Extensão algébrica - Algebraic extension

Em álgebra abstrata , uma extensão de corpo L / K é chamado algébrica se todos os elementos de L é algébrica sobre K , ou seja, se todos os elementos de L é uma raiz de algum diferente de zero polinômio com coeficientes em K . As extensões de campo que não são algébricas, ou seja, que contêm elementos transcendentais , são chamadas de transcendentais .

Por exemplo, a extensão de campo R / Q , que é o campo de números reais como uma extensão do campo de números racionais , é transcendental, enquanto as extensões de campo C / R e Q ( √ 2 ) / Q são algébricas, onde C é o campo dos números complexos .

Todas as extensões transcendentais são de grau infinito . Isso, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas. O inverso, entretanto, não é verdade: existem infinitas extensões que são algébricas. Por exemplo, o campo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.

Seja E um campo de extensão de K e a ∈ E. Se a for algébrico sobre K , então K ( a ), o conjunto de todos os polinômios em a com coeficientes em K , não é apenas um anel, mas um campo: K ( um ) é uma extensão algébrica de K que tem um grau finita sobre K . O inverso não é verdadeiro. Q [π] e Q [e] são campos, mas π e e são transcendentais sobre Q.

Um campo F algebricamente fechado não possui extensões algébricas adequadas, ou seja, nenhuma extensão algébrica E com F <E. Um exemplo é o campo de números complexos . Todo campo tem uma extensão algébrica que é algébrica fechada (chamada de fechamento algébrico ), mas provar isso em geral requer alguma forma de axioma de escolha .

Uma extensão L / K é algébrica se e somente se todos os sub K - álgebra de L é um campo .

Propriedades

A classe de extensões algébricas forma uma classe distinta de extensões de campo , ou seja, as três propriedades a seguir são válidas:

  1. Se E é uma extensão algébrica de F e F é uma extensão algébrica de K então E é uma extensão algébrica de K .
  2. Se E e F são extensões algébricas de K em um Overfield comum C , em seguida, o compositum EF é uma extensão algébrica de K .
  3. Se E é uma extensão algébrica de F e E > K > F então E é uma extensão algébrica de K .

Esses resultados finitários podem ser generalizados usando indução transfinita:

  1. A união de qualquer cadeia de extensões algébricas sobre um campo base é em si uma extensão algébrica sobre o mesmo campo base.

Este fato, juntamente com o lema de Zorn (aplicado a um poset apropriadamente escolhido), estabelece a existência de fechamentos algébricos .

Generalizações

Artigo principal: Subestrutura (matemática)

A teoria do modelo generaliza a noção de extensão algébrica para teorias arbitrárias: uma incorporação de M em N é chamada de extensão algébrica se para cada x em N houver uma fórmula p com parâmetros em M , tal que p ( x ) é verdadeiro e o conjunto

é finito. Acontece que a aplicação dessa definição à teoria dos campos fornece a definição usual de extensão algébrica. O grupo de Galois de N sobre M pode novamente ser definido como o grupo de automorfismos , e acontece que a maior parte da teoria dos grupos de Galois pode ser desenvolvida para o caso geral.

Veja também

Notas

  1. ^ Fraleigh (2014), Definição 31.1, p. 283.
  2. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Definição 21.1.23, p. 453.
  3. ^ Fraleigh (2014), Definição 29.6, p. 267.
  4. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Teorema 21.1.8, p. 447.
  5. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Exemplo 21.1.17, p. 451.
  6. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Teorema 21.1.8, p. 447.
  7. ^ Fraleigh (2014), Exemplo 31.8, p. 285.
  8. ^ Veja também Hazewinkel et al. (2004), p. 3
  9. ^ Fraleigh (2014), Teorema 31.18, p. 288.
  10. ^ Fraleigh (2014), Corolário 31.13, p. 287.
  11. ^ Fraleigh (2014), Teorema 30.23, p. 280
  12. ^ Fraleigh (2014), Exemplo 29.8, p. 268.
  13. ^ Fraleigh (2014), Corolário 31.16, p. 287.
  14. ^ Fraleigh (2014), Teorema 31.22, p. 290
  15. ^ Lang (2002) p.228

Referências

  • Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra , Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anéis e módulos , 1 , Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  • Lang, Serge (1993), "V.1: Algebraic Extensions", Algebra (Terceira ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
  • Malik, DB; Mordeson, John N .; Sen, MK (1997), Fundamentals of Abstract Algebra , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • McCarthy, Paul J. (1991) [reimpressão corrigida da 2ª edição, 1976], Algebraic extensions of fields , Nova York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl  0768.12001
  • Roman, Steven (1995), Field Theory , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 9780130878687