Quase inteiro - Almost integer

Ed Pegg, Jr. observou que o comprimento d é igual a muito próximo de 7 (7.0000000857 ca.)${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{\ frac {1} {30}} (61421-23 {\ sqrt {5831385}})}}}$

Na matemática recreativa , um quase inteiro (ou quase inteiro ) é qualquer número que não seja um inteiro, mas esteja muito próximo de um. Quase inteiros são considerados interessantes quando surgem em algum contexto no qual são inesperados.

Quase inteiros relacionados à proporção áurea e números de Fibonacci

Exemplos bem conhecidos de quase inteiros são as altas potências da proporção áurea , por exemplo: ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ aproximadamente 1,618}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ phi ^ {17} & = {\ frac {3571 + 1597 {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 3571.00028 \\ [6pt] \ phi ^ {18} & = 2889 + 1292 {\ sqrt {5}} \ approx 5777.999827 \\ [6pt] \ phi ^ {19} & = {\ frac {9349 + 4181 {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 9349.000107 \ end {alinhado}}}$

O fato de que esses poderes se aproximam de números inteiros não é coincidência, porque a proporção áurea é um número Pisot-Vijayaraghavan .

As proporções dos números de Fibonacci ou Lucas também podem ser quase inteiros incontáveis, por exemplo:

• ${\ displaystyle \ operatorname {Fib} (360) / \ operatorname {Fib} (216) \ approx 1242282009792667284144565908481.99999999999999999999999999999999195}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Lucas} (361) / \ operatorname {Lucas} (216) \ approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497}$

Os exemplos acima podem ser generalizados pelas seguintes sequências, que geram números quase inteiros que se aproximam dos números de Lucas com precisão crescente:

• ${\ displaystyle a (n) = \ operatorname {Fib} (45 \ vezes 2 ^ {n}) / \ operatorname {Fib} (27 \ vezes 2 ^ {n}) \ approx \ operatorname {Lucas} (18 \ vezes 2 ^ {n})}$
• ${\ displaystyle a (n) = \ operatorname {Lucas} (45 \ vezes 2 ^ {n} +1) / \ operatorname {Lucas} (27 \ vezes 2 ^ {n}) \ approx \ operatorname {Lucas} (18 \ vezes 2 ^ {n} +1)}$

À medida que n aumenta, o número de noves ou zeros consecutivos começando na décima casa de a ( n ) se aproxima do infinito.

Quase inteiros relacionados a e e π

Outras ocorrências de quase inteiros não coincidentes envolvem os três maiores números de Heegner :

• ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {43}}} \ approx 884736743.999777466}$
• ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {67}}} \ approx 147197952743.999998662454}$
• ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} \ approx 262537412640768743.99999999999925007}$

onde a não coincidência pode ser melhor apreciada quando expressa na forma simples comum:

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {43}}} = 12 ^ {3} (9 ^ {2} -1) ^ {3} + 744- (2,225 \ ldots) \ vezes 10 ^ {- 4 }}$

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {67}}} = 12 ^ {3} (21 ^ {2} -1) ^ {3} + 744- (1.337 \ ldots) \ vezes 10 ^ {- 6 }}$

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 12 ^ {3} (231 ^ {2} -1) ^ {3} + 744- (7,499 \ ldots) \ vezes 10 ^ {- 13 }}$

Onde

${\ displaystyle 21 = 3 \ times 7, \ quad 231 = 3 \ times 7 \ times 11, \ quad 744 = 24 \ times 31}$

e a razão para os quadrados serem devidos a certas séries de Eisenstein . A constante é às vezes chamada de constante de Ramanujan . ${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}}}$

Quase inteiros que envolvem as constantes matemáticas pi e e muitas vezes confundido matemáticos. Um exemplo é: Até o momento, nenhuma explicação foi dada para o motivo pelo qual a constante de Gelfond ( ) é quase idêntica a , o que é, portanto, considerado uma coincidência matemática . ${\ displaystyle e ^ {\ pi} - \ pi = 19,999099979189 \ ldots}$${\ displaystyle e ^ {\ pi}}$${\ displaystyle \ pi +20}$

Veja também

• Número esquizofrênico

Referências

links externos

• JS Markovitch Coincidência, compressão de dados e conceito de economia de pensamento de Mach