Equação de movimento de Appell - Appell's equation of motion

Na mecânica clássica , a equação de movimento de Appell (também conhecida como equação de movimento de Gibbs-Appell ) é uma formulação geral alternativa da mecânica clássica descrita por Josiah Willard Gibbs em 1879 e Paul Émile Appell em 1900.

Declaração

A equação de Gibbs-Appell lê

onde é uma aceleração generalizada arbitrária, ou a segunda derivada de tempo das coordenadas generalizadas , e é sua força generalizada correspondente . A força generalizada dá o trabalho feito

onde o índice corre sobre as coordenadas generalizadas , que geralmente correspondem aos graus de liberdade do sistema. A função é definida como a soma ponderada da massa do quadrado das acelerações de partículas ,

onde o índice é executado sobre as partículas, e

é a aceleração da -ésima partícula, a segunda derivada de seu vetor posição . Cada um é expresso em termos de coordenadas generalizadas e é expresso em termos de acelerações generalizadas.

Relações com outras formulações da mecânica clássica

A formulação de Appell não introduz nenhuma nova física na mecânica clássica e, como tal, é equivalente a outras reformulações da mecânica clássica, como a mecânica Lagrangiana e a mecânica hamiltoniana . Toda a física está contida nas leis do movimento de Newton. Em alguns casos, a equação de movimento de Appell pode ser mais conveniente do que a mecânica Lagrangiana comumente usada, particularmente quando restrições não holonômicas estão envolvidas. Na verdade, a equação de Appell leva diretamente às equações de movimento de Lagrange. Além disso, pode ser usado para derivar as equações de Kane, que são particularmente adequadas para descrever o movimento de naves espaciais complexas. A formulação de Appell é uma aplicação do princípio da menor restrição de Gauss .

Derivação

A mudança nas posições das partículas r k para uma mudança infinitesimal nas coordenadas generalizadas de D é

Tomar duas derivadas em relação ao tempo produz uma equação equivalente para as acelerações

O trabalho feito por uma mudança infinitesimal dq r nas coordenadas generalizadas é

onde a segunda lei de Newton para a k ésima partícula

foi usado. Substituir a fórmula por d r k e trocar a ordem das duas somas resulta nas fórmulas

Portanto, as forças generalizadas são

Isso é igual à derivada de S em relação às acelerações generalizadas

rendendo a equação de movimento de Appell

Exemplos

Equações de Euler da dinâmica do corpo rígido

As equações de Euler fornecem uma excelente ilustração da formulação de Appell.

Considere um corpo rígido de N partículas unidas por hastes rígidas. A rotação do corpo pode ser descrita por um vetor de velocidade angular e o vetor de aceleração angular correspondente

A força generalizada para uma rotação é o torque , já que o trabalho feito para uma rotação infinitesimal é . A velocidade da -ésima partícula é dada por

onde está a posição da partícula em coordenadas cartesianas; sua aceleração correspondente é

Portanto, a função pode ser escrita como

Definir a derivada de S com respeito a igual ao torque produz as equações de Euler

Veja também

Referências

Leitura adicional