Transformação afim - Affine transformation

Uma imagem de uma samambaia-like fractal ( samambaia de Barnsley ) que exibe afim auto-similaridade . Cada uma das folhas da samambaia está relacionada entre si por uma transformação afim. Por exemplo, a folha vermelha pode ser transformada na folha azul escura e em qualquer uma das folhas azul claro por uma combinação de reflexão, rotação, escala e translação.

Na geometria euclidiana , uma transformação afim , ou afinidade (do latim, affinis , "conectado com"), é uma transformação geométrica que preserva linhas e paralelismo (mas não necessariamente distâncias e ângulos ).

Mais geralmente, uma transformação afim é um automorfismo de um espaço afim (espaços euclidianos são espaços afins específicos), ou seja, uma função que mapeia um espaço afim sobre si mesma, preservando ambas as dimensões de quaisquer subespaços afins (o que significa que envia pontos para pontos, linhas para linhas, planos para planos e assim por diante) e as proporções dos comprimentos de segmentos de linha paralelos . Consequentemente, conjuntos de subespaços afins paralelos permanecem paralelos após uma transformação afim. Uma transformação afim não preserva necessariamente ângulos entre linhas ou distâncias entre pontos, embora preserve proporções de distâncias entre pontos em uma linha reta.

Se X é o conjunto de pontos de um espaço afim, em seguida, cada transformação afim em X pode ser representado como a composição de uma transformação linear em X e uma tradução de X . Ao contrário de uma transformação puramente linear, uma transformação afim não precisa preservar a origem do espaço afim. Assim, toda transformação linear é afim, mas nem toda transformação afim é linear.

Exemplos de transformações afins incluem translação, dimensionamento , homotetia , similaridade , reflexão , rotação , mapeamento de cisalhamento e composições deles em qualquer combinação e sequência.

Vendo um espaço afim como complemento de um hiperplano no infinito de um espaço projetivo , as transformações afins são as transformações projetivas desse espaço projetivo que deixam o hiperplano invariante ao infinito , restrito ao complemento daquele hiperplano.

Uma generalização de uma transformação afim é um mapa afim (ou homomorfismo afim ou mapeamento afim ) entre dois espaços afins (potencialmente diferentes) sobre o mesmo campo k . Sejam ( X , V , k ) e ( Z , W , k ) dois espaços afins com X e Z os conjuntos de pontos e V e W os respectivos espaços vetoriais associados sobre o campo k . Um mapa f : XZ é um mapa afim se existe um mapa linear m f  : VW de tal modo que m f ( x - y ) = f ( x ) - f ( y ) para todos os x, y em X .

Definição

Seja ( X , V , k ) um espaço afim de dimensão pelo menos dois, com X o conjunto de pontos e V o espaço vetorial associado sobre o campo k . Uma transformação semiafina f de X é uma bijeção de X sobre si mesma satisfazendo:

  1. Se S é um d -dimensional afim subespaço de X , F ( S ) , também é um d -dimensional afim subespaço de X .
  2. Se S e T são subespaços afins paralelos de X , então f ( S ) || f ( T ) .

Essas duas condições expressam o que se entende precisamente pela expressão " f preserva o paralelismo".

Essas condições não são independentes, pois a segunda decorre da primeira. Além disso, se o campo k tiver pelo menos três elementos, a primeira condição pode ser simplificada para: f é uma colineação , ou seja, mapeia linhas em linhas.

Se a dimensão do espaço afim ( X , V , k ) for pelo menos dois, então uma transformação afim é uma transformação semiafina f que satisfaz a condição: Se xy e pq são pontos de X, de modo que os segmentos de linha xy e pq são paralelos, então

Linhas afins

Se a dimensão do espaço afim é uma, ou seja, o espaço é uma linha afim, então qualquer permutação de X satisfaria automaticamente as condições para ser uma transformação semiafina. Assim, uma transformação afim de uma linha afim é definida como qualquer permutação f dos pontos de X tal que se xy e pq são pontos de X , então

Estrutura

Pela definição de um espaço afim, V actua em X , de modo que, para cada par ( x , v ) em X × V está associado um ponto Y em X . Podemos denotar essa ação por v ( x ) = y . Aqui usamos a convenção que v = v são duas notações intercambiáveis para um elemento de V . Fixando um ponto c em X, pode-se definir uma função m c  : XV por m c ( x ) = cx . Para qualquer c , essa função é um-para-um e, portanto, tem uma função inversa m c −1  : VX dado por m c −1 ( v ) = v ( c ) . Essas funções podem ser usadas para transformar X em um espaço vetorial (em relação ao ponto c ), definindo:

  • e

Este espaço vetorial tem origem c e formalmente precisa ser diferenciado do espaço afim X , mas a prática comum é denotá-lo pelo mesmo símbolo e mencionar que é um espaço vetorial depois que uma origem foi especificada. Esta identificação permite que os pontos sejam vistos como vetores e vice-versa.

Para qualquer transformação linear λ de V , podemos definir a função L ( c , λ ): XX por

Então L ( c , λ ) é uma transformação afim de X que deixa o ponto c fixo. É uma transformação linear de X , vista como um espaço vetorial com origem c .

Vamos σ ser qualquer afim transformação da X . Escolha um ponto c em X e considere a translação de X pelo vetor , denotado por T w . As traduções são transformações afins e a composição das transformações afins é uma transformação afim. Para esta escolha de c , existe uma única transformação linear λ de V tal que

Isto é, uma transformação afim arbitrária de X é a composição de uma transformação linear de X (visto como um espaço vectorial) e uma tradução de X .

Essa representação de transformações afins é freqüentemente tomada como a definição de uma transformação afim (com a escolha da origem implícita).

Representação

Conforme mostrado acima, um mapa afim é a composição de duas funções: uma tradução e um mapa linear. A álgebra vetorial comum usa multiplicação de matrizes para representar mapas lineares e adição de vetores para representar traduções. Formalmente, no caso de dimensão finita, se o mapa linear é representado como uma multiplicação por uma matriz invertível e a tradução como a adição de um vetor , um mapa afim agindo em um vetor pode ser representado como

Matriz aumentada

As transformações afins no plano 2D podem ser realizadas por transformações lineares em três dimensões. A translação é feita por cisalhamento ao longo do eixo z e a rotação é executada ao longo do eixo z.

Usando uma matriz aumentada e um vetor aumentado, é possível representar a tradução e o mapa linear usando uma única multiplicação de matriz . A técnica requer que todos os vetores sejam aumentados com um "1" no final, e todas as matrizes sejam aumentadas com uma linha extra de zeros na parte inferior, uma coluna extra - o vetor de translação - à direita e um "1" na o canto inferior direito. Se for uma matriz,

é equivalente ao seguinte

A matriz aumentada mencionada acima é chamada de matriz de transformação afim . No caso geral, quando o vetor da última linha não está restrito a ser , a matriz torna-se uma matriz de transformação projetiva (pois também pode ser usada para realizar transformações projetivas ).

Essa representação exibe o conjunto de todas as transformações afins invertíveis como o produto semidireto de e . Este é um grupo sob a operação de composição de funções, denominado grupo afim .

A multiplicação matricial-vetor comum sempre mapeia a origem até a origem e, portanto, nunca pode representar uma translação, na qual a origem deve necessariamente ser mapeada para algum outro ponto. Ao anexar a coordenada adicional "1" a cada vetor, considera-se essencialmente o espaço a ser mapeado como um subconjunto de um espaço com uma dimensão adicional. Nesse espaço, o espaço original ocupa o subconjunto em que a coordenada adicional é 1. Assim, a origem do espaço original pode ser encontrada em . Uma tradução dentro do espaço original por meio de uma transformação linear do espaço de dimensão superior é então possível (especificamente, uma transformação de cisalhamento). As coordenadas no espaço dimensional superior são um exemplo de coordenadas homogêneas . Se o espaço original é euclidiano , o espaço dimensional superior é um espaço projetivo real .

A vantagem de usar coordenadas homogêneas é que se pode combinar qualquer número de transformações afins em uma, multiplicando as respectivas matrizes. Esta propriedade é amplamente utilizada em computação gráfica , visão computacional e robótica .

Exemplo de matriz aumentada

Se os vetores são uma base do espaço vetorial projetivo do domínio e se são os vetores correspondentes no espaço vetorial do codomínio , então a matriz aumentada que alcança esta transformação afim

é

Esta formulação funciona independentemente de qualquer um dos espaços vetoriais de domínio, codomínio e imagem ter o mesmo número de dimensões.

Por exemplo, a transformação afim de um plano vetorial é determinada exclusivamente a partir do conhecimento de onde os três vértices ( ) de um triângulo não degenerado são mapeados para ( ), independentemente do número de dimensões do codomínio e independentemente de o triângulo não é degenerado no codomínio.

Propriedades

Propriedades preservadas

Uma transformação afim preserva:

  1. colinearidade entre pontos: três ou mais pontos que se encontram na mesma linha (chamados pontos colineares) continuam a ser colineares após a transformação.
  2. paralelismo : duas ou mais linhas que são paralelas, continuam paralelas após a transformação.
  3. convexidade dos conjuntos: um conjunto convexo continua a ser convexo após a transformação. Além disso, os pontos extremos do conjunto original são mapeados para os pontos extremos do conjunto transformado.
  4. proporções de comprimentos de segmentos de linha paralela: para segmentos paralelos distintos definidos por pontos e , e , a proporção de e é a mesma de e .
  5. baricentros de coleções ponderadas de pontos.

Grupos

Uma transformação afim é invertível , portanto, é invertível. Na representação da matriz, o inverso é:

As transformações afins invertíveis (de um espaço afim sobre si mesmo) formam o grupo afim , que tem o grupo linear geral de grau como subgrupo e é ele próprio um subgrupo do grupo linear geral de grau .

As transformações de similaridade formam o subgrupo onde é um escalar vezes uma matriz ortogonal . Por exemplo, se a transformação afim atua no plano e se o determinante de é 1 ou -1, então a transformação é um mapeamento equiareal . Essas transformações formam um subgrupo denominado grupo equi-afim . Uma transformação que é ao mesmo tempo equi-afim e similar é uma isometria do plano tomada com a distância euclidiana .

Cada um desses grupos tem um subgrupo de transformações que preservam a orientação ou afins positivos : aqueles em que o determinante de é positivo. No último caso, este é em 3D o grupo de transformações rígidas ( rotações próprias e translações puras).

Se houver um ponto fixo, podemos tomá-lo como origem, e a transformação afim se reduz a uma transformação linear. Isso pode tornar mais fácil classificar e compreender a transformação. Por exemplo, descrever uma transformação como uma rotação por um certo ângulo em relação a um determinado eixo pode dar uma ideia mais clara do comportamento geral da transformação do que descrevê-la como uma combinação de translação e rotação. No entanto, isso depende da aplicação e do contexto.

Mapas afins

Um mapa afim entre dois espaços afins é um mapa sobre os pontos que atua linearmente sobre os vetores (ou seja, os vetores entre os pontos do espaço). Em símbolos, determina uma transformação linear de modo que, para qualquer par de pontos :

ou

.

Podemos interpretar essa definição de algumas outras maneiras, como segue.

Se uma origem for escolhida e denotar sua imagem , isso significa que, para qualquer vetor :

.

Se uma origem também for escolhida, esta pode ser decomposta como uma transformação afim que envia , a saber

,

seguido pela tradução por um vetor .

A conclusão é que, intuitivamente, consiste em uma tradução e um mapa linear.

Definição alternativa

Dados dois espaços afins e , sobre o mesmo campo, uma função é um mapa afim se e somente se para cada família de pontos ponderados de tal forma que

,

temos

.

Em outras palavras, preserva baricentros .

História

A palavra "afim" como termo matemático é definida em conexão com tangentes a curvas no Introductio in analysin infinitorum de Euler de 1748 . Felix Klein atribui o termo "transformação afim" a Möbius e Gauss .

Transformação de imagem

Em suas aplicações para processamento de imagem digital , as transformações afins são análogas a imprimir em uma folha de borracha e esticar as bordas da folha paralelamente ao plano. Essa transformação realoca os pixels que requerem interpolação de intensidade para aproximar o valor dos pixels movidos. A interpolação bicúbica é o padrão para transformações de imagem em aplicativos de processamento de imagem. As transformações afins escalam, giram, transladam, espelham e distorcem imagens conforme mostrado nos exemplos a seguir:

Nome da transformação Matriz afim Exemplo
Identidade (transformar a imagem original) Checkerboard identity.svg
Tradução Checkerboard identity.svg
Reflexão Checkerboard reflection.svg
Escala Checkerboard scale.svg
Girar Checkerboard rotate.svg
onde θ = π/6 = 30 °
Cisalhamento Checkerboard shear.svg

As transformações afins são aplicáveis ​​ao processo de registro onde duas ou mais imagens são alinhadas (registradas). Um exemplo de registro de imagem é a geração de imagens panorâmicas que são o produto de várias imagens costuradas juntas.

Enrolamento afim

A transformação afim preserva linhas paralelas. No entanto, as transformações de alongamento e cisalhamento distorcem as formas, como mostra o exemplo a seguir:

Branco na imagem do círculo preto 256 por 256.png Affine transform sheared circle.png

Este é um exemplo de distorção de imagem. No entanto, as transformações afins não facilitam a projeção em uma superfície curva ou distorções radiais .

No avião

Uma dilatação central. Os triângulos A1B1Z, A1C1Z e B1C1Z são mapeados para A2B2Z, A2C2Z e B2C2Z, respectivamente.

As transformações afins em duas dimensões reais incluem:

  • traduções puras,
  • escala em uma determinada direção, em relação a uma linha em outra direção (não necessariamente perpendicular), combinada com translação que não é puramente na direção da escala; tomando "escala" em um sentido generalizado, inclui os casos em que o fator de escala é zero ( projeção ) ou negativo; o último inclui reflexão e, combinado com translação, inclui reflexão por deslizamento ,
  • rotação combinada com homotetia e translação,
  • mapeamento de cisalhamento combinado com homotetia e uma tradução, ou
  • mapeamento squeeze combinado com homothety e uma tradução.

Para visualizar a transformação afim geral do plano euclidiano , tome paralelogramos rotulados ABCD e A′B′C′D ′ . Quaisquer que sejam as escolhas de pontos, há uma transformação afim T do plano levando A para A ′ , e cada vértice da mesma forma. Supondo que excluamos o caso degenerado em que ABCD tem área zero , existe uma transformação única T afim . Desenhando uma grade inteira de paralelogramos com base em ABCD , a imagem T ( P ) de qualquer ponto P é determinada observando que T ( A ) = A ′ , T aplicado ao segmento de linha AB é A′B ′ , T aplicado a o segmento de recta AC é A'C ' , e T respeita múltiplos escalares de vectores baseados em um . [Se A , E , F são colineares, então a relação comprimento ( AF ) / comprimento ( AE ) é igual a comprimento ( AF ′) / comprimento ( AE ′).] Geometricamente T transforma a grade com base em ABCD para aquele baseado em A′B′C′D ′ .

As transformações afins não respeitam comprimentos ou ângulos; eles multiplicam a área por um fator constante

área de A′B′C′D ′ / área de ABCD .

Um determinado T pode ser direto (orientação de respeito) ou indireto (orientação reversa), e isso pode ser determinado por seu efeito nas áreas sinalizadas (conforme definido, por exemplo, pelo produto vetorial de vetores).

Exemplos

Sobre os números reais

As funções com e em são precisamente as transformações afins da linha real .

Sobre um campo finito

A seguinte equação expressa uma transformação afim de GF (2 8 ) vista como um espaço vetorial de 8 dimensões sobre GF (2), que é usado no cripto-algoritmo Rijndael (AES) :

onde está a matriz abaixo, é um vetor fixo e , especificamente,
e

Por exemplo, a transformação afim do elemento em notação binária big-endian é calculada da seguinte forma:

Assim ,.

Em geometria plana

Uma transformação afim simples no plano real
Efeito da aplicação de várias matrizes de transformação afins 2D em um quadrado unitário. Observe que as matrizes de reflexão são casos especiais da matriz de escala.

Em , a transformação mostrada à esquerda é realizada usando o mapa fornecido por:

Transformar os três cantos do triângulo original (em vermelho) dá três novos pontos que formam o novo triângulo (em azul). Essa transformação distorce e traduz o triângulo original.

Na verdade, todos os triângulos estão relacionados entre si por transformações afins. Isso também é verdadeiro para todos os paralelogramos, mas não para todos os quadriláteros.

Veja também

Notas

Referências

links externos