Axioma da escolha global - Axiom of global choice
Na matemática , especificamente nas teorias de classe , o axioma da escolha global é uma variante mais forte do axioma da escolha que se aplica a classes adequadas de conjuntos , bem como conjuntos de conjuntos. Informalmente, ele afirma que pode-se escolher simultaneamente um elemento de cada conjunto não vazio .
Demonstração
O axioma da escolha global afirma que existe uma função de escolha global τ, o que significa uma função tal que para cada conjunto não vazio z , τ ( z ) é um elemento de z .
O axioma da escolha global não pode ser enunciado diretamente na linguagem de ZFC ( Zermelo –Fraenkel teoria dos conjuntos com o axioma da escolha), pois a função de escolha τ é uma classe própria e em ZFC não se pode quantificar sobre classes. Isso pode ser afirmado pela adição de um novo símbolo de função τ à linguagem do ZFC, com a propriedade de que τ é uma função de escolha global. Esta é uma extensão conservadora de ZFC: cada declaração provável desta teoria estendida que pode ser afirmada na linguagem de ZFC já é provável em ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p.72). Alternativamente, Gödel mostrou que dado o axioma de construtibilidade pode-se escrever uma função de escolha explícita (embora um tanto complicada) τ na linguagem de ZFC, então, em certo sentido, o axioma de construtibilidade implica escolha global (de fato, (ZFC prova que) na linguagem estendida pelo símbolo de função unário τ, o axioma de construtibilidade implica que se τ for dito explicitamente função definível, então este τ é uma função de escolha global. E então a escolha global é moralmente válida, com τ como testemunha ).
Na linguagem da teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel (NBG) e da teoria dos conjuntos de Morse – Kelley , o axioma da escolha global pode ser declarado diretamente ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , p.133), e é equivalente a várias outras declarações:
- Cada classe de conjuntos não vazios tem uma função de escolha .
- V \ {∅} tem uma função de escolha (onde V é a classe de todos os conjuntos ).
- Há uma boa ordenação de V .
- Existe uma bijeção entre V e a classe de todos os números ordinais .
Na teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel, a escolha global não adiciona nenhuma consequência sobre os conjuntos (não as classes adequadas) além do que poderia ter sido deduzido do axioma comum da escolha.
A escolha global é consequência do axioma da limitação de tamanho .
Referências
- Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, Azriel (1973), Foundations of Set Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 67 (segunda edição revisada), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0720422702 , MR 0345816
- Jech, Thomas , 2003. Teoria dos Conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
- John L. Kelley ; Topologia geral ; ISBN 0-387-90125-6