Álgebra do espaço físico - Algebra of physical space

Na física , a álgebra do espaço físico (APS) é o uso do Clifford ou álgebra geométrica Cl _3,0 ( R ) do espaço euclidiano tridimensional como modelo para o espaço- tempo (3 + 1) -dimensional , representando um ponto no espaço-tempo por meio de um paravetor (vetor tridimensional mais um escalar unidimensional).

A álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) tem uma representação fiel , gerada por matrizes de Pauli , na representação de spin C ² ; além disso, Cl _3,0 ( R ) é isomórfico à subálgebra par Cl^[0]
_3,1( R ) da álgebra de Clifford Cl _3,1 ( R ).

O APS pode ser usado para construir um formalismo compacto, unificado e geométrico para a mecânica clássica e quântica.

APS não deve ser confundida com álgebra do espaço - tempo (STA), que diz respeito à álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ) do espaço-tempo de Minkowski quadridimensional .

Relatividade especial

Paravetor de posição do espaço-tempo

No APS, a posição do espaço - tempo é representada como o paravetor

{\ displaystyle x = x ^ {0} + x ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} \ mathbf {e } _ {3},}

onde o tempo é dado pela parte escalar x ⁰ = t e e ₁ , e ₂ , e ₃ são a base padrão para o espaço de posição. Por toda parte, unidades tais que c = 1 são usadas, chamadas unidades naturais . Na representação da matriz de Pauli , os vetores de base unitária são substituídos pelas matrizes de Pauli e a parte escalar pela matriz identidade. Isso significa que a representação da matriz de Pauli da posição espaço-tempo é

{\ displaystyle x \ rightarrow {\ begin {pmatrix} x ^ {0} + x ^ {3} && x ^ {1} -ix ^ {2} \\ x ^ {1} + ix ^ {2} && x ^ { 0} -x ^ {3} \ end {pmatrix}}}

Transformações de Lorentz e rotores

As transformações de Lorentz restritas que preservam a direção do tempo e incluem rotações e impulsos podem ser realizadas por uma exponenciação do biparavetor de rotação do espaço-tempo W

{\ displaystyle L = e ^ {{\ frac {1} {2}} W}.}

Na representação da matriz, o rotor de Lorentz é visto como uma instância do grupo SL (2, C ) ( grupo linear especial de grau 2 sobre os números complexos ), que é a cobertura dupla do grupo de Lorentz . A unimodularidade do rotor de Lorentz é traduzida na seguinte condição em termos do produto do rotor de Lorentz com sua conjugação de Clifford

{\ displaystyle L {\ bar {L}} = {\ bar {L}} L = 1.}

Este rotor de Lorentz pode ser sempre decomposto em dois fatores, um Hermitiano B = B ^† , e o outro R ^† unitário = R ⁻¹ , de modo que

{\ displaystyle L = BR.}

O elemento unitário R é denominado rotor porque codifica rotações, e o elemento hermitiano B codifica impulsos.

Paravetor de quatro velocidades

A quatro velocidades , também chamada de velocidade adequada , é definida como a derivada do paravetor de posição do espaço-tempo em relação ao tempo adequado τ :

{\ displaystyle u = {\ frac {dx} {d \ tau}} = {\ frac {dx ^ {0}} {d \ tau}} + {\ frac {d} {d \ tau}} (x ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} \ mathbf {e} _ {3}) = {\ frac {dx ^ {0}} {d \ tau}} \ left [1 + {\ frac {d} {dx ^ {0}}} (x ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} \ mathbf {e} _ {3}) \ right].}

Esta expressão pode ser trazida para uma forma mais compacta, definindo a velocidade normal como

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d} {dx ^ {0}}} (x ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} \ mathbf {e} _ {3}),}

e relembrando a definição do fator gama :

{\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {v}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {| \ mathbf {v} | ^ {2}} {c ^ {2}}}} }},}

de modo que a velocidade adequada seja mais compacta:

{\ displaystyle u = \ gamma (\ mathbf {v}) (1+ \ mathbf {v}).}

A velocidade adequada é um paravetor unimodular positivo , o que implica a seguinte condição em termos da conjugação de Clifford

{\ displaystyle u {\ bar {u}} = 1.}

A velocidade adequada se transforma sob a ação do rotor Lorentz L como

{\ displaystyle u \ rightarrow u ^ {\ prime} = LuL ^ {\ dagger}.}

Paravetor de quatro momentos

O quatro-momento em APS pode ser obtido multiplicando a velocidade adequada com a massa como

{\ displaystyle p = mu,}

com a condição de casca de massa traduzida em

{\ displaystyle {\ bar {p}} p = m ^ {2}.}

Eletrodinâmica clássica

O campo eletromagnético, potencial e corrente

O campo eletromagnético é representado como um bi-paravetor F :

{\ displaystyle F = \ mathbf {E} + i \ mathbf {B},}

com a parte Hermitiana representando o campo eléctrico E e a parte anti-Hermitiana representando o campo magnético B . Na representação da matriz de Pauli padrão, o campo eletromagnético é:

{\ displaystyle F \ rightarrow {\ begin {pmatrix} E_ {3} & E_ {1} -iE_ {2} \\ E_ {1} + iE_ {2} & - E_ {3} \ end {pmatrix}} + i {\ begin {pmatrix} B_ {3} & B_ {1} -iB_ {2} \\ B_ {1} + iB_ {2} & - B_ {3} \ end {pmatrix}} \ ,.}

A fonte do campo F é a quatro correntes eletromagnéticas :

{\ displaystyle j = \ rho + \ mathbf {j} \ ,,}

onde a parte escalar é igual à densidade de carga elétrica ρ , e a parte vetorial a densidade de corrente elétrica j . Apresentando o paravetor de potencial eletromagnético definido como:

{\ displaystyle A = \ phi + \ mathbf {A} \ ,,}

em que a parte escalar é igual ao potencial eléctrico φ , e a parte vector do potencial magnético Uma . O campo eletromagnético também é:

{\ displaystyle F = \ partial {\ bar {A}}.}

O campo pode ser dividido em elétrico

{\ displaystyle E = \ langle \ partial {\ bar {A}} \ rangle _ {V}}

e magnético

{\ displaystyle B = i \ langle \ partial {\ bar {A}} \ rangle _ {BV}}

componentes. Onde

{\ displaystyle \ partial = \ partial _ {t} + \ mathbf {e} _ {1} \, \ partial _ {x} + \ mathbf {e} _ {2} \, \ partial _ {y} + \ mathbf {e} _ {3} \, \ partial _ {z}}

e F é invariante sob uma transformação de calibre da forma

{\ displaystyle A \ rightarrow A + \ partial \ chi \ ,,}

onde está um campo escalar .

{\ displaystyle \ chi}

O campo eletromagnético é covariante sob as transformações de Lorentz de acordo com a lei

{\ displaystyle F \ rightarrow F ^ {\ prime} = LF {\ bar {L}} \,}

Equações de Maxwell e a força de Lorentz

As equações de Maxwell podem ser expressas em uma única equação:

{\ displaystyle {\ bar {\ partial}} F = {\ frac {1} {\ epsilon}} {\ bar {j}} \ ,,}

onde a barra superior representa a conjugação de Clifford .

A equação de força de Lorentz assume a forma

{\ displaystyle {\ frac {dp} {d \ tau}} = e \ langle Fu \ rangle _ {R} \ ,.}

Lagrangiana eletromagnética

O Lagrangiano eletromagnético é

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} \ langle FF \ rangle _ {S} - \ langle A {\ bar {j}} \ rangle _ {S} \ ,,}

que é um invariante escalar real.

Mecânica quântica relativística

A equação de Dirac , para uma electricamente partícula carregada de massa m e de carga e , toma a forma:

{\ displaystyle i {\ bar {\ partial}} \ Psi \ mathbf {e} _ {3} + e {\ bar {A}} \ Psi = m {\ bar {\ Psi}} ^ {\ dagger}, }

onde e ₃ é um vetor unitário arbitrário, e A é o potencial paravetor eletromagnético como acima. A interacção electromagnética foi incluída através de acoplamento mínimo em termos de potencial Uma .

Spinor clássico

A equação diferencial do rotor de Lorentz que é consistente com a força de Lorentz é

{\ displaystyle {\ frac {d \ Lambda} {d \ tau}} = {\ frac {e} {2mc}} F \ Lambda,}

de modo que a velocidade adequada é calculada como a transformação de Lorentz da velocidade adequada em repouso

{\ displaystyle u = \ Lambda \ Lambda ^ {\ dagger},}

que pode ser integrado para encontrar a trajetória espaço-temporal com o uso adicional de

{\ displaystyle x (\ tau)}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {d \ tau}} = u.}

Veja também

Referências

Livros didáticos

Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2ª ed.). ISBN 0-8176-4025-8.
Baylis, William, ed. (1999) [1996]. Álgebras de Clifford (geométricas): com aplicações em física, matemática e engenharia . Springer. ISBN 978-0-8176-3868-9.
Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007) [2003]. Álgebra geométrica para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64314-6.
Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics (2ª ed.). Kluwer. ISBN 0-7923-5514-8.

Artigos

Baylis, WE (2004). "Relatividade na introdução à física". Canadian Journal of Physics . 82 (11): 853–873. arXiv : física / 0406158 . Bibcode : 2004CaJPh..82..853B . doi : 10.1139 / p04-058 . S2CID 35027499 .
Baylis, WE; Jones, G (7 de janeiro de 1989). "A abordagem da álgebra de Pauli para a relatividade especial". Journal of Physics A: Mathematical and General . 22 (1): 1–15. Bibcode : 1989JPhA ... 22 .... 1B . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 22/1/008 .
Baylis, WE (1 de março de 1992). "Eigenspinors clássicos e a equação de Dirac". Physical Review A . 45 (7): 4293–4302. Bibcode : 1992PhRvA..45.4293B . doi : 10.1103 / physreva.45.4293 . PMID 9907503 .
Baylis, WE; Yao, Y. (1 de julho de 1999). "Dinâmica relativística de cargas em campos eletromagnéticos: Uma abordagem eigenspinor". Physical Review A . 60 (2): 785–795. Bibcode : 1999PhRvA..60..785B . doi : 10.1103 / physreva.60.785 .

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