Unidades atômicas Hartree - Hartree atomic units

As unidades atômicas Hartree são um sistema de unidades naturais de medida que é especialmente conveniente para cálculos de física atômica e química computacional . Eles foram nomeados em homenagem ao físico Douglas Hartree . Neste sistema, os valores numéricos das seguintes quatro constantes físicas fundamentais são todos unitários por definição:

• Reduzida constante de Planck : , também conhecida como a unidade atómica de acção${\ displaystyle \ hbar = 1}$
• Carga elementar : , também conhecida como a unidade atômica de carga${\ displaystyle e = 1}$
• Bohr raio : , também conhecida como a unidade de comprimento atómico${\ displaystyle a_ {0} = 1}$
• Massa do elétron : , também conhecida como a unidade atômica de massa${\ displaystyle m _ {\ text {e}} = 1}$

Em unidades atômicas Hartree, a velocidade da luz é de aproximadamente137,036 unidades atômicas de velocidade. As unidades atômicas são freqüentemente abreviadas como "au" ou "au", não devem ser confundidas com a mesma abreviatura usada também para unidades astronômicas , unidades arbitrárias e unidades de absorbância em outros contextos.

Definindo constantes

Cada unidade neste sistema pode ser expressa como um produto de potências de quatro constantes físicas sem uma constante de multiplicação. Isso o torna um sistema coerente de unidades , bem como torna os valores numéricos das constantes definidoras em unidades atômicas iguais à unidade.

Definindo constantes

Nome	Símbolo	Valor em unidades SI
constante de Planck reduzida	${\ displaystyle \ hbar}$	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s
carga elementar	${\ displaystyle e}$	1,602 176 634 × 10 −19  C
Raio de Bohr	${\ displaystyle a_ {0}}$	5,291 772 109 03 (80) × 10 −11  m
massa de repouso de elétron	${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$	9,109 383 7015 (28) × 10 −31  kg

Observe que após a redefinição de 2019 das unidades de base do SI, a constante de Planck é definida exatamente nas unidades do SI como${\ displaystyle h}$6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ e, portanto, embora a constante de Planck reduzida seja exata, também é irracional em unidades do SI . A carga do elétron também é exata. ${\ displaystyle \ hbar = h / 2 \ pi}$${\ displaystyle e}$

Cinco símbolos são comumente usados ​​como unidades neste sistema, apenas quatro deles sendo independentes:

Constantes usadas como unidades

Dimensão	Símbolo	Definição
açao	${\ displaystyle \ hbar}$	${\ displaystyle \ hbar}$
carga elétrica	${\ displaystyle e}$	${\ displaystyle e}$
comprimento	${\ displaystyle a_ {0}}$	${\ displaystyle 4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar ^ {2} / (m _ {\ text {e}} e ^ {2})}$
massa	${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$	${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$
energia	${\ displaystyle E _ {\ text {h}}}$	${\ displaystyle \ hbar ^ {2} / (m _ {\ text {e}} a_ {0} ^ {2})}$

Unidades

Abaixo estão as unidades listadas que podem ser derivadas no sistema. Alguns recebem nomes, conforme indicado na tabela.

Unidades atômicas derivadas

Unidade atômica de	Nome	Expressão	Valor em unidades SI	Outros equivalentes
1ª hiperpolarizabilidade		${\ displaystyle e ^ {3} a_ {0} ^ {3} / E _ {\ text {h}} ^ {2}}$	3,206 361 3061 (15) × 10 −53  C 3 ⋅m 3 ⋅J −2
2ª hiperpolarizabilidade		${\ displaystyle e ^ {4} a_ {0} ^ {4} / E _ {\ text {h}} ^ {3}}$	6,235 379 9905 (38) × 10 −65  C 4 ⋅m 4 ⋅J −3
açao		${\ displaystyle \ hbar}$	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s
cobrar		${\ displaystyle e}$	1,602 176 634 × 10 −19  C
densidade de carga		${\ displaystyle e / a_ {0} ^ {3}}$	1.081 202 384 57 (49) × 10 12  C · m −3
atual		${\ displaystyle eE _ {\ text {h}} / \ hbar}$	6,623 618 237 510 (13) × 10 −3  A
momento dipolo elétrico		${\ displaystyle ea_ {0}}$	8,478 353 6255 (13) × 10 −30  C · m	≘ 2,541 746 473  D
campo elétrico		${\ displaystyle E _ {\ text {h}} / (ea_ {0})}$	5,142 206 747 63 (78) × 10 11  V · m −1	5,142 206 747 63 (78) GV · cm -1 ,51,422 067 4763 (78) V · Å −1
gradiente de campo elétrico		${\ displaystyle E _ {\ text {h}} / (ea_ {0} ^ {2})}$	9,717 362 4292 (29) × 10 21  V · m −2
polarizabilidade elétrica		${\ displaystyle e ^ {2} a_ {0} ^ {2} / E _ {\ text {h}}}$	1,648 777 274 36 (50) × 10 −41  C 2 ⋅m 2 ⋅J −1
potencial elétrico		${\ displaystyle E _ {\ text {h}} / e}$	27,211 386 245 988 (53) V
momento quadrupolo elétrico		${\ displaystyle ea_ {0} ^ {2}}$	4,486 551 5246 (14) × 10 −40  C · m 2
energia	Hartree	${\ displaystyle E _ {\ text {h}}}$	4,359 744 722 2071 (85) × 10 −18  J	${\ displaystyle 2R _ {\ infty} hc}$, ,${\ displaystyle \ alpha ^ {2} m _ {\ text {e}} c ^ {2}}$27,211 386 245 988 (53)  eV
força		${\ displaystyle E _ {\ text {h}} / a_ {0}}$	8,238 723 4983 (12) × 10 −8  N	82,387 nN ,51,421 eV · Å −1
comprimento	Bohr	${\ displaystyle a_ {0}}$	5,291 772 109 03 (80) × 10 −11  m	${\ displaystyle \ hbar / (m _ {\ text {e}} c \ alpha)}$, 0,529 177 210 903 (80)  Å
momento dipolo magnético		${\ displaystyle e \ hbar / m _ {\ text {e}}}$	1,854 802 015 66 (56) × 10 −23  J⋅T −1	${\ displaystyle 2 \ mu _ {\ text {B}}}$
densidade do fluxo magnético		${\ displaystyle \ hbar / (ea_ {0} ^ {2})}$	2.350 517 567 58 (71) × 10 5  T	≘ 2.350 517 567 58 (71) × 10 9  G
magnetizabilidade		${\ displaystyle e ^ {2} a_ {0} ^ {2} / m _ {\ text {e}}}$	7,891 036 6008 (48) × 10 −29  J⋅T −2
massa		${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$	9,109 383 7015 (28) × 10 −31  kg
impulso		${\ displaystyle \ hbar / a_ {0}}$	1.992 851 914 10 (30) × 10 −24  kg · m · s −1
permissividade		${\ displaystyle e ^ {2} / (a_ {0} E _ {\ text {h}})}$	1,112 650 055 45 (17) × 10 −10  F⋅m −1	${\ displaystyle 4 \ pi \ epsilon _ {0}}$
pressão		${\ displaystyle E _ {\ text {h}} / {a_ {0}} ^ {3}}$	2,942 101 5697 (13) × 10 13  Pa
irradiância		${\ displaystyle E _ {\ text {h}} ^ {2} / \ hbar {a_ {0}} ^ {2}}$	6,436 409 9007 (19) × 10 19  W⋅m −2
Tempo		${\ displaystyle \ hbar / E _ {\ text {h}}}$	2,418 884 326 5857 (47) × 10 −17  s
velocidade		${\ displaystyle a_ {0} E _ {\ text {h}} / \ hbar}$	2,187 691 263 64 (33) × 10 6  m · s −1	${\ displaystyle \ alpha c}$

Aqui,

${\ displaystyle c}$é a velocidade da luz

${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$é a permissividade do vácuo

${\ displaystyle R _ {\ infty}}$é a constante de Rydberg

${\ displaystyle h}$é a constante de Planck

${\ displaystyle \ alpha}$é a constante de estrutura fina

${\ displaystyle \ mu _ {\ text {B}}}$é o magneto Bohr

≘ denota correspondência entre quantidades, uma vez que a igualdade não se aplica.

Uso e notação

As unidades atômicas, como as unidades do SI , têm uma unidade de massa, uma unidade de comprimento e assim por diante. No entanto, o uso e a notação são um pouco diferentes do SI.

Suponha que uma partícula com massa m tenha 3,4 vezes a massa do elétron. O valor de m pode ser escrito de três maneiras:

• " ". Esta é a notação mais clara (mas menos comum), onde a unidade atômica é incluída explicitamente como um símbolo.${\ displaystyle m = 3,4 ~ m _ {\ text {e}}}$
• " " ("au" significa "expresso em unidades atômicas"). Essa notação é ambígua: aqui, significa que a massa m é 3,4 vezes a unidade atômica de massa. Mas se um comprimento L fosse 3,4 vezes a unidade atômica de comprimento, a equação teria a mesma aparência, " " A dimensão deve ser inferida do contexto.${\ displaystyle m = 3,4 ~ {\ text {au}}}$${\ displaystyle L = 3.4 ~ {\ text {au}}}$
• " ". Esta notação é semelhante à anterior e possui a mesma ambigüidade dimensional. Ele vem de definir formalmente as unidades atômicas para 1, neste caso , então .${\ displaystyle m = 3,4}$${\ displaystyle m _ {\ text {e}} = 1}$${\ displaystyle 3,4 ~ m _ {\ text {e}} = 3,4}$

Constantes físicas

As constantes físicas adimensionais retêm seus valores em qualquer sistema de unidades. Digno de nota é a constante de estrutura fina , que aparece nas expressões como consequência da escolha das unidades. Por exemplo, o valor numérico da velocidade da luz , expresso em unidades atômicas, tem um valor relacionado à constante de estrutura fina. ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {e ^ {2}} {(4 \ pi \ epsilon _ {0}) \ hbar c}} \ approx 1/137}$

Algumas constantes físicas expressas em unidades atômicas

Nome	Símbolo / Definição	Valor em unidades atômicas
velocidade da luz	${\ displaystyle c}$	${\ displaystyle (1 / \ alpha) \, a_ {0} E _ {\ text {h}} / \ hbar \ approx 137 \, a_ {0} E _ {\ text {h}} / \ hbar}$
raio de elétron clássico	${\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {e ^ {2}} {m _ {\ mathrm {e}} c ^ {2}}}}$	${\ displaystyle \ alpha ^ {2} \, a_ {0} \ approx 0,0000532 \, a_ {0}}$
comprimento de onda de Compton reduzido do elétron	ƛ e ${\ displaystyle = {\ frac {\ hbar} {m _ {\ text {e}} c}}}$	${\ displaystyle \ alpha \, a_ {0} \ approx 0,007297 \, a_ {0}}$
Raio de Bohr	${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {m _ {\ text {e}} e ^ {2}}}}$	${\ displaystyle 1 \, a_ {0}}$
massa de próton	${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}}}$	${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} \ approx 1836 \, m _ {\ text {e}}}$

Modelo de Bohr em unidades atômicas

As unidades atômicas são escolhidas para refletir as propriedades dos elétrons nos átomos. Isso é particularmente claro no modelo clássico de Bohr do átomo de hidrogênio em seu estado fundamental . O elétron do estado fundamental orbitando o núcleo de hidrogênio tem (no modelo clássico de Bohr):

• Massa = 1 au de massa
• Raio orbital = 1 au de comprimento
• Velocidade orbital = 1 au de velocidade
• Período orbital = 2 π au de tempo
• Velocidade angular orbital = 1 radiano por au de tempo
• Orbital momento angular = 1 au de impulso
• Energia de ionização = 1/2 au de energia
• Campo elétrico (devido ao núcleo) = 1 au de campo elétrico
• Força de atração elétrica (devido ao núcleo) = 1 au de força

Mecânica quântica não relativística em unidades atômicas

A equação de Schrödinger para um elétron em unidades SI é

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m _ {\ text {e}}}} \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {r}, t) + V (\ mathbf {r }) \ psi (\ mathbf {r}, t) = i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} (\ mathbf {r}, t)}$.

A mesma equação em unidades atômicas é

${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {r}, t) + V (\ mathbf {r}) \ psi (\ mathbf {r}, t ) = i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} (\ mathbf {r}, t)}$.

Para o caso especial do elétron em torno de um átomo de hidrogênio, o Hamiltoniano em unidades do SI é:

${\ displaystyle {\ hat {H}} = - {{{\ hbar ^ {2}} \ over {2m _ {\ text {e}}}} \ nabla ^ {2}} - {1 \ over {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {{e ^ {2}} \ over {r}}}$,

enquanto as unidades atômicas transformam a equação anterior em

${\ displaystyle {\ hat {H}} = - {{{1} \ over {2}} \ nabla ^ {2}} - {{1} \ over {r}}}$.

Comparação com unidades Planck

Tanto as unidades de Planck quanto as unidades atômicas são derivadas de certas propriedades fundamentais do mundo físico e têm pouca arbitrariedade antropocêntrica , mas ainda envolvem algumas escolhas arbitrárias em termos das constantes definidoras. As unidades atômicas foram projetadas para cálculos em escala atômica no universo atual, enquanto as unidades de Planck são mais adequadas para a gravidade quântica e a cosmologia do universo inicial . Ambas as unidades atômicas e unidades de Planck normalizam a constante de Planck reduzida . Além disso, as unidades de Planck normalizam para 1 as duas constantes fundamentais da relatividade geral e da cosmologia: a constante gravitacional e a velocidade da luz no vácuo ,. As unidades atômicas, por outro lado, normalizam para 1 a massa e a carga do elétron e, como resultado, a velocidade da luz em unidades atômicas é um valor alto ,. A velocidade orbital de um elétron em torno de um pequeno átomo é da ordem de 1 em unidades atômicas, então a discrepância entre as unidades de velocidade nos dois sistemas reflete o fato de que os elétrons orbitam pequenos átomos em cerca de 2 ordens de magnitude mais lentamente do que a velocidade de luz. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle 1 / \ alpha \ approx 137}$

Existem diferenças muito maiores para algumas outras unidades. Por exemplo, a unidade de massa em unidades atômicas é a massa de um elétron, enquanto a unidade de massa em unidades de Planck é a massa de Planck , uma massa tão grande que se uma única partícula tivesse tanta massa poderia colapsar em um buraco negro . A unidade de massa de Planck é 22 ordens de magnitude maior do que a unidade atômica de massa. Da mesma forma, há muitas ordens de magnitude separando as unidades de energia e comprimento de Planck das unidades atômicas correspondentes.

Veja também

• Unidades naturais
• Unidades Planck
• Várias extensões do sistema CGS para eletromagnetismo

Notas e referências

• Shull, H .; Hall, GG (1959). "Unidades Atômicas". Nature . 184 (4698): 1559. bibcode : 1959Natur.184.1559S . doi : 10.1038 / 1841559a0 . S2CID  23692353 .

links externos

• Valores recomendados internacionalmente pela CODATA das Constantes Físicas Fundamentais.