Axioma de determinação - Axiom of determinacy
Em matemática , o axioma da determinação (abreviado como AD ) é um axioma possível para a teoria dos conjuntos introduzida por Jan Mycielski e Hugo Steinhaus em 1962. Refere-se a certos jogos topológicos de duas pessoas de comprimento ω . AD afirma que todo jogo de um certo tipo é determinado ; ou seja, um dos dois jogadores tem uma estratégia vencedora .
Eles motivaram AD por suas consequências interessantes e sugeriram que AD poderia ser verdadeiro no menor modelo natural L (R) de uma teoria de conjuntos, que aceita apenas uma forma fraca do axioma de escolha (AC), mas contém todos os reais e todos os ordinais números . Algumas consequências do AD seguiram teoremas provados anteriormente por Stefan Banach e Stanisław Mazur , e Morton Davis . Mycielski e Stanisław Świerczkowski contribuíram com outro: AD implica que todos os conjuntos de números reais são mensuráveis de Lebesgue . Posteriormente, Donald A. Martin e outros provaram consequências mais importantes, especialmente na teoria descritiva dos conjuntos . Em 1988, John R. Steel e W. Hugh Woodin concluíram uma longa linha de pesquisa. Supondo a existência de alguns números cardinais incontáveis análogos a , eles provaram a conjectura original de Mycielski e Steinhaus de que AD é verdadeiro em L (R).
Tipos de jogo que são determinados
O axioma da determinação se refere a jogos da seguinte forma específica: Considere um subconjunto A do espaço de Baire ω ω de todas as sequências infinitas de números naturais . Dois jogadores, I e II , escolhem números naturais alternadamente
- n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , ...
Após um número infinito de movimentos, uma sequência é gerada. Jogador que ganha o jogo se, e somente se a sequência gerada é um elemento de A . O axioma da determinação é a afirmação de que todos esses jogos são determinados.
Nem todos os jogos requerem o axioma da determinação para provar que são determinados. Se o conjunto A for clopado , o jogo é essencialmente um jogo finito e, portanto, é determinado. Da mesma forma, se A for um conjunto fechado , o jogo está determinado. Foi mostrado em 1975 por Donald A. Martin que os jogos cujo conjunto vencedor é um conjunto do Borel são determinados. Segue-se da existência de cardinais suficientemente grandes que todos os jogos com conjunto vencedor um conjunto projetivo são determinados (ver Determinação projetiva ), e que AD é válido em L (R) .
O axioma da determinação implica que para cada subespaço X dos números reais , o jogo Banach-Mazur BM ( X ) é determinado (e, portanto, que todo conjunto de reais tem a propriedade de Baire ).
Incompatibilidade do axioma de determinação com o axioma de escolha
O conjunto S1 de todas as estratégias do primeiro jogador em um ω-game G tem a mesma cardinalidade do continuum . O mesmo é verdadeiro para o conjunto S2 de todas as estratégias do segundo jogador. Notamos que a cardinalidade do conjunto SG de todas as sequências possíveis em G também é o contínuo. Seja A o subconjunto de SG de todas as sequências que fazem o primeiro jogador vencer. Com o axioma da escolha, podemos bem ordenar o continuum; além disso, podemos fazer isso de forma que qualquer porção inicial adequada não tenha a cardinalidade do continuum. Criamos um contra-exemplo por indução transfinita no conjunto de estratégias sob esta ordenação:
Começamos com o conjunto A indefinido. Seja T o "tempo" cujo eixo tem um contínuo de comprimento. Precisamos considerar todas as estratégias {s1 (T)} do primeiro jogador e todas as estratégias {s2 (T)} do segundo jogador para ter certeza de que para cada estratégia há uma estratégia do outro jogador que vence. Para cada estratégia do jogador considerado, geraremos uma sequência que dará ao outro jogador uma vitória. Seja t o tempo cujo eixo tem comprimento ℵ 0 e que é usado durante cada sequência de jogo.
- Considere a estratégia atual {s1 (T)} do primeiro jogador.
- Percorra todo o jogo, gerando (junto com a estratégia do primeiro jogador s1 (T)) uma sequência {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t) , b (t + 1), ...}.
- Decida que esta sequência não pertence a A, ou seja, s1 (T) perdida.
- Considere a estratégia {s2 (T)} do segundo jogador.
- Passe pelo próximo jogo inteiro, gerando (junto com a estratégia do segundo jogador s2 (T)) uma sequência {c (1), d (2), c (3), d (4), ..., c (t ), d (t + 1), ...}, certificando-se de que essa sequência seja diferente de {a (1), b (2), a (3), b (4), ..., a (t ), b (t + 1), ...}.
- Decida que esta sequência pertence a A, ou seja, s2 (T) perdido.
- Continue repetindo com outras estratégias, se houver, certificando-se de que as sequências já consideradas não sejam geradas novamente. (Começamos com o conjunto de todas as sequências e cada vez que geramos uma sequência e refutamos uma estratégia, projetamos a sequência gerada nos movimentos do primeiro jogador e nos movimentos do segundo jogador, e retiramos as duas sequências resultantes do nosso conjunto de sequências.)
- Para todas as sequências que não surgiram na consideração acima, decida arbitrariamente se elas pertencem a A ou ao complemento de A.
Uma vez que isso tenha sido feito, temos um jogo G . Se você me der uma estratégia s1, então consideramos essa estratégia em algum momento T = T (s1). No momento T , decidimos um resultado de s1 que seria uma perda de s1. Portanto, essa estratégia falha. Mas isso é verdade para uma estratégia arbitrária; portanto, o axioma da determinação e o axioma da escolha são incompatíveis.
Lógica infinitária e o axioma da determinação
Muitas versões diferentes da lógica infinitaria foram propostas no final do século XX. Uma razão dada para acreditar no axioma da determinação é que ele pode ser escrito da seguinte forma (em uma versão da lógica infinita):
OU
Nota: Seq ( S ) é o conjunto de todos os -sequences de S . As sentenças aqui são infinitamente longas, com uma lista infinita de quantificadores onde aparecem as elipses.
Grandes cardeais e o axioma da determinação
A consistência do axioma da determinação está intimamente relacionada à questão da consistência dos grandes axiomas cardinais . Por um teorema de Woodin , a consistência da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel sem escolha (ZF) junto com o axioma da determinação é equivalente à consistência da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel com escolha (ZFC) junto com a existência de infinitos cardeais de Woodin . Visto que os cardeais de Woodin são fortemente inacessíveis , se AD for consistente, então o mesmo ocorre com uma infinidade de cardeais inacessíveis.
Além disso, se à hipótese de um conjunto infinito de cardinais de Woodin for adicionada a existência de um cardeal mensurável maior do que todos eles, surge uma teoria muito forte dos conjuntos mensuráveis de reais de Lebesgue , pois é então provável que o axioma da determinação é verdadeiro em L (R) e, portanto, que todo conjunto de números reais em L (R) é determinado.
Veja também
- Axioma de determinação real (AD R )
- Teorema da determinação de Borel
- Medida de Martin
- Jogo topológico
Referências
- Mycielski, Jan ; Steinhaus, Hugo (1962). "Um axioma matemático que contradiz o axioma da escolha". Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques . 10 : 1-3. ISSN 0001-4117 . MR 0140430 .
- Mycielski, Jan ; Świerczkowski, Stanisław (1964). “Sobre a mensurabilidade de Lebesgue e o axioma da determinidade” . Fundo. Matemática . 54 : 67–71. doi : 10.4064 / fm-54-1-67-71 .
- Woodin, W. Hugh (1988). “Cardeais supercompactos, conjuntos de reais e árvores fracamente homogêneas” . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 85 (18): 6587–6591. doi : 10.1073 / pnas.85.18.6587 . PMC 282022 . PMID 16593979 .
- Martin, Donald A .; Steel, John R. (janeiro de 1989). "Uma Prova de Determinação Projetiva" . Journal of the American Mathematical Society . 2 (1): 71–125. doi : 10.2307 / 1990913 . JSTOR 1990913 .
- Jech, Thomas (2002). Teoria dos conjuntos, terceira edição do milênio (revisada e ampliada) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
- Kanamori, Akihiro (2008). The Higher Infinite (2ª ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-88866-6.
- Moschovakis, Yiannis N. (2009). Teoria dos conjuntos descritivos (PDF) (2ª ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4813-5. Arquivado do original em 12/11/2014.CS1 maint: bot: status do URL original desconhecido ( link )
Leitura adicional
- Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy , Tese, Departamento de Matemática, Universidade de Bonn, Alemanha, 2001
- Telgársky, RJ Jogos Topológicos: No 50º Aniversário do Jogo Banach-Mazur , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227-276. (3,19 MB)
- "Large Cardinals and Determinacy" na Stanford Encyclopedia of Philosophy