra em soluções de "choque" descontínuas (que são notoriamente difíceis de manusear por esquemas numéricos).

Mesmo com uma dimensão espacial e um campo de velocidade constante , o sistema continua difícil de simular. A equação se torna

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + u_ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} = 0}

onde é o campo escalar sendo advectado e é o componente do vetor . ${\ displaystyle \ psi = \ psi (x, t)}$ ${\ displaystyle u_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, 0,0)}$

Tratamento do operador de advecção nas equações incompressíveis de Navier-Stokes

De acordo com Zang, a simulação numérica pode ser auxiliada considerando a forma simétrica inclinada para o operador de advecção.

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla ({\ mathbf {u }} {\ mathbf {u}})}

Onde

{\ displaystyle \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}}) = [\ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {x}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {y}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {z})]}

e é o mesmo que acima. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

Uma vez que a simetria enviesada implica apenas autovalores imaginários , esta forma reduz a "explosão" e o "bloqueio espectral" freqüentemente experimentados em soluções numéricas com descontinuidades agudas (ver Boyd).

Usando identidades de cálculo vetorial , esses operadores também podem ser expressos de outras maneiras, disponíveis em mais pacotes de software para mais sistemas de coordenadas.

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} = \ nabla \ left ({\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ esquerda (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + {\ frac {1} {2}} \ nabla (\ mathbf {u} \ mathbf {u }) = \ nabla \ left ({\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ vezes \ mathbf {u} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {u} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u})}

Esta forma também torna visível que o operador skew-symmetric introduz erro quando o campo de velocidade diverge. Resolver a equação de advecção por métodos numéricos é muito desafiador e existe uma vasta literatura científica sobre o assunto.

Veja também

Referências

^ Zang, Thomas (1991). "Sobre as formas de rotação e simetria oblíqua para simulações de escoamento incompressível". Matemática Numérica Aplicada . 7 : 27–40. Bibcode : 1991ApNM .... 7 ... 27Z . doi : 10.1016 / 0168-9274 (91) 90102-6 .
^ Boyd, John P. (2000). Métodos espectrais de Chebyshev e Fourier 2ª edição . Dover. p. 213.

[1] Zang, Thomas (1991). "Sobre as formas de rotação e simetria oblíqua para simulações de escoamento incompressível". Matemática Numérica Aplicada . 7 : 27–40. Bibcode : 1991ApNM .... 7 ... 27Z . doi : 10.1016 / 0168-9274 (91) 90102-6 .

[2] Boyd, John P. (2000). Métodos espectrais de Chebyshev e Fourier 2ª edição . Dover. p. 213.

Languages

In other projects