Fator de empacotamento atômico - Atomic packing factor

Na cristalografia , fator de empacotamento atômico (APF) , eficiência de empacotamento ou fração de empacotamento é a fração do volume em uma estrutura cristalina que é ocupada por partículas constituintes. É uma quantidade adimensional e sempre menor que a unidade. Em sistemas atômicos , por convenção, o APF é determinado assumindo que os átomos são esferas rígidas. O raio das esferas é considerado o valor máximo para que os átomos não se sobreponham. Para cristais de um componente (aqueles que contêm apenas um tipo de partícula), a fração de empacotamento é representada matematicamente por

${\ displaystyle \ mathrm {APF} = {\ frac {N _ {\ mathrm {partícula}} V _ {\ mathrm {partícula}}} {V _ {\ text {célula unitária}}}}}$

onde N _partícula é o número de partículas na célula unitária, V _partícula é o volume de cada partícula e V _{célula unitária} é o volume ocupado pela célula unitária. Pode ser provado matematicamente que para estruturas de um componente, o arranjo mais denso de átomos tem um APF de cerca de 0,74 (ver conjectura de Kepler ), obtido pelas estruturas compactadas . Para estruturas de múltiplos componentes (como ligas intersticiais), o APF pode exceder 0,74.

O fator de empacotamento atômico de uma célula unitária é relevante para o estudo da ciência dos materiais , onde explica muitas propriedades dos materiais. Por exemplo, metais com um fator de empacotamento atômico alto terão uma maior "trabalhabilidade" (maleabilidade ou ductilidade ), semelhante a como uma estrada é mais lisa quando as pedras estão mais próximas, permitindo que átomos de metal deslizem uns pelos outros com mais facilidade.

Estruturas de cristal de componente único

Os pacotes de esferas comuns assumidos por sistemas atômicos estão listados abaixo com sua fração de embalagem correspondente.

• Empacotado hexagonal fechado (HCP): 0,74
• Cúbico centrado na face (FCC): 0,74 (também chamado de cúbico compactado, CCP)
• Cúbico centrado no corpo (BCC): 0,68
• Cúbico simples : 0,52
• Cúbico de diamante : 0,34

A maioria dos metais assume a estrutura HCP, FCC ou BCC.

Cúbico simples

Para um empacotamento cúbico simples, o número de átomos por célula unitária é um. O lado da célula unitária tem comprimento 2 r , onde r é o raio do átomo.

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {APF} & = {\ frac {N _ {\ mathrm {átomos}} V _ {\ mathrm {átomo}}} {V _ {\ text {célula unitária}}}} = {\ frac {1 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {\ left (2r \ right) ^ {3}}} \\ [10pt] & = {\ frac { \ pi} {6}} \ aproximadamente 0,5236 \ end {alinhado}}}$

Cúbico centrado no rosto

Para uma célula unitária cúbica centrada na face, o número de átomos é quatro. Uma linha pode ser desenhada do canto superior de um cubo diagonalmente até o canto inferior do mesmo lado do cubo, que é igual a 4 r . Usando a geometria e o comprimento lateral, a pode ser relacionado com r como:

${\ displaystyle a = {2r} {\ sqrt {2}} \,}$

Sabendo disso e da fórmula para o volume de uma esfera , torna-se possível calcular o APF da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {APF} & = {\ frac {N _ {\ mathrm {átomos}} V _ {\ mathrm {átomo}}} {V _ {\ text {célula unitária}}}} = {\ frac {4 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {\ left ({2r {\ sqrt {2}}} \ right) ^ {3}}} \\ [10pt] & = {\ frac {\ pi {\ sqrt {2}}} {6}} \ aproximadamente 0,740 \, 48048 \. \ End {alinhado}}}$

Cúbico centrado no corpo

A célula unitária primitiva da estrutura de cristal cúbico centrado no corpo contém várias frações retiradas de nove átomos (se as partículas no cristal forem átomos): uma em cada canto do cubo e um átomo no centro. Como o volume de cada um dos oito átomos de canto é compartilhado entre oito células adjacentes, cada célula BCC contém o volume equivalente de dois átomos (um central e um no canto).

Cada átomo de canto toca o átomo central. Uma linha que é traçada de um canto do cubo passando pelo centro e até o outro canto passa por 4 r , onde r é o raio de um átomo. Por geometria, o comprimento da diagonal é uma √ 3 . Portanto, o comprimento de cada lado da estrutura BCC pode ser relacionado ao raio do átomo por

${\ displaystyle a = {\ frac {4r} {\ sqrt {3}}} \ ,.}$

Sabendo disso e da fórmula para o volume de uma esfera , torna-se possível calcular o APF da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {APF} & = {\ frac {N _ {\ mathrm {átomos}} V _ {\ mathrm {átomo}}} {V _ {\ text {célula unitária}}}} = {\ frac {2 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {\ left ({\ frac {4r} {\ sqrt {3}}} \ right) ^ {3} }} \\ [10pt] & = {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {8}} \ aproximadamente 0,680 \, 174 \, 762 \,. \ End {alinhado}}}$

Hexagonal fechado

Para a estrutura hexagonal compactada , a derivação é semelhante. Aqui, a célula unitária (equivalente a 3 células unitárias primitivas) é um prisma hexagonal contendo seis átomos (se as partículas no cristal forem átomos). Na verdade, três são os átomos da camada intermediária (dentro do prisma); além disso, para as camadas superior e inferior (nas bases do prisma), o átomo central é compartilhado com a célula adjacente, e cada um dos seis átomos nos vértices é compartilhado com outras cinco células adjacentes. Portanto, o número total de átomos na célula é 3 + (1/2) × 2 + (1/6) × 6 × 2 = 6. Cada átomo toca outros doze átomos. Agora seja o comprimento lateral da base do prisma e sua altura. Este último tem o dobro da distância entre as camadas adjacentes, ou seja , duas vezes a altura do tetraedro regular cujos vértices são ocupados por (digamos) o átomo central da camada inferior, dois átomos não centrais adjacentes da mesma camada e um átomo de a camada do meio "descansando" nas três anteriores. Obviamente, a borda desse tetraedro é . Se , então, sua altura pode ser facilmente calculada como sendo , e, portanto ,. Portanto, o volume da célula unitária hcp acaba sendo (3/2) √ 3 , ou seja, 24 √ 2 . ${\ displaystyle a \}$${\ displaystyle c \}$${\ displaystyle a \}$${\ displaystyle a = 2r \}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {8} {3}}} a \}$${\ displaystyle c = 4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} r \}$ ${\ displaystyle a ^ {2} c \}$ ${\ displaystyle r ^ {3} \}$

É então possível calcular o APF da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {APF} & = {\ frac {N _ {\ mathrm {átomos}} V _ {\ mathrm {átomo}}} {V _ {\ text {célula unitária}}}} = {\ frac {6 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {{\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2} c} } \\ [10pt] & = {\ frac {6 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {{\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2} } (2r) ^ {2} {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ cdot 4r}} = {\ frac {6 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ { 3}} {{\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ cdot 16r ^ {3}}} \\ [10pt] & = {\ frac {\ pi} {\ sqrt {18}}} = {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ aproximadamente 0,740 \, 480 \, 48 \,. \ end { alinhado}}}$

Veja também

• Cristal
• Densidade de embalagem
• Sistema de cristal cúbico
• Diamante cúbico
• Limiar de percolação

Referências

Leitura adicional

• Schaffer; Saxena; Antolovich; Sanders; Warner (1999). The Science and Design of Engineering Materials (2ª ed.). New York, NY: WCB / McGraw-Hill. pp. 81–88. ISBN 978-0256247664.
• Callister, W. (2002). Ciência e Engenharia de Materiais (6ª ed.). São Francisco, CA: John Wiley and Sons. pp.  105-114 . ISBN 978-0471135760.