Princípio do argumento - Argument principle

O contorno simples C (preto), os zeros de f (azul) e os pólos de f (vermelho). Aqui temos

Na análise complexa , o princípio do argumento (ou princípio do argumento de Cauchy ) relaciona a diferença entre o número de zeros e pólos de uma função meromórfica a uma integral de contorno da derivada logarítmica da função .

Especificamente, se f ( z ) é uma função meromórfica dentro e em algum contorno fechado C , e f não tem zeros ou pólos em C , então

onde Z e P denotam respectivamente o número de zeros e pólos de f ( z ) dentro do contorno C , com cada zero e pólo contados tantas vezes quanto sua multiplicidade e ordem , respectivamente, indicam. Esta afirmação do teorema assume que o contorno C é simples, isto é, sem autointerseções e que é orientado no sentido anti-horário.

Mais geralmente, suponha que f ( z ) é uma função meromórfica em um conjunto aberto Ω no plano complexo e que C é uma curva fechada em Ω que evita todos os zeros e pólos de f e é contraível a um ponto dentro de Ω. Para cada ponto z ∈ Ω, seja n ( C , z ) o número de enrolamento de C em torno de z . Então

onde a primeira soma é sobre todos os zeros a de f contados com suas multiplicidades, e a segunda soma é sobre os pólos b de f contados com suas ordens.

Interpretação da integral de contorno

A integral de contorno pode ser interpretada como 2π i vezes o número do enrolamento do caminho f ( C ) em torno da origem, usando a substituição w = f ( z ):

Ou seja, é i vezes a variação total no argumento de f ( z ) conforme z viaja em torno de C , explicando o nome do teorema; isso segue de

e a relação entre argumentos e logaritmos.

Prova do princípio do argumento

Seja z Z um zero de f . Podemos escrever f ( z ) = ( z  -  z Z ) k g ( z ) onde k é a multiplicidade do zero e, portanto, g ( z Z ) ≠ 0. Obtemos

e

Como g ( z Z ) ≠ 0, segue que g ' ( z ) / g ( z ) não tem singularidades em z Z e, portanto, é analítico em z Z , o que implica que o resíduo de f ′ ( z ) / f ( z ) em z Z é  k .

Seja z P um pólo de f . Podemos escrever f ( z ) = ( z  -  z P ) - m h ( z ) onde m é a ordem do pólo eh ( z P ) ≠ 0. Então,

e

da mesma forma que acima. Segue-se que h '( z ) / H ( z ) não tem em singularidades z P uma vez que h ( z P ) ≠ 0 e, portanto, é analítico em z P . Descobrimos que o resíduo de f ′ ( z ) / f ( z ) em z P é - m .

Colocando-os juntos, cada zero z Z de multiplicidade k de f cria um pólo simples para f ′ ( z ) / f ( z ) com o resíduo sendo k , e cada pólo z P de ordem m de f cria um pólo simples para f ′ ( Z ) / f ( z ) com o resíduo sendo - m . (Aqui, por pólo simples, entendemos um pólo de ordem um.) Além disso, pode-se mostrar que f ′ ( z ) / f ( z ) não tem outros pólos e, portanto, nenhum outro resíduo.

Pelo teorema do resíduo , temos que a integral sobre C é o produto de 2 πi e a soma dos resíduos. Juntos, a soma dos k 's para cada zero z Z é o número de zeros contando as multiplicidades dos zeros, e da mesma forma para os pólos, e assim temos nosso resultado.

Aplicações e consequências

O princípio do argumento pode ser usado para localizar com eficiência zeros ou pólos de funções meromórficas em um computador. Mesmo com erros de arredondamento, a expressão produzirá resultados próximos a um inteiro; determinando esses inteiros para diferentes contornos C, pode-se obter informações sobre a localização dos zeros e pólos. Testes numéricos da hipótese de Riemann utilizar esta técnica para obter um limite superior para o número de zeros de Riemann função dentro de um rectângulo que intersecta a linha crítica.

A prova do teorema de Rouché usa o princípio do argumento.

Os livros modernos sobre a teoria do controle de feedback freqüentemente usam o princípio do argumento para servir como a base teórica do critério de estabilidade de Nyquist .

Uma consequência da formulação mais geral do princípio do argumento é que, sob a mesma hipótese, se g é uma função analítica em Ω, então

Por exemplo, se f é um polinômio com zeros z 1 , ..., z p dentro de um contorno simples C , e g ( z ) = z k , então

é o polinômio simétrico da soma das potências das raízes de f .

Outra consequência é se calcularmos a integral complexa:

para uma escolha adequada de g e f temos a fórmula Abel-Plana :

que expressa a relação entre uma soma discreta e sua integral.

Princípio do argumento generalizado

Há uma generalização imediata do princípio do argumento. Suponha que g seja analítico na região . Então

onde a primeira soma é novamente sobre todos os zeros a de f contados com suas multiplicidades, e a segunda soma é novamente sobre os pólos b de f contados com suas ordens.

História

De acordo com o livro de Frank Smithies ( Cauchy e a Teoria da Criação da Função Complexa , Cambridge University Press, 1997, p. 177), Augustin-Louis Cauchy apresentou um teorema semelhante ao anterior em 27 de novembro de 1831, durante seu exílio autoimposto em Torino (então capital do Reino do Piemonte-Sardenha) longe da França. No entanto, de acordo com este livro, apenas zeros foram mencionados, não pólos. Este teorema de Cauchy só foi publicado muitos anos depois, em 1874, em uma forma escrita à mão e, portanto, é bastante difícil de ler. Cauchy publicou um artigo com uma discussão sobre zeros e pólos em 1855, dois anos antes de sua morte.

Veja também

Referências

  • Rudin, Walter (1986). Análise Real e Complexa (Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada) . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-054234-1 .
  • Ahlfors, Lars (1979). Análise complexa: uma introdução à teoria das funções analíticas de uma variável complexa . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-000657-7 .
  • Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Variáveis ​​complexas e aplicações . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-010905-6 .
  • Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de Ia fonction zeta (s) de Riemann, CR Acad. Sci. Paris 158, 1979–1982.

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