Grupo de automorfismo - Automorphism group

Em matemática , o grupo automorphism de um objecto X é o grupo que consiste em automorphisms de X . Por exemplo, se X é um espaço vetorial de dimensão finita , o grupo de automorfismo de X é o grupo de transformações lineares invertíveis de X para si mesmo (o grupo linear geral de X ). Se em vez X é um grupo, em seguida, o seu grupo automorphism é o grupo consistindo de todos os automorphisms grupo de X . ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X)}$

Especialmente em contextos geométricos, um grupo de automorfismo também é chamado de grupo de simetria . Um subgrupo de um grupo de automorfismo às vezes é chamado de grupo de transformação .

Os grupos de automorfismo são estudados de forma geral no campo da teoria das categorias .

Exemplos

Se X é um conjunto com nenhuma estrutura adicional, em seguida, qualquer bijeç~ao de X para si é um automorphism, e, portanto, o grupo de automorphism X neste caso é precisamente o grupo simétrico de X . Se o conjunto X tem a estrutura adicional, em seguida, pode ser o caso de que nem todos os bijeções sobre o conjunto preservar esta estrutura, caso em que o grupo automorphism será um subgrupo do grupo simétrico em X . Alguns exemplos incluem o seguinte:

O grupo automorphism de uma extensão de campo é o grupo consistindo de automorphisms campo de L que fixam K . Se a extensão do campo for Galois , o grupo de automorfismo é chamado de grupo Galois da extensão do campo. ${\ displaystyle L / K}$
O grupo de automorfismo do n- espaço projetivo sobre um campo k é o grupo linear projetivo ${\ displaystyle \ operatorname {PGL} _ {n} (k).}$
O grupo de automorfismo de um grupo cíclico finito de ordem n é isomorfo a com o isomorfismo dado por . Em particular, é um grupo abeliano . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle {\ overline {a}} \ mapsto \ sigma _ {a} \ in G, \, \ sigma _ {a} (x) = x ^ {a}}$ ${\ displaystyle G}$
O grupo de automorfismo de uma álgebra de Lie real de dimensão finita tem a estrutura de um grupo de Lie (real) (na verdade, é até um grupo algébrico linear : veja abaixo ). Se G é um grupo de Lie com álgebra de Lie , então o grupo de automorfismo de G tem uma estrutura de um grupo de Lie induzida daquele no grupo de automorfismo de . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Se L é um grupo agindo sobre um conjunto X , a acção eleva-se a um homomorphism grupo de G ao grupo automorphism de X corresponde a uma acção de grupo em X . De fato, cada ação G esquerda em um conjunto X determina e, inversamente, cada homomorfismo define uma ação por . Isso se estende ao caso em que o conjunto X tem mais estrutura do que apenas um conjunto. Por exemplo, se X é um espaço vetorial, então uma ação de grupo de G em X é uma representação de grupo do grupo G , representando G como um grupo de transformações lineares (automorfismos) de X ; essas representações são o principal objeto de estudo no campo da teoria das representações . ${\ displaystyle G \ to \ operatorname {Aut} (X), \, g \ mapsto \ sigma _ {g}, \, \ sigma _ {g} (x) = g \ cdot x}$ ${\ displaystyle \ varphi: G \ to \ operatorname {Aut} (X)}$ ${\ displaystyle g \ cdot x = \ varphi (g) x}$

Aqui estão alguns outros fatos sobre grupos de automorfismo:

Sejam dois conjuntos finitos da mesma cardinalidade e o conjunto de todas as bijeções . Então , que é um grupo simétrico (veja acima), atua da esquerda livre e transitivamente ; ou seja, é um torsor para (cf. # Na teoria das categorias ). ${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle A \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$
Vamos P ser um número finito gerado módulo projectiva ao longo de um anel R . Depois, há uma incorporação , única até os automorfismos internos . ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (P) \ hookrightarrow \ operatorname {GL} _ {n} (R)}$

Na teoria da categoria

Os grupos de automorfismo aparecem muito naturalmente na teoria das categorias .

Se X for um objeto em uma categoria, então o grupo de automorfismo de X é o grupo que consiste em todos os morfismos invertíveis de X para ele mesmo. É o grupo de unidades da monóide endomorfismo de X . (Para alguns exemplos, consulte PROP .)

Se são objetos em alguma categoria, então o conjunto de tudo é uma esquerda - torsor . Em termos práticos, isso significa que uma escolha diferente de um ponto base de difere inequivocamente por um elemento de , ou que cada escolha de um ponto base é precisamente uma escolha de uma trivialização do torsor. ${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle A \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Iso} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (B)}$

Se e são objetos em categorias e , e se é um mapeamento de functor para , então induz um homomorfismo de grupo , pois mapeia morfismos invertíveis em morfismos invertíveis. ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ ${\ displaystyle F: C_ {1} \ a C_ {2}}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X_ {1}) \ to \ operatorname {Aut} (X_ {2})}$

Em particular, se G é um grupo visto como uma categoria com um único objeto * ou, mais geralmente, se G é um grupóide, então cada functor , C uma categoria, é chamado de ação ou representação de G no objeto , ou os objetos . Esses objetos são então chamados de -objetos (já que são atuados por ); cf. -objeto . Se for uma categoria de módulo como a categoria de espaços vetoriais de dimensão finita, então -objetos também são chamados de -módulos. ${\ displaystyle G \ a C}$ ${\ displaystyle F (*)}$ ${\ displaystyle F (\ operatorname {Obj} (G))}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

Funtor de grupo de automorfismo

Seja um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo k equipado com alguma estrutura algébrica (ou seja, M é uma álgebra de dimensão finita sobre k ). Pode ser, por exemplo, uma álgebra associativa ou uma álgebra de Lie . ${\ displaystyle M}$

Agora, considere os mapas k - lineares que preservam a estrutura algébrica: eles formam um subespaço vetorial de . O grupo de unidades de é o grupo de automorfismo . Quando uma base em M é escolhida, é o espaço de matrizes quadradas e é o conjunto zero de algumas equações polinomiais , e a invertibilidade é novamente descrita por polinômios. Portanto, é um grupo algébrico linear sobre k . ${\ displaystyle M \ a M}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$

Agora, as extensões de base aplicadas à discussão acima determinam um functor: a saber, para cada anel comutativo R sobre k , considere os mapas R- lineares preservando a estrutura algébrica: denote-o por . Então, o grupo de unidades do anel da matriz sobre R é o grupo de automorfismo e é um functor de grupo : um functor da categoria de anéis comutativos sobre k para a categoria de grupos . Melhor ainda, é representado por um esquema (já que os grupos de automorfismo são definidos por polinômios): esse esquema é chamado de esquema de grupo de automorfismo e é denotado por . ${\ displaystyle M \ otimes R \ to M \ otimes R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {\ text {alg}} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle R \ mapsto \ operatorname {Aut} (M \ otimes R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$