Método do elemento analítico - Analytic element method
O método dos elementos analíticos ( AEM ) é um método numérico usado para a solução de equações diferenciais parciais . Foi inicialmente desenvolvido por ODL Strack da Universidade de Minnesota . É de natureza semelhante ao método dos elementos de fronteira (BEM), pois não depende da discretização de volumes ou áreas no sistema modelado; apenas os limites internos e externos são discretizados. Uma das principais distinções entre AEM e BEMs é que as integrais de contorno são calculadas analiticamente.
Base matemática
A premissa básica do método dos elementos analíticos é que, para equações diferenciais lineares , soluções elementares podem ser sobrepostas para obter soluções mais complexas. Um conjunto de soluções analíticas 2D e 3D ("elementos") está disponível para diferentes equações governantes. Esses elementos normalmente correspondem a uma descontinuidade na variável dependente ou seu gradiente ao longo de uma fronteira geométrica (por exemplo, ponto, linha, elipse, círculo, esfera, etc.). Essa descontinuidade tem uma forma funcional específica (geralmente um polinômio em 2D) e pode ser manipulada para satisfazer as condições de contorno de Dirichlet, Neumann ou Robin (misto). Cada solução analítica é infinita no espaço e / ou no tempo.
Normalmente, cada solução analítica contém graus de liberdade (coeficientes) que podem ser calculados para atender às condições de contorno prescritas ao longo da borda do elemento. Para obter uma solução global (ou seja, os coeficientes corretos dos elementos), um sistema de equações é resolvido de forma que as condições de contorno sejam satisfeitas ao longo de todos os elementos (usando colocação , minimização de mínimos quadrados ou uma abordagem semelhante). Notavelmente, a solução global fornece uma descrição espacialmente contínua da variável dependente em todos os lugares no domínio infinito, e a equação governante é satisfeita em todos os lugares exatamente, exceto ao longo da borda do elemento, onde a equação governante não é estritamente aplicável devido à descontinuidade.
A capacidade de sobrepor vários elementos em uma única solução significa que soluções analíticas podem ser realizadas para condições de contorno arbitrariamente complexas. Ou seja, modelos que têm geometrias complexas, limites retos ou curvos, limites múltiplos, condições de limite transientes, várias camadas de aquífero, propriedades que variam por partes e propriedades que variam continuamente podem ser resolvidos. Os elementos podem ser implementados usando expansões de campo distante, de forma que o modelo contendo muitos milhares de elementos possa ser resolvido de forma eficiente com alta precisão.
O método do elemento analítico foi aplicado a problemas de fluxo de água subterrânea governados por uma variedade de equações diferenciais parciais lineares, incluindo a equação de Laplace , a equação de Poisson , a equação de Helmholtz modificada, a equação do calor e as equações biharmônicas . Freqüentemente, essas equações são resolvidas por meio de variáveis complexas, o que possibilita o uso de técnicas matemáticas disponíveis na teoria de variáveis complexas. Uma técnica útil para resolver problemas complexos é usar o mapeamento conforme que mapeia o limite de uma geometria, por exemplo, uma elipse, no limite do círculo unitário onde a solução é conhecida.
No método do elemento analítico, o potencial de descarga e a função de fluxo , ou o potencial complexo combinado, são usados. Este potencial liga as propriedades físicas do sistema de água subterrânea, a carga hidráulica ou limites de fluxo, a uma representação matemática em um potencial. Esta representação matemática pode ser usada para calcular o potencial em termos de posição e, assim, também resolver problemas de fluxo de água subterrânea. Os elementos são desenvolvidos resolvendo as condições de contorno para qualquer uma dessas duas propriedades, carga hidráulica ou contorno de fluxo, o que resulta em soluções analíticas capazes de lidar com inúmeras condições de contorno.
Um estudante contemporâneo de Strack que é um proponente do Método do Elemento Analítico (AEM) em aplicações de modelagem de águas subterrâneas é o Dr. David Steward, da Universidade Estadual de Dakota do Norte.
Comparação com outros métodos
Conforme mencionado, o método dos elementos analíticos não depende, portanto, da discretização de volume ou área no modelo, como nos elementos finitos ou nos diferentes métodos finitos . Assim, ele pode modelar problemas complexos com um erro na ordem de precisão da máquina. Isso é ilustrado em um estudo que modelou um aquífero isotrópico altamente heterogêneo, incluindo 100.000 heterogeneidade esférica com uma condutividade aleatória e rastreando 40.000 partículas. O método do elemento analítico pode ser usado com eficiência como verificação ou como uma ferramenta de triagem em projetos maiores, pois pode calcular com rapidez e precisão o fluxo de água subterrânea para muitos problemas complexos.
Em contraste com outros métodos de modelagem de água subterrânea comumente usados, por exemplo, os elementos finitos ou o método diferente finito , o AEM não discrimina o domínio do modelo em células. Isso dá a vantagem de que o modelo é válido para qualquer ponto dado no domínio do modelo. No entanto, também impõe que o domínio não seja tão facilmente dividido em regiões de, por exemplo, condutividade hidráulica diferente, como na modelagem com uma grade de células. Embora existam algumas soluções que lidam com isso, por exemplo, existem soluções para a implementação de propriedades ou estruturas que variam verticalmente em um aquífero em um modelo AEM.
Veja também
Referências
Leia mais
- Haitjema, HM (1995). Modelagem de elementos analíticos do fluxo de água subterrânea . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3 .
- Strack, ODL (1989). Mecânica da Água Subterrânea . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
- Fitts, CR (2012). Groundwater Science (2ª ed.). San Diego, CA: Elsevier / Academic Press. ISBN 9780123847058 .