Axioma da escolha contável - Axiom of countable choice

Cada conjunto na sequência contável de conjuntos (S i ) = S 1 , S 2 , S 3 , ... contém um número de elementos diferente de zero e possivelmente infinito (ou mesmo incontavelmente infinito ). O axioma da escolha contável nos permite selecionar arbitrariamente um único elemento de cada conjunto, formando uma sequência correspondente de elementos ( x i ) = x 1 , x 2 , x 3 , ...

O axioma da escolha contável ou axioma da escolha denumerable , denotado AC ω , é um axioma da teoria dos conjuntos que os estados que cada contável coleção de não-vazios sets deve ter uma função de escolha . Ou seja, dada uma função A com domínio N (onde N denota o conjunto de números naturais ) tal que A ( n ) é um conjunto não vazio para cada n  ∈  N , existe uma função f com domínio N tal que f ( n ) ∈  a ( n ) para cada n  ∈  N .

Visão geral

O axioma da escolha contável (AC ω ) é estritamente mais fraco do que o axioma da escolha dependente (DC), ( Jech 1973 ) que por sua vez é mais fraco do que o axioma da escolha (AC). Paul Cohen mostrou que AC ω não é demonstrável na teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZF) sem o axioma da escolha ( Potter 2004 ). AC ω é válido no modelo de Solovay .

ZF + AC ω é suficiente para provar que a união de muitos conjuntos contáveis ​​é contável. Também é suficiente provar que todo conjunto infinito é Dedekind-infinito (equivalentemente: tem um subconjunto infinito contável).

AC ω é particularmente útil para o desenvolvimento de análises , onde muitos resultados dependem de ter uma função de escolha para uma coleção contável de conjuntos de números reais . Por exemplo, para provar que todo ponto de acumulação x de um conjunto S  ⊆  R é o limite de alguma sequência de elementos de S  \ { x }, é necessário (uma forma fraca de) o axioma da escolha contável. Quando formulado para pontos de acumulação de espaços métricos arbitrários , o enunciado torna-se equivalente a AC ω . Para outras declarações equivalentes a AC ω , veja Herrlich (1997) e Howard & Rubin (1998) .

Um equívoco comum é que a escolha contável tem uma natureza indutiva e, portanto, pode ser demonstrada como um teorema (em ZF, ou similar, ou mesmo em sistemas mais fracos) por indução. No entanto, este não é o caso; esse equívoco é o resultado de confundir escolha contável com escolha finita para um conjunto finito de tamanho n (para n arbitrário ), e é este último resultado (que é um teorema elementar em combinatória) que pode ser demonstrado por indução. No entanto, pode-se provar que alguns conjuntos infinitos contáveis ​​de conjuntos não vazios têm uma função de escolha em ZF sem qualquer forma de axioma de escolha. Estes incluem V ω - {Ø} e o conjunto de intervalos abertos próprios e limitados de números reais com pontos finais racionais.

Usar

Como exemplo de uma aplicação de AC ω , aqui está uma prova (de ZF + AC ω ) de que todo conjunto infinito é Dedekind-infinito:

Seja X infinito. Para cada número natural n , deixar uma n ser o conjunto de todos os 2 n -element subconjuntos de X . Como X é infinito, cada A n não é vazio. A primeira aplicação de AC ω produz uma sequência ( B n  : n  = 0,1,2,3, ...) onde cada B n é um subconjunto de X com 2 n elementos.
Os conjuntos B n não são necessariamente disjuntos, mas podemos definir
C 0 = B 0
C n = a diferença entre B n e a união de todos C j , j  <  n .
Claramente, cada conjunto C n tem pelo menos 1 e no máximo 2 n elementos, e os conjuntos C n são disjuntos aos pares. A segunda aplicação de AC ω produz uma sequência ( c n : n  = 0,1,2, ...) com c n  ∈  C n .
Portanto, todos os c n são distintos e X contém um conjunto contável. A função que mapeia cada c n para c n +1 (e deixa todos os outros elementos de X fixos) é um mapa 1-1 de X para X que não é sobre, provando que X é Dedekind infinito.

Referências

  • Jech, Thomas J. (1973). O Axioma da Escolha . Holanda do Norte. pp. 130–131. ISBN   978-0-486-46624-8 .
  • Herrlich, Horst (1997). "Princípios de escolha em topologia e análise elementares" (PDF) . Comment.Math.Univ.Carolinae . 38 (3): 545.
  • Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). “Consequências do axioma da escolha” . Providence, RI . American Mathematical Society. ISBN   978-0-8218-0977-8 .
  • Potter, Michael (2004). Teoria dos conjuntos e sua filosofia: uma introdução crítica . Imprensa da Universidade de Oxford. p. 164. ISBN   9780191556432 .

Este artigo incorpora material do axioma de escolha contável no PlanetMath , que é licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .