Axioma de construtibilidade - Axiom of constructibility

O axioma de construtibilidade é uma possível axioma para a teoria dos conjuntos em matemática que afirma que cada conjunto é constructible . O axioma é normalmente escrito como V = L , em que V e L denota o von Neumann universo e o universo construtıvel , respectivamente. O axioma, primeiro investigada por Kurt Gödel , é incompatível com a ideia de que de zero afiado existe mais fortes e axiomas grande cardinais (ver lista de grandes propriedades cardinais ). Generalizações deste axioma são exploradas em teoria do modelo interno .

Implicações

O axioma de construtibilidade implica o axioma da escolha sobre Zermelo-Fraenkel . Ele também resolve muitas questões naturais matemáticos que são independentes da Zermelo-Fraenkel com o axioma de escolha (ZFC); por exemplo, o axioma de construtibilidade implica a hipótese generalizada contínuo , a negação da hipótese de Suslin , e a existência de uma analítica (na verdade, ) não mensurável conjunto dos números reais, os quais são independentes da ZFC. ${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ {1}}$

O axioma da construtibilidade implica a não existência destas grandes cardeais com força consistência maior ou igual a 0 # , que inclui algumas pequenas "relativamente grandes" cardeais. Assim, não pode ser co cardinal ₁ - Erdős em L . Enquanto G contém os ordinais iniciais dessas grandes cardeais (quando elas existem em uma modelo de G ), e eles são ainda ordinais iniciais em L , que exclui as estruturas auxiliares (por exemplo, medidas ) que dotam essas cardeais com as suas grandes propriedades cardinais.

Embora o axioma de construtibilidade não resolver muitas questões de set-teórica, não é geralmente aceita como um axioma para a teoria dos conjuntos da mesma forma como os axiomas ZFC. Entre os teóricos definidos de uma determinada realista dobrado, que acreditam que o axioma de construtibilidade é verdadeiro ou falso, a maioria acredita que ela é falsa. Isto é em parte porque parece desnecessariamente "restritiva", pois permite que apenas certos subconjuntos de um dado conjunto, sem nenhuma razão clara para acreditar que estes são todos eles. Em parte é porque o axioma é contrariada pela suficientemente fortes axiomas cardeais grandes . Este ponto de vista é especialmente associada com a Cabal , ou a "escola da Califórnia", como Saharon Selá teria.

Significado

A grande importância do axioma de construtibilidade está em Kurt Gödel prova da relação de consistência do axioma da escolha e da hipótese do continuum generalizada de Von Neumann-Bernays-Gödel teoria dos conjuntos . (A prova transporta para Zermelo-Fraenkel , que tornou-se mais prevalente nos últimos anos.)

Ou seja Gödel provou que é relativamente consistente, (ou seja, a teoria dos conjuntos seria inconsistente se pudesse provar ,) e que ${\ Displaystyle V = L}$ ${\ Displaystyle V \ L} neq$

{\ Displaystyle V = L \ implica AC \ GCH terra,}

estabelecendo assim que AC e GCH também são relativamente consistente.

A prova de Gödel foi complementada nos últimos anos por Paul Cohen resultado de que tanto AC e GCH são independentes , ou seja, que as negações destes axiomas ( e ) também são relativamente consistente para ZF teoria dos conjuntos. ${\ Displaystyle \ lnot AC}$ ${\ Displaystyle \ lnot GCH}$