onde é uma aceleração generalizada arbitrária, ou a segunda derivada de tempo das coordenadas generalizadas , e é sua força generalizada correspondente . A força generalizada dá o trabalho feito
onde o índice corre sobre as coordenadas generalizadas , que geralmente correspondem aos graus de liberdade do sistema. A função é definida como a soma ponderada da massa do quadrado das acelerações de partículas ,
onde o índice é executado sobre as partículas, e
é a aceleração da -ésima partícula, a segunda derivada de seu vetor posição . Cada um é expresso em termos de coordenadas generalizadas e é expresso em termos de acelerações generalizadas.
Relações com outras formulações da mecânica clássica
A formulação de Appell não introduz nenhuma nova física na mecânica clássica e, como tal, é equivalente a outras reformulações da mecânica clássica, como a mecânica Lagrangiana e a mecânica hamiltoniana . Toda a física está contida nas leis do movimento de Newton. Em alguns casos, a equação de movimento de Appell pode ser mais conveniente do que a mecânica Lagrangiana comumente usada, particularmente quando restrições não holonômicas estão envolvidas. Na verdade, a equação de Appell leva diretamente às equações de movimento de Lagrange. Além disso, pode ser usado para derivar as equações de Kane, que são particularmente adequadas para descrever o movimento de naves espaciais complexas. A formulação de Appell é uma aplicação do princípio da menor restrição de Gauss .
Derivação
A mudança nas posições das partículas r k para uma mudança infinitesimal nas coordenadas generalizadas de D é
Tomar duas derivadas em relação ao tempo produz uma equação equivalente para as acelerações
O trabalho feito por uma mudança infinitesimal dq r nas coordenadas generalizadas é
onde a segunda lei de Newton para a k ésima partícula
foi usado. Substituir a fórmula por d r k e trocar a ordem das duas somas resulta nas fórmulas
Portanto, as forças generalizadas são
Isso é igual à derivada de S em relação às acelerações generalizadas
Considere um corpo rígido de N partículas unidas por hastes rígidas. A rotação do corpo pode ser descrita por um vetor de velocidade angular e o vetor de aceleração angular correspondente
A força generalizada para uma rotação é o torque , já que o trabalho feito para uma rotação infinitesimal é . A velocidade da -ésima partícula é dada por
onde está a posição da partícula em coordenadas cartesianas; sua aceleração correspondente é
Portanto, a função pode ser escrita como
Definir a derivada de S com respeito a igual ao torque produz as equações de Euler
Seeger (1930). "Equações de Appell". Jornal da Washington Academy of Science . 20 : 481–484.
Brell, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Wien. Sitz . 122 : 933–944.Conexão da formulação de Appell com o princípio da menor ação .