Análise assintótica - Asymptotic analysis

Na análise matemática , a análise assintótica , também conhecida como assintótica , é um método para descrever o comportamento limitante .

Como ilustração, suponha que estejamos interessados ​​nas propriedades de uma função f ( n ) quando n se torna muito grande. Se f ( n ) = n ² + 3 n , então conforme n se torna muito grande, o termo 3 n se torna insignificante em comparação com n ² . A função f ( n ) é dito ser " assintoticamente equivalente a n ² , como n  → ∞ ". Isso é freqüentemente escrito simbolicamente como f ( n ) ~ n ² , que é lido como " f ( n ) é assintótico com n ² ".

Um exemplo de resultado assintótico importante é o teorema dos números primos . Deixe π ( x ) denotar a função de contagem de primos (que não está diretamente relacionada à constante pi ), ou seja, π ( x ) é o número de números primos que são menores ou iguais a x . Então o teorema afirma que

${\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}.}$

Definição

Formalmente, dadas as funções f ( x ) e g ( x ) , definimos uma relação binária

${\ displaystyle f (x) \ sim g (x) \ quad ({\ text {as}} x \ to \ infty)}$

se e somente se ( de Bruijn 1981 , § 1.4)

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}$

O símbolo ~ é o til . A relação é uma relação de equivalência no conjunto de funções de x ; as funções f e g são referidos como sendo assintoticamente equivalente . O domínio de f e g podem ser qualquer conjunto para que o limite é definida: por exemplo, números reais, números complexos, inteiros positivos.

A mesma notação também é usada para outras maneiras de passar para um limite: por exemplo, x  → 0 , x  ↓ 0 , | x | → 0 . A forma de ultrapassar o limite muitas vezes não é declarada explicitamente, se for clara a partir do contexto.

Embora a definição acima seja comum na literatura, é problemático se g ( x ) for zero infinitamente, quando x vai para o valor limite. Por esse motivo, alguns autores usam uma definição alternativa. A definição alternativa, em notação pouco , é que f ~ g se e somente se

${\ displaystyle f (x) = g (x) (1 + o (1)).}$

Esta definição é equivalente à definição anterior se g ( x ) não for zero em alguma vizinhança do valor limite.

Propriedades

Se e , então, sob algumas condições moderadas, o seguinte se mantém. ${\ displaystyle f \ sim g}$${\ displaystyle a \ sim b}$

• ${\ displaystyle f ^ {r} \ sim g ^ {r}}$, para cada r real
• ${\ displaystyle \ log (f) \ sim \ log (g)}$
• ${\ displaystyle f \ times a \ sim g \ times b}$
• ${\ displaystyle f / a \ sim g / b}$

Essas propriedades permitem que funções assintoticamente equivalentes sejam trocadas livremente em muitas expressões algébricas.

Exemplos de fórmulas assintóticas

• Fatorial

${\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}$

- esta é a aproximação de Stirling

• Função de partição

Para um inteiro positivo n , a função de partição, p ( n ), fornece o número de maneiras de escrever o inteiro n como uma soma de inteiros positivos, onde a ordem dos adendos não é considerada.

${\ displaystyle p (n) \ sim {\ frac {1} {4n {\ sqrt {3}}}} e ^ {\ pi {\ sqrt {\ frac {2n} {3}}}}}$

• Função arejada

A função Airy, Ai ( x ), é uma solução da equação diferencial   y '' - xy = 0 ; tem muitas aplicações em física.

${\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) \ sim {\ frac {e ^ {- {\ frac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} x ^ {1/4}}}}$

• Funções de Hankel

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {i \ left (z - {\ frac {2 \ pi \ alpha - \ pi} {4}} \ right)} \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {- i \ left (z - {\ frac {2 \ pi \ alpha - \ pi} {4}} \ right)} \ end {alinhado}}}$

Construção

Em geral

Considerar:

${\ displaystyle h (x) = f (x) (1-F (x)) + g (x) F (x)}$

onde e são funções analíticas com valor real e é uma função de distribuição cumulativa . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle F (x)}$

Então é assintótico para as e assintótico para as . ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x \ to (- \ infty)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle x \ to (+ \ infty)}$

Assintótico a dois polinômios diferentes

Suponha que desejemos uma função de valor real que seja assintótica a as e assintótica a as . Então ${\ displaystyle (a_ {0} + a_ {1} x)}$${\ displaystyle x \ to (- \ infty)}$${\ displaystyle (b_ {0} + b_ {1} x)}$${\ displaystyle x \ to (+ \ infty)}$

${\ displaystyle h (x) = (a_ {0} + a_ {1} x) (1-F (x)) + (b_ {0} + b_ {1} x) F (x)}$

vai fazer isso.

Expansão assintótica

Uma expansão assintótica de uma função f ( x ) é, na prática, uma expressão dessa função em termos de uma série , cujas somas parciais não convergem necessariamente, mas tal que tomar qualquer soma parcial inicial fornece uma fórmula assintótica para f . A ideia é que termos sucessivos fornecem uma descrição cada vez mais precisa da ordem de crescimento de f .

Em símbolos, significa que temos, mas também e para cada k fixo . Tendo em vista a definição do símbolo, a última equação significa na pequena notação o , ou seja, é muito menor que${\ displaystyle f \ sim g_ {1},}$${\ displaystyle f-g_ {1} \ sim g_ {2}}$${\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-1} \ sim g_ {k}}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k}) = o (g_ {k})}$${\ displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k})}$${\ displaystyle g_ {k}.}$

A relação assume todo o seu significado se para todo k , o que significa a forma de uma escala assintótica . Nesse caso, alguns autores podem escrever abusivamente para denotar a declaração. Deve-se, no entanto, ter cuidado para que este não seja um uso padrão do símbolo e que não corresponda à definição dada na § Definição . ${\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-1} \ sim g_ {k}}$${\ displaystyle g_ {k + 1} = o (g_ {k})}$${\ displaystyle g_ {k}}$${\ displaystyle f \ sim g_ {1} + \ cdots + g_ {k}}$${\ displaystyle f- (g_ {1} + \ cdots + g_ {k}) = o (g_ {k}).}$${\ displaystyle \ sim}$

Na situação atual, essa relação realmente decorre da combinação das etapas k e k −1; subtraindo de um obtém isto é${\ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1})}$${\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-2} = g_ {k-1} + o (g_ {k-1})}$${\ displaystyle f-g_ {1} - \ cdots -g_ {k-2} -g_ {k-1} = g_ {k} + o (g_ {k}),}$${\ displaystyle g_ {k} + o (g_ {k}) = o (g_ {k-1}),}$${\ displaystyle g_ {k} = o (g_ {k-1}).}$

No caso de a expansão assintótica não convergir, para qualquer valor particular do argumento haverá uma soma parcial particular que fornece a melhor aproximação e adicionar termos adicionais diminuirá a precisão. Essa soma parcial ótima geralmente terá mais termos à medida que o argumento se aproxima do valor limite.

Exemplos de expansões assintóticas

• Função gama

${\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x }} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ to \ infty)}$

• Integral exponencial

${\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n }}} \ (x \ a \ infty)}$

• Função de erro

${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (x) \ sim 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {n! (2x ^ {2}) ^ {n}}} \ (x \ a \ infty)}$

onde (2 n  - 1) !! é o duplo fatorial .

Exemplo trabalhado

As expansões assintóticas freqüentemente ocorrem quando uma série ordinária é usada em uma expressão formal que força a obtenção de valores fora de seu domínio de convergência. Por exemplo, podemos começar com a série normal

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-w}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} w ^ {n}}$

A expressão à esquerda é válida em todo o plano complexo , enquanto o lado direito converge apenas para . Multiplicando e integrando ambos os lados produz ${\ displaystyle w \ neq 1}$${\ displaystyle | w | <1}$${\ displaystyle e ^ {- w / t}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {w} {t}}}} {1-w}} \, dw = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ {n} \, du}$

A integral do lado esquerdo pode ser expressa em termos da integral exponencial . A integral do lado direito, após a substituição , pode ser reconhecida como a função gama . Avaliando ambos, obtém-se a expansão assintótica ${\ displaystyle u = w / t}$

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {t}}} \ operatorname {Ei} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} n! \; t ^ {n + 1}}$

Aqui, o lado direito claramente não é convergente para qualquer valor diferente de zero de t . No entanto, mantendo t pequeno e truncando a série à direita para um número finito de termos, pode-se obter uma boa aproximação do valor de . Substituir e observar isso resulta na expansão assintótica apresentada anteriormente neste artigo. ${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (1 / t)}$${\ displaystyle x = -1 / t}$${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$

Distribuição assintótica

Em estatística matemática , uma distribuição assintótica é uma distribuição hipotética que é, em certo sentido, a distribuição "limitante" de uma sequência de distribuições. Uma distribuição é um conjunto ordenado de variáveis ​​aleatórias Z _i para i = 1, ..., n , para algum inteiro positivo n . Uma distribuição assintótica permite que i varie sem limites, ou seja, n é infinito.

Um caso especial de distribuição assintótica é quando as entradas tardias vão para zero - isto é, o Z _i vai para 0 quando i vai para o infinito. Alguns exemplos de "distribuição assintótica" referem-se apenas a este caso especial.

Isso se baseia na noção de uma função assintótica que se aproxima claramente de um valor constante (a assíntota ) conforme a variável independente vai para o infinito; "limpo" neste sentido significa que para qualquer proximidade desejada épsilon há algum valor da variável independente após o qual a função nunca difere da constante em mais do que épsilon.

Uma assíntota é uma linha reta que uma curva se aproxima, mas nunca encontra ou cruza. Informalmente, pode-se falar que a curva encontra a assíntota "no infinito", embora esta não seja uma definição precisa. Na equação, y torna-se arbitrariamente pequeno em magnitude à medida que x aumenta. ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}},}$

Formulários

A análise assintótica é usada em várias ciências matemáticas . Em estatística , a teoria assintótica fornece aproximações limitantes da distribuição de probabilidade das estatísticas da amostra , como a estatística da razão de verossimilhança e o valor esperado do desvio . A teoria assintótica não fornece um método de avaliação das distribuições de amostra finita de estatísticas de amostra, no entanto. Limites não assintóticos são fornecidos por métodos da teoria de aproximação .

Exemplos de aplicativos são os seguintes.

• Em matemática aplicada , a análise assintótica é usada para construir métodos numéricos para aproximar soluções de equações .
• Na estatística matemática e na teoria da probabilidade , a assintótica é usada na análise do comportamento de longo prazo ou de amostra grande de variáveis ​​aleatórias e estimadores.
• Na ciência da computação na análise de algoritmos , considerando o desempenho de algoritmos.
• O comportamento de sistemas físicos , um exemplo sendo a mecânica estatística .
• Na análise de acidentes ao identificar a causa do acidente por meio de modelagem de contagem com grande número de contagens de acidentes em um determinado tempo e espaço.

A análise assintótica é uma ferramenta chave para explorar as equações diferenciais ordinárias e parciais que surgem na modelagem matemática de fenômenos do mundo real. Um exemplo ilustrativo é a derivação das equações da camada limite a partir das equações completas de Navier-Stokes que regem o fluxo de fluido. Em muitos casos, a expansão assintótica está em poder de um pequeno parâmetro, ε : no caso da camada limite, esta é a razão não dimensional da espessura da camada limite para uma escala de comprimento típica do problema. De fato, as aplicações da análise assintótica na modelagem matemática freqüentemente giram em torno de um parâmetro não dimensional que foi mostrado, ou assumido, ser pequeno por meio de uma consideração das escalas do problema em questão.

Expansões Assintóticos tipicamente surgem na aproximação de certos integrais ( método de Laplace , método de ponto de sela , método de descida mais íngreme ) ou na aproximação das distribuições de probabilidade ( série Edgeworth ). Os gráficos de Feynman na teoria quântica de campos são outro exemplo de expansões assintóticas que frequentemente não convergem.

Veja também

Notas

Referências

• Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn, NG (1981), Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications , ISBN 9780486642215
• Estrada, R .; Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• Miller, PD (2006), Applied Asymptotic Analysis , American Mathematical Society , ISBN 9780821840788
• Murray, JD (1984), Asymptotic Analysis , Springer, ISBN 9781461211228
• Paris, RB; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press

links externos

• Asymptotic Analysis  —página inicial da revista, que é publicada pela IOS Press
• Um artigo sobre análise de séries temporais usando distribuição assintótica