Área de um círculo - Area of a circle

Em geometria , a área delimitada por um círculo de raio r é π r 2 . Aqui, a letra grega π representa a razão constante entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro , aproximadamente igual a 3,1416.

Um método de derivar essa fórmula, que se originou com Arquimedes , envolve ver o círculo como o limite de uma sequência de polígonos regulares . A área de um polígono regular é a metade de seu perímetro multiplicado pela distância de seu centro a seus lados , e a fórmula correspondente - que a área é metade do perímetro vezes o raio - ou seja, A = 1/2× 2π r × r , válido no limite de um círculo.

Embora muitas vezes referido como a área de um círculo em contextos informais, estritamente falando, o termo disco se refere ao interior do círculo, enquanto o círculo é reservado apenas para a fronteira, que é uma curva e não cobre nenhuma área em si. Portanto, a área de um disco é a frase mais precisa para a área delimitada por um círculo.

História

A matemática moderna pode obter a área usando os métodos de cálculo integral ou sua descendência mais sofisticada, a análise real . No entanto, a área de um disco foi estudada pelos Gregos Antigos . Eudoxus de Cnidus no século V aC descobriu que a área de um disco é proporcional ao seu raio ao quadrado. Arquimedes usou as ferramentas da geometria euclidiana para mostrar que a área dentro de um círculo é igual à de um triângulo retângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo em seu livro Measurement of a Circle . A circunferência é 2 π r , e a área de um triângulo é a metade da base vezes a altura, resultando na área π r 2 do disco. Antes de Arquimedes, Hipócrates de Quios foi o primeiro a mostrar que a área de um disco é proporcional ao quadrado de seu diâmetro, como parte de sua quadratura do luna de Hipócrates , mas não identificou a constante de proporcionalidade .

Argumentos históricos

Uma variedade de argumentos foram apresentados historicamente para estabelecer a equação em vários graus de rigor matemático. O mais famoso deles é o método de exaustão de Arquimedes , um dos primeiros usos do conceito matemático de limite , bem como a origem do axioma de Arquimedes, que permanece parte do tratamento analítico padrão do sistema de números reais . A prova original de Arquimedes não é rigorosa para os padrões modernos, porque assume que podemos comparar o comprimento do arco de um círculo ao comprimento de uma secante e uma linha tangente, e afirmações semelhantes sobre a área, como geometricamente evidente.

Usando polígonos

A área de um polígono regular é a metade de seu perímetro vezes o apótema . À medida que o número de lados do polígono regular aumenta, o polígono tende para um círculo e o apótema tende para o raio. Isso sugere que a área de um disco é a metade da circunferência de seu círculo multiplicado pelo raio.

Prova de Arquimedes

Seguindo o argumento de Arquimedes em The Measurement of a Circle (c. 260 AC), compare a área delimitada por um círculo a um triângulo retângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo. Se a área do círculo não for igual à do triângulo, ela deve ser maior ou menor. Eliminamos cada um deles por contradição, deixando a igualdade como a única possibilidade. Usamos polígonos regulares da mesma maneira.

Não maior

Círculo com quadrado e octógono inscritos, mostrando lacuna de área

Suponha que a área C delimitada pelo círculo seja maior que a área T  = 12 cr do triângulo. Deixe E denotar a quantidade em excesso. Escreva um quadrado no círculo, de modo que seus quatro cantos fiquem no círculo. Entre o quadrado e o círculo existem quatro segmentos. Se a área total dessas lacunas, G 4 , for maior que E , divida cada arco pela metade. Isso transforma o quadrado inscrito em um octógono inscrito e produz oito segmentos com uma lacuna total menor, G 8 . Continuar divisão até que a área total de lacuna, G n , for inferior a E . Agora, a área do polígono inscrito, P n  = C  -  G n , deve ser maior do que a do triângulo.

Mas isso força uma contradição, como segue. Desenhe uma perpendicular do centro ao ponto médio de um lado do polígono; seu comprimento, h , é menor que o raio do círculo. Além disso, deixe cada lado do polígono ter comprimento s ; então a soma dos lados, ns , é menor que a circunferência do círculo. A área do polígono consiste em n triângulos iguais com altura he base s , portanto igual a 12 nhs . Mas como h  <  r e ns  <  c , a área do polígono deve ser menor que a área do triângulo, 12 cr , uma contradição. Portanto, nossa suposição de que C pode ser maior que T deve estar errada.

Não menos

Círculo com quadrado e octógono circunscrito, mostrando lacuna de área

Suponha que a área delimitada pelo círculo seja menor que a área T do triângulo. Seja D o valor do déficit. Circunscreva um quadrado, de modo que o ponto médio de cada aresta fique no círculo. Se a diferença total entre a área do quadrado e o círculo, L 4 , é maior do que D , fatia fora dos cantos com tangentes círculo para fazer um octógono circunscrito, e continuar até o corte zona da abertura é inferior a D . A área do polígono, P n , deve ser menor do que o t .

Isso também força uma contradição. Pois, uma perpendicular ao ponto médio de cada lado do polígono é um raio de comprimento r . E uma vez que o comprimento lateral total é maior do que a circunferência, o polígono consiste de n triângulos idênticos com maior área total de T . Novamente, temos uma contradição, então nossa suposição de que C pode ser menor que T também deve estar errada.

Portanto, deve ser o caso de a área delimitada pelo círculo ser exatamente a mesma que a área do triângulo. Isso conclui a prova.

Prova de rearranjo

Área do círculo por rearranjo
Gráficos de lado ,  s ; apothem ,  a ; e área , A ,  de polígonos regulares de n lados e circumradius 1, com a base ,  b de um retângulo com a mesma área . A linha verde mostra o caso n = 6 .

Seguindo Satō Moshun ( Smith & Mikami 1914 , pp. 130-132) e Leonardo da Vinci ( Beckmann 1976 , p. 19), podemos usar polígonos regulares inscritos de uma maneira diferente. Suponha que inscrevamos um hexágono . Corte o hexágono em seis triângulos, separando-o do centro. Dois triângulos opostos tocam dois diâmetros comuns; deslize-os ao longo de um de modo que as bordas radiais fiquem adjacentes. Eles agora formam um paralelogramo , com os lados do hexágono formando duas arestas opostas, uma das quais é a base, s . Duas arestas radiais formam lados inclinados, e a altura, h é igual ao seu apótema (como na prova de Arquimedes). Na verdade, também podemos reunir todos os triângulos em um grande paralelogramo, colocando pares sucessivos próximos um do outro. O mesmo é verdade se aumentarmos para oito lados e assim por diante. Para um polígono com 2 n lados, o paralelogramo terá uma base de comprimento ns e altura h . À medida que o número de lados aumenta, o comprimento da base do paralelogramo se aproxima da metade da circunferência do círculo e sua altura se aproxima do raio do círculo. No limite, o paralelogramo torna-se um retângulo com largura π r e altura r .

Área do disco da unidade reorganizando n polígonos.
polígono paralelogramo
n lado base altura área
4 1.4142136 2.8284271 0,7071068 2.0000000
6 1.0000000 3.0000000 0,8660254 2,5980762
8 0,7653669 3.0614675 0,9238795 2.8284271
10 0,6180340 3.0901699 0,9510565 2.9389263
12 0,5176381 3,1058285 0,9659258 3.0000000
14 0,4450419 3.1152931 0,9749279 3.0371862
16 0,3901806 3,1214452 0,9807853 3.0614675
96 0,0654382 3,1410320 0,9994646 3.1393502
1 / ∞ π 1 π

Provas modernas

Existem várias definições equivalentes da constante π. A definição convencional em geometria pré-cálculo é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro:

No entanto, porque a circunferência de um círculo não é um conceito analítico primitivo, essa definição não é adequada em tratamentos rigorosos modernos. Uma definição moderna padrão é que π é igual a duas vezes a menor raiz positiva da função cosseno ou, equivalentemente, o meio período da função seno (ou cosseno). A função cosseno pode ser definida como uma série de potências ou como a solução de uma certa equação diferencial . Isso evita qualquer referência a círculos na definição de π , de modo que as afirmações sobre a relação de π com a circunferência e a área dos círculos são na verdade teoremas, ao invés de definições, que seguem das definições analíticas de conceitos como "área" e "circunferência "

As definições analíticas são consideradas equivalentes, se for acordado que a circunferência do círculo é medida como uma curva retificável por meio da integral

A integral que aparece à direita é uma integral abeliana cujo valor é um meio-período da função seno , igual a π . Assim, é visto como verdadeiro como um teorema.

Vários dos argumentos que se seguem usam apenas conceitos do cálculo elementar para reproduzir a fórmula , mas em muitos casos, para considerá-los como provas reais, eles contam implicitamente no fato de que se pode desenvolver funções trigonométricas e a constante fundamental π de uma forma que é totalmente independente de sua relação com a geometria. Indicamos, quando apropriado, como cada uma dessas provas pode ser feita totalmente independente de toda trigonometria, mas em alguns casos isso requer idéias matemáticas mais sofisticadas do que aquelas fornecidas pelo cálculo elementar.

Prova de cebola

Área do disco via integração em anel

Usando o cálculo, podemos somar a área incrementalmente, dividindo o disco em anéis concêntricos finos como as camadas de uma cebola . Este é o método de integração de shell em duas dimensões. Para um anel infinitesimalmente fino da "cebola" de raio t , a área acumulada é 2 π t dt , o comprimento circunferencial do anel vezes sua largura infinitesimal (pode-se aproximar este anel por um retângulo com largura = 2 π t e altura = dt ). Isso dá uma integral elementar para um disco de raio r .

É rigorosamente justificado pela regra de substituição multivariada em coordenadas polares. Ou seja, a área é dada por uma dupla integral da função constante 1 sobre o próprio disco. Se D denota o disco, então a integral dupla pode ser calculada em coordenadas polares da seguinte forma:

que é o mesmo resultado obtido acima.

Uma justificativa rigorosa equivalente, sem depender das coordenadas especiais da trigonometria, usa a fórmula grosseira . Defina uma função por . Observe que ρ é uma função de Lipschitz cujo gradiente é um vetor unitário ( quase em todos os lugares ). Deixe- D ser o disco em . Vamos mostrar isso , onde está a medida de Lebesgue bidimensional em . Devemos supor que a medida unidimensional de Hausdorff do círculo é a circunferência do círculo de raio r . (Isso pode ser tomado como a definição de circunferência.) Então, pela fórmula grossa,

Prova de triângulo

Círculo desembrulhado para formar um triângulo
O círculo e o triângulo são iguais em área.

Semelhante à prova de cebola descrita acima, poderíamos explorar o cálculo de uma maneira diferente para chegar à fórmula para a área de um disco. Considere desembrulhar os círculos concêntricos em tiras retas. Isso formará um triângulo retângulo com r como sua altura e 2 π r (sendo a fatia externa da cebola) como sua base.

Encontrar a área deste triângulo dará a área do disco

Os ângulos opostos e adjacentes para este triângulo são respectivamente em graus 9,0430611 ..., 80,956939 ... e em radianos 0,1578311 ... OEISA233527 , 1,4129651 ... OEISA233528 .

Explicitamente, imaginamos dividir um círculo em triângulos, cada um com uma altura igual ao raio do círculo e uma base infinitesimalmente pequena. A área de cada um desses triângulos é igual a . Ao somar (integrar) todas as áreas desses triângulos, chegamos à fórmula para a área do círculo:

Ele também pode ser justificado por uma dupla integral da função constante 1 sobre o disco, invertendo a ordem de integração e usando uma mudança de variáveis ​​na integral iterada acima:

Fazer a substituição converte o integral em

que é igual ao resultado acima.

A prova do triângulo pode ser reformulada como uma aplicação do teorema de Green na forma de divergência de fluxo (ou seja, uma versão bidimensional do teorema de divergência ), de uma forma que evita qualquer menção à trigonometria e à constante π . Considere o campo vetorial no plano. Portanto, a divergência de r é igual a dois e, portanto, a área de um disco D é igual a

Pelo teorema de Green, este é o mesmo que o fluxo externo de r através do círculo que delimita D :

onde n é a unidade normal e ds é a medida do comprimento do arco. Para um círculo de raio R centrado na origem, temos e , então a igualdade acima é

A integral de ds sobre todo o círculo é apenas o comprimento do arco, que é sua circunferência, então isso mostra que a área A delimitada pelo círculo é igual a vezes a circunferência do círculo.

Outra prova que usa triângulos considera que a área delimitada por um círculo é composta por um número infinito de triângulos (ou seja, cada um dos triângulos tem um ângulo de d𝜃 no centro do círculo), cada um com uma área de1/2· R 2 · d𝜃 (derivado da expressão para a área de um triângulo:1/2 · A · b · sin𝜃 = 1/2 · R · r · sin (d𝜃) = 1/2· R 2 · d𝜃 ). Observe que sin (d𝜃)d𝜃 devido à pequena aproximação do ângulo . Ao somar as áreas dos triângulos, a expressão para a área do círculo pode ser encontrada:

Prova de semicírculo

Observe que a área de um semicírculo de raio r pode ser calculada pela integral .

Um semicírculo de raio r

Por substituição trigonométrica , nós substituímos , portanto

A última etapa segue uma vez que a identidade trigonométrica implica que e têm integrais iguais ao longo do intervalo , usando integração por substituição . Mas, por outro lado, visto que a soma das duas integrais é o comprimento desse intervalo, que é . Conseqüentemente, a integral de é igual à metade do comprimento desse intervalo, que é .

Portanto, a área de um círculo de raio r , que é o dobro da área do semicírculo, é igual a .

Esta prova particular pode parecer implícita, se as funções seno e cosseno envolvidas na substituição trigonométrica são consideradas como sendo definidas em relação aos círculos. No entanto, como observado anteriormente, é possível definir seno, cosseno e π de uma forma que é totalmente independente da trigonometria, caso em que a prova é válida pela fórmula de mudança de variáveis e o teorema de Fubini , assumindo as propriedades básicas de seno e cosseno (que também pode ser provado sem pressupor nada sobre sua relação com os círculos).

Desigualdade isoperimétrica

O círculo é a curva fechada de menor perímetro que envolve a área máxima. Isso é conhecido como desigualdade isoperimétrica , que afirma que se uma curva de Jordan retificável no plano euclidiano tem perímetro C e inclui uma área A (pelo teorema da curva de Jordan ), então

Além disso, a igualdade é válida nesta desigualdade se e somente se a curva for um círculo, caso em que e .

Aproximação rápida

Os cálculos que Arquimedes usou para aproximar a área numericamente foram trabalhosos, e ele parou com um polígono de 96 lados. Um método mais rápido usa idéias de Willebrord Snell ( Cyclometricus , 1621), posteriormente desenvolvido por Christiaan Huygens ( De Circuli Magnitudine Inventa , 1654), descrito em Gerretsen & Verdenduin (1983 , pp. 243-250).

Método de duplicação de Arquimedes

Dado um círculo, seja u n o perímetro de um n- gon regular inscrito e seja U n o perímetro de um n- gon regular circunscrito . Então, u n e U n são os limites inferior e superior para a circunferência do círculo que se tornam mais e mais nítidos à medida que n aumenta, e sua média ( u n + U n ) / 2 é uma aproximação especialmente boa para a circunferência. Para calcular u n e U n para n grande , Arquimedes derivou as seguintes fórmulas de duplicação:

  ( média geométrica ), e
   ( média harmônica ).

Partindo de um hexágono, Arquimedes dobrou n quatro vezes para obter um 96-gon, o que lhe deu uma boa aproximação da circunferência do círculo.

Na notação moderna, podemos reproduzir sua computação (e ir além) como segue. Para um círculo unitário, um hexágono inscrito tem u 6  = 6, e um hexágono circunscrito tem U 6  = 4 3 . Dobrar o rendimento de sete vezes

Arquimedes dobrando sete vezes; n = 6 × 2 k .
k n você n U n u n  +  U n/4
0 6 6,000000000 6,9282032 3.2320508
1 12 6.2116571 6,4307806 3.1606094
2 24 6,2652572 6,3193199 3.1461443
3 48 6.2787004 6,2921724 3,1427182
4 96 6,2820639 6.2854292 3,1418733
5 192 6.2829049 6.2837461 3,1416628
6 384 6.2831152 6,2833255 3,1416102
7 768 6.2831678 6,2832204 3,1415970

(Aqui u n + U n/2aproxima a circunferência do círculo unitário, que é 2 π , entãou n + U n/4aproxima-se de π .)

A última entrada da tabela tem 355113 como uma de suas melhores aproximações racionais ; isto é, não há melhor aproximação entre os números racionais com denominador até 113. O número 355113 também é uma excelente aproximação para π , melhor do que qualquer outro número racional com denominador menor que 16604.

O refinamento Snell-Huygens

Snell propôs (e Huygens provou) um limite mais rígido do que Arquimedes:

Isso para n = 48 dá uma aproximação melhor (cerca de 3,14159292) do que o método de Arquimedes para n = 768.

Derivação das fórmulas de duplicação de Arquimedes

Círculo com triângulos semelhantes: lado circunscrito, lado inscrito e complemento, lado dividido inscrito e complemento

Deixe um lado de um n- gon regular inscrito ter comprimento s n e toque o círculo nos pontos A e B. Seja A ′ o ponto oposto A no círculo, de modo que A′A seja um diâmetro, e A′AB seja um triângulo inscrito em um diâmetro. Pelo teorema de Tales , este é um triângulo retângulo com ângulo reto em B. Seja o comprimento de A′B c n , que chamamos de complemento de s n ; assim, c n 2 + s n 2  = (2 r ) 2 . Seja C ao meio o arco de A a B, e seja C ′ o ponto oposto a C no círculo. Assim, o comprimento de CA é s 2 n , o comprimento de C′A é c 2 n , e C′CA é ele próprio um triângulo retângulo com diâmetro C′C. Como C corta o arco de A a B, C′C perpendicularmente corta a corda de A a B, digamos em P. Triângulo C′AP é, portanto, um triângulo retângulo e é semelhante a C′CA, pois compartilham o ângulo em C ′. Assim, todos os três lados correspondentes estão na mesma proporção; em particular, temos C′A: C′C = C′P: C′A e AP: C′A = CA: C′C. O centro do círculo, O, divide A′A ao meio, então também temos o triângulo OAP semelhante a A′AB, com OP metade do comprimento de A′B. Em termos de comprimento lateral, isso nos dá

Na primeira equação, C′P é C′O + OP, comprimento r + 12 c n , e C′C é o diâmetro, 2 r . Para um círculo unitário, temos a famosa equação de duplicação de Ludolph van Ceulen ,

Se agora circunscrevermos um n- gon regular , com o lado A ″ B ″ paralelo a AB, então OAB e OA ″ B ″ são triângulos semelhantes, com A ″ B ″: AB = OC: OP. Chame o lado circunscrito de S n ; então isso é S n  :  s n  = 1:  12 c n . (Usamos novamente que OP tem metade do comprimento de A′B.) Assim, obtemos

Chame o perímetro inscrito de u n  = ns n , e o perímetro circunscrito de U n  = nS n . Em seguida, combinando equações, temos

de modo a

Isso dá uma equação média geométrica .

Nós também podemos deduzir

ou

Isso dá uma equação média harmônica .

Aproximação de dardo

Integração de Monte Carlo da área do círculo da unidade. A estimativa por essas 900 amostras é 4 ×709/900 = 3,15111 ...

Quando não existem métodos mais eficientes de localização de áreas, podemos recorrer ao "lançamento de dardos". Este método de Monte Carlo usa o fato de que, se amostras aleatórias forem tomadas uniformemente espalhadas pela superfície de um quadrado em que reside um disco, a proporção de amostras que atingem o disco se aproxima da proporção da área do disco à área do quadrado . Este deve ser considerado um método de último recurso para calcular a área de um disco (ou qualquer forma), pois requer um número enorme de amostras para obter uma precisão útil; uma estimativa boa para 10 - n requer cerca de 100 n amostras aleatórias ( Thijssen 2006 , p. 273).

Reorganização finita

Vimos que, ao particionar o disco em um número infinito de peças, podemos remontá-las em um retângulo. Um fato notável descoberto há relativamente pouco tempo ( Laczkovich 1990 ) é que podemos dissecar o disco em um grande, mas finito número de peças e, em seguida, remontar as peças em um quadrado de área igual. Isso é chamado de problema de quadratura do círculo de Tarski . A natureza da prova de Laczkovich é tal que prova a existência de tal partição (na verdade, de muitas dessas partições), mas não exibe nenhuma partição particular.

Círculos não euclidianos

Os círculos podem ser definidos na geometria não euclidiana e, em particular, nos planos hiperbólico e elíptico .

Por exemplo, a esfera unitária é um modelo para o plano elíptico bidimensional. Ele carrega uma métrica intrínseca que surge medindo o comprimento geodésico . Os círculos geodésicos são os paralelos em um sistema de coordenadas geodésicas .

Mais precisamente, fixe um ponto que colocamos no zênite. Associado a isso zénite é um sistema de coordenadas polares geodésica , , , em que z é o ponto . Nessas coordenadas, a distância geodésica de z a qualquer outro ponto com coordenadas é o valor de em x . Um círculo esférica é o conjunto dos pontos de uma distância geodésica R do zénite ponto z . Equivalentemente, com uma incorporação fixa em , o círculo esférico de raio centrado em z é o conjunto de x em tal .

Também podemos medir a área do disco esférico dentro de um círculo esférico, usando a medida da área da superfície intrínseca da esfera. A área do disco de raio R é então dada por

Mais geralmente, se uma esfera tem raio de curvatura , então a área do disco de raio R é dada por

Observe que, como uma aplicação da regra de L'Hôpital , isso tende para a área euclidiana no limite plano .

O caso hiperbólico é semelhante, com a área de um disco de raio intrínseco R no plano hiperbólico (curvatura constante ) dada por

onde cosh é o cosseno hiperbólico . De forma mais geral, para o plano hiperbólico de curvatura constante , a resposta é

Essas identidades são importantes para as desigualdades de comparação em geometria. Por exemplo, a área delimitada por um círculo de raio R em um espaço plano é sempre maior que a área de um círculo esférico e menor que um círculo hiperbólico, desde que todos os três círculos tenham o mesmo raio (intrínseco). Isso é,

para todos . Intuitivamente, isso ocorre porque a esfera tende a se curvar sobre si mesma, produzindo círculos de área menor do que os do plano, enquanto o plano hiperbólico, quando imerso no espaço, desenvolve franjas que produzem área adicional. É mais geralmente verdade que a área do círculo de um raio fixo R é uma função estritamente decrescente da curvatura.

Em todos os casos, se for a curvatura (constante, positiva ou negativa), então a desigualdade isoperimétrica para um domínio com área A e perímetro L é

onde a igualdade é alcançada precisamente para o círculo.

Generalizações

Podemos esticar um disco para formar uma elipse . Como esse trecho é uma transformação linear do plano, ele tem um fator de distorção que mudará a área, mas preservará as proporções das áreas. Esta observação pode ser usada para calcular a área de uma elipse arbitrária a partir da área de um círculo unitário.

Considere o círculo unitário circunscrito por um quadrado de comprimento lateral 2. A transformação envia o círculo para uma elipse ao esticar ou encolher os diâmetros horizontal e vertical para os eixos maior e menor da elipse. O quadrado é enviado para um retângulo circunscrevendo a elipse. A proporção da área do círculo para o quadrado é π / 4, o que significa que a proporção da elipse para o retângulo também é π / 4. Suponhamos que um e b são os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse. Como a área do retângulo é ab , a área da elipse é π ab / 4.

Também podemos considerar medidas análogas em dimensões superiores. Por exemplo, podemos desejar encontrar o volume dentro de uma esfera. Quando temos uma fórmula para a área de superfície, podemos usar o mesmo tipo de abordagem "cebola" que usamos para o disco.

Bibliografia

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Referências

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  4. ^ Nem todas as melhores aproximações racionais são os convergentes da fração contínua!
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