Áreas da matemática - Areas of mathematics
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A matemática abrange uma variedade e profundidade crescentes de assuntos ao longo de sua história , e sua compreensão requer um sistema para categorizar e organizar esses vários assuntos em áreas mais gerais da matemática . Vários esquemas de classificação diferentes surgiram e, embora compartilhem algumas semelhanças, existem diferenças devido em parte aos diferentes propósitos aos quais servem.
Uma divisão tradicional da matemática é em matemática pura ; matemática estudada por seu interesse intrínseco e matemática aplicada ; a matemática que pode ser aplicada diretamente a problemas do mundo real. Essa divisão nem sempre é clara e muitos assuntos foram desenvolvidos como matemática pura para encontrar aplicações inesperadas mais tarde. Divisões amplas, como matemática discreta , matemática computacional e assim por diante, surgiram mais recentemente.
Um sistema ideal de classificação permite adicionar novas áreas à organização do conhecimento anterior e encaixar descobertas surpreendentes e interações inesperadas no esboço. Por exemplo, o programa de Langlands encontrou conexões inesperadas entre áreas anteriormente consideradas não conectadas, pelo menos grupos de Galois , superfícies de Riemann e teoria dos números .
Sistemas de classificação
- A Wikipedia usa um sistema de Categoria: Matemática em seus artigos e também tem uma lista de listas de matemática .
- A Mathematics Subject Classification (MSC) é produzida pela equipe dos bancos de dados de revisão Mathematical Reviews e Zentralblatt MATH . Muitos periódicos de matemática pedem aos autores que rotulem seus artigos com códigos de assunto MSC. O MSC divide a matemática em mais de 60 áreas, com subdivisões adicionais dentro de cada área.
- Na Classificação da Biblioteca do Congresso , a matemática é atribuída às muitas subclasses QA dentro da classe Q (Ciências). O LCC define amplas divisões e assuntos individuais recebem valores numéricos específicos.
- A classificação decimal de Dewey atribui matemática à divisão 510, com subdivisões para álgebra e teoria dos números , aritmética , topologia , análise , geometria , análise numérica e probabilidades e matemática aplicada .
- A lista Categorias dentro da matemática é usada pelo arXiv para categorizar pré-impressões . É diferente do MSC; por exemplo, inclui coisas como álgebra quântica .
- A IMU usa sua estrutura de programa para organizar as palestras em seu ICM a cada quatro anos. Uma seção de nível superior que o MSC não possui é a teoria de Lie .
- O ACM Computing Classification System inclui algumas categorias matemáticas F. Teoria da Computação e G. Matemática da Computação.
- O MathOverflow possui um sistema de tags .
- Editoras de livros de matemática, como Springer ( subdisciplinas ), Cambridge ( Browse Mathematics e estatística ) e AMS ( área de assunto ), usam suas próprias listas de assuntos em seus sites para permitir que os clientes naveguem em livros ou filtrem pesquisas por subdisciplina, incluindo tópicos como biologia matemática e finanças matemáticas como títulos de nível superior.
- Escolas e outros órgãos educacionais têm programas .
- O SIAM divide as áreas de matemática aplicada em grupos de atividades .
Principais divisões da matemática
Matemática pura
Fundações
Os matemáticos sempre trabalharam com lógica e símbolos, mas durante séculos as leis subjacentes da lógica foram tidas como certas e nunca expressas simbolicamente. A lógica matemática , também conhecida como lógica simbólica , foi desenvolvida quando as pessoas finalmente perceberam que as ferramentas da matemática podem ser usadas para estudar a própria estrutura da lógica. As áreas de pesquisa neste campo têm se expandido rapidamente e geralmente são subdivididas em vários subcampos distintos.
- Teoria da prova e matemática construtiva : a teoria da prova surgiu do ambicioso programa de David Hilbert para formalizar todas as provas em matemática. O resultado mais famoso na área está encapsulado nos teoremas da incompletude de Gödel . Um conceito intimamente relacionado e agora bastante popular é a ideia das máquinas de Turing . O construtivismo é o resultado da visão não ortodoxa de Brouwer sobre a natureza da própria lógica; falando construtivamente, os matemáticos não podem afirmar "Ou um círculo é redondo ou não é" até que tenham realmente exibido um círculo e medido sua redondeza.
- Teoria de modelos : a teoria de modelos estuda estruturas matemáticas em uma estrutura geral. Sua principal ferramenta é a lógica de primeira ordem .
- Teoria dos conjuntos : um conjunto pode ser pensado como uma coleção de coisas distintas unidas por alguma característica comum. A teoria dos conjuntos é subdividida em três áreas principais. A teoria dos conjuntos ingênua é a teoria dos conjuntos original desenvolvida por matemáticos no final do século XIX. A teoria dos conjuntos axiomática é uma teoria axiomática rigorosa desenvolvida em resposta à descoberta de falhas graves (como o paradoxo de Russell ) na teoria dos conjuntos ingênua. Ele trata os conjuntos como "tudo o que satisfaz os axiomas", e a noção de coleções de coisas serve apenas como motivação para os axiomas. A teoria dos conjuntos internos é uma extensão axiomática da teoria dos conjuntos que apóia uma identificação logicamente consistente de elementos ilimitados (enormemente grandes) e infinitesimais (inimaginavelmente pequenos) dentro dos números reais . Consulte também a Lista de tópicos da teoria dos conjuntos .
História e biografia
A história da matemática está inextricavelmente ligada ao próprio assunto. Isso é perfeitamente natural: a matemática tem uma estrutura orgânica interna, derivando novos teoremas daqueles que vieram antes. À medida que cada nova geração de matemáticos se baseia nas realizações de seus ancestrais, o próprio assunto se expande e desenvolve novas camadas, como uma cebola.
Matemática recreativa
De quadrados mágicos ao conjunto de Mandelbrot , os números têm sido uma fonte de diversão e deleite para milhões de pessoas ao longo dos tempos. Muitos ramos importantes da matemática "séria" têm suas raízes no que antes era um mero quebra-cabeça e / ou jogo.
Teoria dos Números
A teoria dos números é o estudo dos números e das propriedades das operações entre eles. A teoria dos números está tradicionalmente preocupada com as propriedades dos inteiros , mas, mais recentemente, passou a se preocupar com classes mais amplas de problemas que surgiram naturalmente do estudo de inteiros.
- Aritmética : Uma parte elementar da teoria dos números que se concentra principalmente no estudo de números naturais , inteiros , frações e decimais , bem como as propriedades das operações tradicionais sobre eles: adição , subtração , multiplicação e divisão . Até o século 19, a aritmética e a teoria dos números eram sinônimos, mas a evolução e o crescimento do campo resultou na aritmética referindo-se apenas ao ramo elementar da teoria dos números.
- Teoria dos números elementares: o estudo de inteiros em um nível superior à aritmética , onde o termo 'elementar' aqui se refere ao fato de que nenhuma técnica de outros campos matemáticos é usada.
- Teoria analítica dos números : O cálculo e a análise complexa são usados como ferramentas para estudar os inteiros.
- Teoria algébrica dos números : As técnicas de álgebra abstrata são usadas para estudar os inteiros, assim como os números algébricos , as raízes dos polinômios com coeficientes inteiros .
- Outros subcampos da teoria dos números: Teoria geométrica dos números ; teoria dos números combinatórios ; teoria dos números transcendentais ; e teoria computacional dos números . Veja também a lista de tópicos da teoria dos números .
Álgebra
O estudo da estrutura começa com os números , primeiro os números naturais e inteiros familiares e suas operações aritméticas , que são registradas na álgebra elementar . As propriedades mais profundas desses números são estudadas na teoria dos números . A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata , que, entre outras coisas, estuda anéis e campos , estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números cotidianos. Questões de longa data sobre as construções de compasso e régua foram finalmente resolvidas pela teoria de Galois . O conceito fisicamente importante de vetores , generalizado para espaços vetoriais , é estudado em álgebra linear . Temas comuns a todos os tipos de estruturas algébricas são estudados em álgebra universal .
- Teoria da ordem : para quaisquer dois números reais distintos, um deve ser maior que o outro. A teoria da ordem estende essa ideia aos conjuntos em geral. Inclui noções como reticulados e estruturas algébricas ordenadas . Consulte também o glossário da teoria do pedido e a lista de tópicos do pedido .
- Sistemas algébricos gerais : Dado um conjunto , diferentes maneiras de combinar ou relacionar os membros desse conjunto podem ser definidas. Se eles obedecem a certas regras, então uma estrutura algébrica particular é formada. A álgebra universal é o estudo mais formal dessas estruturas e sistemas.
- Teoria de campo e polinômios: a teoria de campo estuda as propriedades dos campos . Um campo é uma entidade matemática para a qual adição, subtração, multiplicação e divisão são bem definidas . Um polinômio é uma expressão na qual constantes e variáveis são combinadas usando apenas adição, subtração e multiplicação.
- Anéis e álgebras comutativos : Na teoria dos anéis , um ramo da álgebra abstrata, um anel comutativo é um anel no qual a operação de multiplicação obedece à lei comutativa . Isto significa que se um e b são quaisquer elementos do anel, então um × b = b × um . Álgebra comutativa é o campo de estudo dos anéis comutativos e seus ideais , módulos e álgebras. É fundamental para a geometria algébrica e para a teoria algébrica dos números. Os exemplos mais proeminentes de anéis comutativos são anéis de polinômios .
Combinatoria
Combinatória é o estudo de coleções finitas ou discretas de objetos que satisfazem critérios especificados. Em particular, está preocupado em "contar" os objetos nessas coleções ( combinatória enumerativa ) e em decidir se certos objetos "ótimos" existem ( combinatória extrema ). Inclui a teoria dos grafos , usada para descrever objetos interconectados (um gráfico, neste sentido, é uma rede ou coleção de pontos conectados). Veja também a lista de tópicos de combinatória , lista de tópicos de teoria de grafos e glossário de teoria de grafos . Um sabor combinatório está presente em muitas partes da solução de problemas .
Geometria
A geometria lida com relações espaciais, usando qualidades fundamentais ou axiomas . Esses axiomas podem ser usados em conjunto com definições matemáticas para pontos , linhas retas , curvas , superfícies e sólidos para tirar conclusões lógicas. Veja também Lista de tópicos de geometria .
- Geometria convexa : Inclui o estudo de objetos como politopos e poliedros . Veja também Lista de tópicos de convexidade .
- Geometria discreta e geometria combinatória : O estudo de objetos geométricos e propriedades que são discretas ou combinatórias , seja por sua natureza ou por sua representação. Inclui o estudo de formas como os sólidos platônicos e a noção de mosaico .
- Geometria diferencial : O estudo da geometria usando cálculo. Ele está intimamente relacionado à topologia diferencial . Abrange áreas como geometria Riemanniana , curvatura e geometria diferencial de curvas . Consulte também o glossário de geometria diferencial e topologia .
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Geometria algébrica : Dado um polinômio de duas variáveis reais , os pontos em um plano onde essa função é zero formarão uma curva. Uma curva algébrica estende essa noção aos polinômios sobre um campo em um determinado número de variáveis. A geometria algébrica pode ser vista como o estudo dessas curvas. Veja também a lista de tópicos de geometria algébrica e a lista de superfícies algébricas .
- Geometria algébrica real : O estudo de conjuntos semi-algébricos , ou seja, soluções de números reais para desigualdades algébricas com coeficientes de números reais e mapeamentos entre eles.
- Geometria aritmética : O estudo de esquemas de tipo finito sobre o espectro do anel de inteiros . Definido alternativamente como a aplicação das técnicas de geometria algébrica a problemas na teoria dos números .
- Geometria Diofantina : O estudo dos pontos de variedades algébricas com coordenadas em campos que não são algebricamente fechada e ocorrer em teoria número algébrico , tal como o campo de número racional , campos de números , campos finitos , campos de função , e p campos -adic , mas não incluindo os números reais .
Topologia
Trata das propriedades de uma figura que não mudam quando a figura é continuamente deformada. As principais áreas são topologia de conjunto de pontos (ou topologia geral ), topologia algébrica e a topologia de variedades , definidas abaixo.
- Topologia geral : também chamada de topologia de conjunto de pontos . Propriedades dos espaços topológicos . Inclui noções como conjuntos abertos e fechados , espaços compactos , funções contínuas , convergência , axiomas de separação , espaços métricos , teoria das dimensões . Consulte também o glossário de topologia geral e a lista de tópicos de topologia geral .
- Topologia algébrica : Propriedades de objetos algébricos associados a um espaço topológico e como esses objetos algébricos capturam propriedades de tais espaços. (Alguns desses objetos algébricos são exemplos de functores .) Contém áreas como teoria da homologia , teoria da cohomologia , teoria da homotopia e álgebra homológica . Homotopia lida com grupos de homotopia (incluindo o grupo fundamental ), bem como complexos simpliciais e complexos CW (também chamados de complexos celulares ). Veja também a lista de tópicos de topologia algébrica .
- Topologia diferencial : O campo que lida com funções diferenciáveis em variedades diferenciáveis , que pode ser pensado como uma generalização n : dimensional de uma superfície no espaço euclidiano tridimensional usual .
Análise
Dentro da matemática, a análise é o ramo que se concentra nas taxas de mudança (derivadas) , integrais e várias coisas que mudam em relação (ou independentemente) umas das outras.
A análise moderna é um ramo vasto e em rápida expansão da matemática que atinge quase todas as outras subdivisões da disciplina, encontrando aplicações diretas e indiretas em tópicos tão diversos como teoria dos números , criptografia e álgebra abstrata . É também a linguagem da própria ciência e é usada em química , biologia e física , da astrofísica à cristalografia de raios-X .
Matemática Aplicada
Probabilidade e estatísticas
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Teoria das probabilidades : a teoria matemática dos fenômenos aleatórios . A teoria da probabilidade estuda variáveis e eventos aleatórios , que são abstrações matemáticas de eventos não determinísticos ou quantidades medidas. Veja também Categoria: teoria da probabilidade e a lista de tópicos de probabilidade .
- Processos estocásticos : uma extensão da teoria da probabilidade que estuda coleções de variáveis aleatórias, como séries temporais ou processos espaciais . Consulte também os tópicos de Lista de processos estocásticos e Categoria: Processos estocásticos .
- Estatística : a ciência de fazer uso eficaz de dados numéricos de experimentos ou de populações de indivíduos. A estatística inclui não apenas a coleta, análise e interpretação de tais dados, mas também o planejamento da coleta de dados, em termos de planejamento de pesquisas e experimentos . Veja também a lista de tópicos estatísticos .
Ciencias computacionais
- Análise numérica : Muitos problemas em matemática não podem, em geral, ser resolvidos com exatidão. A análise numérica é o estudo de métodos e algoritmos iterativos para resolver problemas de forma aproximada para um limite de erro especificado. Inclui diferenciação numérica , integração numérica e métodos numéricos ; cf computação científica . Consulte também Lista de tópicos de análise numérica .
- Álgebra computacional : esta área também é chamada de computação simbólica ou computação algébrica . Ele lida com computação exata, por exemplo, com inteiros de tamanho arbitrário, polinômios ou elementos de campos finitos. Inclui também a computação com objetos matemáticos não numéricos como ideais ou séries polinomiais .
Física matemática
- Mecânica Clássica : aborda e descreve o movimento de objetos macroscópicos, de projéteis a partes de máquinas e objetos astronômicos, como espaçonaves, planetas, estrelas e galáxias.
- Mecânica das estruturas : a mecânica das estruturas é um campo de estudo dentro da mecânica aplicada que investiga o comportamento das estruturas sob cargas mecânicas, como flexão de uma viga, flambagem de uma coluna, torção de um eixo, deflexão de uma casca fina e vibração de uma ponte.
- Mecânica de sólidos deformáveis : a maioria dos objetos do mundo real não são pontuais nem perfeitamente rígidos. Mais importante, os objetos mudam de forma quando sujeitos a forças. Este assunto tem uma sobreposição muito forte com a mecânica do contínuo , que se preocupa com a matéria contínua. Ele lida com noções como tensão , deformação e elasticidade .
- Mecânica dos fluidos : os fluidos , neste sentido, incluem não apenas líquidos , mas também gases fluidos e até sólidos em certas situações. (Por exemplo, areia seca pode se comportar como um fluido). Inclui noções como viscosidade , fluxo turbulento e fluxo laminar (seu oposto).
- Mecânica das partículas : Em matemática, uma partícula é um objeto sólido, perfeitamente rígido e semelhante a um ponto. A mecânica das partículas lida com os resultados de sujeitar as partículas a forças. Inclui a mecânica celeste - o estudo do movimento dos objetos celestes.
Outra matemática aplicada
- Pesquisa operacional (OR): também conhecida como pesquisa operacional, OR fornece soluções ótimas ou quase ótimas para problemas complexos. OR usa modelagem matemática , análise estatística e otimização matemática .
- Programação matemática : a programação matemática (ou otimização matemática) minimiza (ou maximiza) uma função de valor real em um domínio que geralmente é especificado por restrições nas variáveis. A programação matemática estuda esses problemas e desenvolve métodos e algoritmos iterativos para sua solução.
Veja também
Notas
- ^ Por exemplo, a Encyclopædia Britannica décima primeira edição agrupa seus artigos de matemática como Puro, Aplicado e Biografias .
links externos
- The Divisions of Mathematics [do Web Archive; Última modificação em 25/01/2006]