Axioma da escolha dependente - Axiom of dependent choice
Em matemática , o axioma da escolha dependente , denotado por , é uma forma fraca do axioma da escolha ( ) que ainda é suficiente para desenvolver a maior parte da análise real . Foi introduzido por Paul Bernays em um artigo de 1942 que explora quais axiomas da teoria dos conjuntos são necessários para desenvolver a análise.
Declaração formal
A homogênea relação binária on é chamado inteira se para todo existe algum de tal forma que é verdade.
O princípio da escolha dependente pode ser declarado como segue: Para cada nonempty conjunto e toda toda relação binária on existe uma seqüência de tal forma que
- para todos
Se o conjunto acima é restrito a ser o conjunto de todos os números reais , então o axioma resultante é denotado por
Usar
Mesmo sem tal axioma, para qualquer um, pode-se usar a indução matemática comum para formar os primeiros termos de tal sequência. O axioma da escolha dependente diz que podemos formar uma sequência inteira (infinitamente contável) dessa maneira.
O axioma é o fragmento do que é necessário para mostrar a existência de uma sequência construída por recursão transfinita de comprimento contável , se é necessário fazer uma escolha em cada etapa e se alguma dessas escolhas não pode ser feita independentemente de escolhas anteriores.
Declarações equivalentes
Sobre a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , é equivalente ao teorema da categoria de Baire para espaços métricos completos.
Também é equivalente ao teorema de Löwenheim – Skolem .
também equivale à afirmação de que toda árvore podada com níveis tem um ramo ( prova abaixo ).
Além disso, é equivalente a uma forma enfraquecida do lema de Zorn ; é especificamente equivalente à afirmação de que qualquer ordem parcial, de modo que toda cadeia bem ordenada seja finita e limitada, deve ter um elemento máximo.
Prova de que toda árvore podada com níveis ω tem um galho |
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Let Ser uma relação binária inteira on . A estratégia é definir uma árvore sobre das sequências finitas cujos elementos vizinha satisfazer Então um ramo através de uma sequência infinita cujos elementos vizinha satisfazer começar por definir se para Uma vez que é inteira, é uma árvore podada com níveis. Assim, tem um ramo So, para tudo o que implica Portanto, é verdadeiro.
Deixe ser uma árvore podada com níveis. A estratégia é definir uma relação binária sobre de forma que produza uma sequência onde e seja uma função estritamente crescente . Então, a sequência infinita é um ramo. (Esta prova só precisa provar isso para ) Comece definindo se é uma subsequência inicial de e Como é uma árvore podada com níveis, é inteiro. Portanto, implica que há uma sequência infinita tal que Now for some Let seja o último elemento de Then For all a sequência pertence porque é uma subsequência inicial de ou é um Portanto, é um ramo. |
Relação com outros axiomas
Ao contrário do full , é insuficiente para provar (dado ) que existe um conjunto não mensurável de números reais, ou que existe um conjunto de números reais sem a propriedade de Baire ou sem a propriedade do conjunto perfeito . Isso ocorre porque o modelo de Solovay satisfaz , e cada conjunto de números reais neste modelo é Lebesgue mensurável, tem a propriedade Baire e tem a propriedade de conjunto perfeito.
O axioma da escolha dependente implica o axioma da escolha contável e é estritamente mais forte.
Notas
Referências
- Jech, Thomas (2003). Set Theory (Terceiro Millennium ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965 . Zbl 1007.03002 .