Área - Area

Área
Símbolos comuns
UMA
Unidade SI Metros quadrado [m 2 ]
Em unidades de base SI m 2
Dimensão
Três formas em uma grade quadrada
A área combinada dessas três formas é de aproximadamente 15,57 quadrados .

Área é a quantidade que expressa a extensão de uma região bidimensional , forma ou lâmina plana , no plano . A área da superfície é seu análogo na superfície bidimensional de um objeto tridimensional . Área pode ser entendida como a quantidade de material com determinada espessura que seria necessária para modelar a forma, ou a quantidade de tinta necessária para cobrir a superfície com uma única demão. É o análogo bidimensional do comprimento de uma curva (um conceito unidimensional) ou do volume de um sólido (um conceito tridimensional).

A área de uma forma pode ser medida comparando a forma com quadrados de tamanho fixo. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de área é o metro quadrado (escrito como m 2 ), que é a área de um quadrado cujos lados têm um metro de comprimento. Uma forma com uma área de três metros quadrados teria a mesma área que três desses quadrados. Em matemática , o quadrado unitário é definido como tendo uma área, e a área de qualquer outra forma ou superfície é um número real adimensional .

Este quadrado e este disco têm a mesma área (veja: quadratura do círculo ).

Existem várias fórmulas conhecidas para as áreas de formas simples, como triângulos , retângulos e círculos . Usando essas fórmulas, a área de qualquer polígono pode ser encontrada dividindo o polígono em triângulos . Para formas com limites curvos, o cálculo geralmente é necessário para calcular a área. Na verdade, o problema de determinar a área das figuras planas foi uma das principais motivações para o desenvolvimento histórico do cálculo .

Para uma forma sólida, como uma esfera , cone ou cilindro, a área de sua superfície limite é chamada de área de superfície . As fórmulas para as áreas de superfície de formas simples foram calculadas pelos gregos antigos , mas o cálculo da área de superfície de uma forma mais complicada geralmente requer cálculos multivariáveis .

A área desempenha um papel importante na matemática moderna. Além de sua óbvia importância na geometria e cálculo, a área está relacionada à definição dos determinantes na álgebra linear e é uma propriedade básica das superfícies na geometria diferencial . Na análise , a área de um subconjunto do plano é definida usando a medida de Lebesgue , embora nem todo subconjunto seja mensurável. Em geral, a área em matemática superior é vista como um caso especial de volume para regiões bidimensionais.

A área pode ser definida através do uso de axiomas, definindo-a em função de uma coleção de certas figuras planas ao conjunto de números reais. Pode-se provar que tal função existe.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por "área" é por meio de axiomas . "Área" pode ser definida como uma função de uma coleção M de tipos especiais de figuras planas (denominados conjuntos mensuráveis) para o conjunto de números reais, que satisfaz as seguintes propriedades:

  • Para todo S em M , a ( S ) ≥ 0.
  • Se S e T estão em M, então também estão ST e ST , e também a ( ST ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( ST ).
  • Se S e T estão em M com ST então T - S está em M e a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
  • Se um conjunto S está em M e S é congruente com T, então T também está em M e a ( S ) = a ( T ).
  • Cada retângulo R está em M . Se o retângulo tiver comprimento he largura k, então a ( R ) = hk .
  • Deixe Q ser um conjunto fechado entre duas regiões da etapa S e T . Uma região passo é formada a partir de uma união finito de rectângulos adjacentes que descansam sobre uma base comum, ou seja, SQT . Se houver um número único c tal que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) para todas essas regiões de etapa S e T , então a ( Q ) = c .

Pode-se provar que essa função de área realmente existe.

Unidades

Um quadrado feito de tubo de PVC na grama
Um metro quadrado entre parcelas feitos de tubo de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, ou seja, a área de um quadrado com o comprimento lateral dado. Assim, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (m 2 ), centímetros quadrados (cm 2 ), milímetros quadrados (mm 2 ), quilômetros quadrados (km 2 ), pés quadrados (ft 2 ), jardas quadradas (yd 2 ), milhas quadradas (mi 2 ) e assim por diante. Algebricamente, essas unidades podem ser consideradas os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade de área do SI é o metro quadrado, que é considerada uma unidade derivada do SI .

Conversões

Um diagrama que mostra o fator de conversão entre diferentes áreas
Embora haja 10 mm em 1 cm, existem 100 mm 2 em 1 cm 2 .

O cálculo da área de um quadrado cujo comprimento e largura são de 1 metro seria:

1 metro × 1 metro = 1 m 2

e assim, um retângulo com lados diferentes (digamos, comprimento de 3 metros e largura de 2 metros) teria uma área em unidades quadradas que pode ser calculada como:

3 metros x 2 metros = 6 m 2 . Isso é equivalente a 6 milhões de milímetros quadrados. Outras conversões úteis são:

  • 1 quilômetro quadrado = 1.000.000 metros quadrados
  • 1 metro quadrado = 10.000 centímetros quadrados = 1.000.000 milímetros quadrados
  • 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados.

Unidades não métricas

Em unidades não métricas, a conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado da conversão entre as unidades de comprimento correspondentes.

1 = 12 polegadas ,

a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas é

1 pé quadrado = 144 polegadas quadradas,

onde 144 = 12 2 = 12 × 12. Da mesma forma:

  • 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados
  • 1 milha quadrada = 3.097.600 jardas quadradas = 27.878.400 pés quadrados

Além disso, os fatores de conversão incluem:

  • 1 polegada quadrada = 6,4516 centímetros quadrados
  • 1 pé quadrado = 0,092 903 04 metros quadrados
  • 1 jarda quadrada = 0,836 127 36 metros quadrados
  • 1 milha quadrada = 2,589 988 110 336 quilômetros quadrados

Outras unidades, incluindo histórico

Existem várias outras unidades comuns para área. O ARE foi a unidade original da área no sistema métrico , com:

  • 1 são = 100 metros quadrados

Embora a área tenha caído em desuso, o hectare ainda é comumente usado para medir a terra:

  • 1 hectare = 100 ares = 10.000 metros quadrados = 0,01 quilômetros quadrados

Outras unidades métricas incomuns de área incluem a tétrade , o hectad e a miríade .

O acre também é comumente usado para medir áreas de terra, onde

  • 1 acre = 4.840 jardas quadradas = 43.560 pés quadrados.

Um acre equivale a aproximadamente 40% de um hectare.

Na escala atômica, a área é medida em unidades de celeiros , de modo que:

  • 1 celeiro = 10 −28 metros quadrados.

O celeiro é comumente usado para descrever a área de seção transversal de interação em física nuclear .

Na Índia ,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 acre

História

Área do círculo

No século 5 aC, Hipócrates de Quios foi o primeiro a mostrar que a área de um disco (a região delimitada por um círculo) é proporcional ao quadrado de seu diâmetro, como parte de sua quadratura da luna de Hipócrates , mas o fez não identifica a constante de proporcionalidade . Eudoxus de Cnidus , também no século 5 aC, também descobriu que a área de um disco é proporcional ao seu raio ao quadrado.

Posteriormente, Livro I de Euclides Elementos tratados com igualdade de áreas entre figuras bidimensionais. O matemático Arquimedes usou as ferramentas da geometria euclidiana para mostrar que a área dentro de um círculo é igual à de um triângulo retângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo, em seu livro Measurement of a Circle . (A circunferência é 2 π r , e a área de um triângulo é a metade da base vezes a altura, produzindo a área π r 2 para o disco.) Arquimedes aproximou o valor de π (e, portanto, a área de um círculo de raio unitário ) com seu método de duplicação , no qual ele inscreveu um triângulo regular em um círculo e observou sua área, em seguida, dobrou o número de lados para dar um hexágono regular e , em seguida, dobrou repetidamente o número de lados conforme a área do polígono se aproximava cada vez mais daquele do círculo (e fez o mesmo com polígonos circunscritos ).

O cientista suíço Johann Heinrich Lambert em 1761 provou que π , a razão entre a área de um círculo e seu raio quadrado, é irracional , o que significa que não é igual ao quociente de dois números inteiros quaisquer. Em 1794, o matemático francês Adrien-Marie Legendre provou que π 2 é irracional; isso também prova que π é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendental (não a solução de qualquer equação polinomial com coeficientes racionais), confirmando uma conjectura feita por Legendre e Euler.

Área do triângulo

Heron (ou Herói) de Alexandria encontrou o que é conhecido como fórmula de Heron para a área de um triângulo em termos de seus lados, e uma prova pode ser encontrada em seu livro, Metrica , escrito por volta de 60 DC. Foi sugerido que Arquimedes conhecia a fórmula mais de dois séculos antes, e como Metrica é uma coleção do conhecimento matemático disponível no mundo antigo, é possível que a fórmula seja anterior à referência dada naquele trabalho.

Em 499 , Aryabhata , um grande matemático - astrônomo da era clássica da matemática e astronomia indianas , expressou a área de um triângulo como metade da base vezes a altura no Aryabhatiya (seção 2.6).

Uma fórmula equivalente à de Heron foi descoberta pelos chineses independentemente dos gregos. Foi publicado em 1247 em Shushu Jiuzhang (" Tratado de Matemática em Nove Seções "), escrito por Qin Jiushao .

Área quadrilateral

No século 7 DC, Brahmagupta desenvolveu uma fórmula, agora conhecida como fórmula de Brahmagupta , para a área de um quadrilátero cíclico (um quadrilátero inscrito em um círculo) em termos de seus lados. Em 1842, os matemáticos alemães Carl Anton Bretschneider e Karl Georg Christian von Staudt encontraram independentemente uma fórmula, conhecida como fórmula de Bretschneider , para a área de qualquer quadrilátero.

Área geral do polígono

O desenvolvimento das coordenadas cartesianas por René Descartes no século XVII permitiu o desenvolvimento da fórmula do agrimensor para a área de qualquer polígono com localizações de vértices conhecidas por Gauss no século XIX.

Áreas determinadas usando cálculo

O desenvolvimento do cálculo integral no final do século 17 forneceu ferramentas que poderiam posteriormente ser usadas para computar áreas mais complicadas, como a área de uma elipse e as áreas de superfície de vários objetos tridimensionais curvos.

Fórmulas de área

Fórmulas poligonais

Para um polígono de não auto-intersecção ( simples ), as coordenadas cartesianas ( i = 0, 1, ..., n -1) de cujos n vértices são conhecidos, a área é dada pela fórmula do topógrafo :

onde quando i = n -1, então i +1 é expresso como módulo n e então se refere a 0.

Retângulos

Um retângulo com comprimento e largura rotulados
A área desse retângulo é  lw .

A fórmula de área mais básica é a fórmula para a área de um retângulo . Dado um retângulo com comprimento le largura w , a fórmula para a área é:

A = lw  (retângulo).

Ou seja, a área do retângulo é o comprimento multiplicado pela largura. Como um caso especial, como l = w no caso de um quadrado, a área de um quadrado com comprimento lateral s é dada pela fórmula:

A = s 2  (quadrado).

A fórmula para a área de um retângulo segue diretamente das propriedades básicas da área e às vezes é considerada uma definição ou axioma . Por outro lado, se a geometria é desenvolvida antes da aritmética , esta fórmula pode ser usada para definir a multiplicação de números reais .

Dissecção, paralelogramos e triângulos

A maioria das outras fórmulas simples para a área segue o método de dissecção . Isso envolve o corte de uma forma em pedaços, cujas áreas devem somar à área da forma original.

Um diagrama que mostra como um paralelogramo pode ser reorganizado na forma de um retângulo.

Por exemplo, qualquer paralelogramo pode ser subdividido em um trapézio e um triângulo retângulo , conforme mostrado na figura à esquerda. Se o triângulo for movido para o outro lado do trapézio, a figura resultante será um retângulo. Conclui-se que a área do paralelogramo é a mesma que a área do retângulo:

A = bh  (paralelogramo).
Um paralelogramo dividido em dois triângulos iguais.

No entanto, o mesmo paralelogramo também pode ser cortado ao longo de uma diagonal em dois triângulos congruentes , como mostrado na figura à direita. Conclui-se que a área de cada triângulo é a metade da área do paralelogramo:

 (triângulo).

Argumentos semelhantes podem ser usados ​​para encontrar fórmulas de área para o trapézio , bem como polígonos mais complicados .

Área de formas curvas

Círculos

Um círculo dividido em muitos setores pode ser reorganizado aproximadamente para formar um paralelogramo
Um círculo pode ser dividido em setores que se reorganizam para formar um paralelogramo aproximado .

A fórmula para a área de um círculo (mais apropriadamente chamada de área delimitada por um círculo ou área de um disco ) é baseada em um método semelhante. Dado um círculo de raio r , é possível particionar o círculo em setores , conforme mostrado na figura à direita. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular e os setores podem ser reorganizados para formar um paralelogramo aproximado. A altura desse paralelogramo é r , e a largura é a metade da circunferência do círculo, ou π r . Assim, a área total do círculo é π r 2 :

A = π r 2  (círculo).

Embora a dissecção usada nesta fórmula seja apenas aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que o círculo é dividido em mais e mais setores. O limite das áreas dos paralelogramos aproximados é exatamente π r 2 , que é a área do círculo.

Este argumento é, na verdade, uma aplicação simples das idéias do cálculo . Nos tempos antigos, o método da exaustão era usado de maneira semelhante para encontrar a área do círculo, e esse método é agora reconhecido como um precursor do cálculo integral . Usando métodos modernos, a área de um círculo pode ser calculada usando uma integral definida :

Elipses

A fórmula para a área delimitada por uma elipse está relacionada à fórmula de um círculo; para uma elipse com eixos semi-maior e semi-menor x e y, a fórmula é:

Superfície

Uma esfera azul dentro de um cilindro da mesma altura e raio
Arquimedes mostrou que a área da superfície de uma esfera é exatamente quatro vezes a área de um disco plano do mesmo raio, e o volume envolvido pela esfera é exatamente 2/3 do volume de um cilindro da mesma altura e raio.

A maioria das fórmulas básicas para a área de superfície pode ser obtida cortando e aplainando as superfícies. Por exemplo, se a superfície lateral de um cilindro (ou qualquer prisma ) for cortada longitudinalmente, a superfície pode ser achatada em um retângulo. Da mesma forma, se um corte for feito ao longo da lateral de um cone , a superfície lateral pode ser achatada em um setor de um círculo e a área resultante calculada.

A fórmula para a área da superfície de uma esfera é mais difícil de derivar: como uma esfera tem curvatura gaussiana diferente de zero , ela não pode ser achatada. A fórmula para a área da superfície de uma esfera foi obtida pela primeira vez por Arquimedes em seu trabalho On the Sphere and Cylinder . A fórmula é:

A = 4 πr 2  (esfera),

onde r é o raio da esfera. Tal como acontece com a fórmula para a área de um círculo, qualquer derivação desta fórmula usa métodos semelhantes ao cálculo .

Fórmulas gerais

Áreas de figuras bidimensionais

Área do triângulo
  • Um triângulo : (onde B é qualquer lado eh é a distância da linha na qual B se encontra até o outro vértice do triângulo). Esta fórmula pode ser usada se a altura h for conhecida. Se os comprimentos dos três lados são conhecidos, então a fórmula de Heron pode ser usada: onde a , b , c são os lados do triângulo e é a metade de seu perímetro. Se um ângulo e seus dois lados incluídos são dados, a área é onde C é o ângulo determinado e um e b são os seus lados incluídos. Se o triângulo for representado graficamente em um plano de coordenadas, uma matriz pode ser usada e é simplificada para o valor absoluto de . Esta fórmula também é conhecida como fórmula do cadarço e é uma maneira fácil de resolver a área de um triângulo de coordenadas substituindo os 3 pontos (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) e (x 3 , y 3 ) . A fórmula do cadarço também pode ser usada para encontrar as áreas de outros polígonos quando seus vértices são conhecidos. Outra abordagem para um triângulo de coordenadas é usar o cálculo para encontrar a área.
  • Um polígono simples construído em uma grade de pontos com distâncias iguais (ou seja, pontos com coordenadas inteiras ) de modo que todos os vértices do polígono sejam pontos de grade:, onde i é o número de pontos de grade dentro do polígono eb é o número de pontos de limite . Este resultado é conhecido como teorema de Pick .

Área em cálculo

Um diagrama que mostra a área entre uma determinada curva e o eixo x
A integração pode ser considerado como medição da área sob uma curva, definida por f ( x ), entre dois pontos (aqui um e b ).
Um diagrama mostrando a área entre duas funções
A área entre dois gráficos pode ser avaliada calculando a diferença entre as integrais das duas funções
  • A área entre uma curva de valor positivo e o eixo horizontal, medida entre dois valores a e b (b é definido como o maior dos dois valores) no eixo horizontal, é dada pela integral de a até b da função que representa a curva:
onde é a curva com o maior valor y.
  • Uma área limitada por uma função expressa em coordenadas polares é:
  • A área delimitada por uma curva paramétrica com pontos finais é dada pelos integrais de linha :
ou o componente z de
(Para obter detalhes, consulte o teorema de Green § Cálculo da área .) Este é o princípio do dispositivo mecânico do planímetro .

Área limitada entre duas funções quadráticas

Para encontrar a área limitada entre duas funções quadráticas , subtraímos uma da outra para escrever a diferença como

onde f ( x ) é o limite superior quadrático e g ( x ) é o limite inferior quadrático. Defina o discriminante de f ( x ) - g ( x ) como

Ao simplificar a fórmula integral entre os gráficos de duas funções (como dado na seção acima) e usando a fórmula de Vieta , podemos obter

O acima permanece válido se uma das funções de limitação for linear em vez de quadrática.

Área de superfície de figuras tridimensionais

  • Cone : , onde r é o raio da base circular, e h é a altura. Isso também pode ser reescrito como ou onde r é o raio el é a altura inclinada do cone. é a área da base, enquanto é a área da superfície lateral do cone.
  • cubo : , onde s é o comprimento de um bordo.
  • cilindro : , onde r é o raio de uma base e h é a altura. O 2 r também pode ser reescrito como d , onde d é o diâmetro.
  • prisma : 2B + Ph, onde B é a área de uma base, P é o perímetro de uma base e h é a altura do prisma.
  • pirâmide : , onde B é a área da base, P é o perímetro da base, e L é o comprimento da inclinação.
  • prisma rectangular : , onde é o comprimento, W é a largura, e h é a altura.

Fórmula geral para área de superfície

A fórmula geral para a área de superfície do gráfico de uma função continuamente diferenciável onde e é uma região no plano xy com o contorno suave:

Uma fórmula ainda mais geral para a área do gráfico de uma superfície paramétrica na forma vetorial onde é uma função vetorial continuamente diferenciável de é:

Lista de fórmulas

Fórmulas comuns adicionais para a área:
Forma Fórmula Variáveis
Retângulo Rechteck-ab.svg
Triângulo Dreieck-allg-bh.svg
Triângulo Dreieck-allg-w.svg
Triângulo

( Fórmula de Heron )

Dreieck-allg.svg
Triângulo isósceles Dreieck-gsch.svg
Triângulo regular

( triângulo equilátero )

Dreieck-gseit.svg
Rhombus / Kite Raute-de.svg
Paralelogramo Parallelog-aha.svg
Trapézio Trapez-abcdh.svg
Hexágono regular Hexagon-a.svg
Octógono regular Oktagon-a.svg
Polígono regular

( lados)





Oktagon-arR.svg

( Perímetro ) incircle raio de circunferência de raio



Círculo

( diâmetro )

Kreis-r-tab.svg
Setor circular Circle arc.svg
Elipse Ellipse-ab-tab.svg
Integrante hochkant = 0,2
Superfície
Esfera
Kugel-1-tab.svg
Cubóide Quader-1-tab.svg
cilindro

(incl. inferior e superior)

Zylinder-1-tab.svg
Cone

(incl. parte inferior)

Kegel-1-tab.svg
Toro Torus-1-tab.svg
Superfície de revolução

(rotação em torno do eixo x)

Vase-1-tab.svg

Os cálculos acima mostram como encontrar as áreas de muitas formas comuns .

As áreas de polígonos irregulares (e, portanto, arbitrários) podem ser calculadas usando a " Fórmula do pesquisador " (fórmula do cadarço).

Relação da área com o perímetro

A desigualdade isoperimétrica afirma que, para uma curva fechada de comprimento L (então a região que ela envolve tem perímetro L ) e para a área A da região que ela envolve,

e a igualdade se mantém se e somente se a curva for um círculo . Assim, um círculo tem a maior área de qualquer figura fechada com um determinado perímetro.

No outro extremo, uma figura com determinado perímetro L poderia ter uma área arbitrariamente pequena, conforme ilustrado por um losango que é "inclinado" arbitrariamente para que dois de seus ângulos sejam arbitrariamente próximos de 0 ° e os outros dois sejam arbitrariamente próximos a 180 °.

Para um círculo, a proporção da área para a circunferência (o termo para o perímetro de um círculo) é igual a metade do raio r . Isso pode ser visto na fórmula da área πr 2 e na fórmula da circunferência 2 πr .

A área de um polígono regular é a metade de seu perímetro vezes o apótema (onde o apótema é a distância do centro ao ponto mais próximo em qualquer lado).

Fractais

Dobrar os comprimentos das arestas de um polígono multiplica sua área por quatro, que é dois (a proporção do comprimento do lado novo para o antigo) elevado à potência de dois (a dimensão do espaço em que o polígono reside). Mas se os comprimentos unidimensionais de um fractal desenhado em duas dimensões são todos duplicados, o conteúdo espacial do fractal é dimensionado por uma potência de dois que não é necessariamente um número inteiro. Este poder é chamado de dimensão fractal do fractal.

Bissetoras de área

Há uma infinidade de linhas que dividem a área de um triângulo. Três deles são as medianas do triângulo (que conectam os pontos médios dos lados com os vértices opostos), e estes são concorrentes no centróide do triângulo ; na verdade, eles são as únicas bissetoras de área que passam pelo centróide. Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentivo do triângulo (o centro de seu círculo interno ). Existem um, dois ou três deles para qualquer triângulo.

Qualquer linha através do ponto médio de um paralelogramo corta a área ao meio.

Todas as bissetoras da área de um círculo ou outra elipse passam pelo centro e quaisquer cordas pelo centro dividem a área ao meio. No caso de um círculo, eles são os diâmetros do círculo.

Otimização

Dado um contorno de fio, a superfície de menor área abrangendo ("preenchimento") é uma superfície mínima . Exemplos familiares incluem bolhas de sabão .

A questão da área de preenchimento do círculo Riemanniano permanece em aberto.

O círculo tem a maior área de qualquer objeto bidimensional com o mesmo perímetro.

Um polígono cíclico (inscrito em um círculo) tem a maior área de qualquer polígono com um determinado número de lados do mesmo comprimento.

Uma versão da desigualdade isoperimétrica para triângulos afirma que o triângulo de maior área entre todos aqueles com um determinado perímetro é equilátero .

O triângulo de maior área de todos aqueles inscritos em um determinado círculo é equilátero; e o triângulo de menor área de todas as circunscritas em torno de um determinado círculo é equilátero.

A relação entre a área do círculo incircular e a área de um triângulo equilátero,, é maior do que a de qualquer triângulo não equilátero.

A razão entre a área e o quadrado do perímetro de um triângulo equilátero é maior do que para qualquer outro triângulo.

Veja também

Referências

links externos