Axioma de limitação de tamanho - Axiom of limitation of size

Na teoria dos conjuntos , o axioma da limitação de tamanho foi proposto por John von Neumann em seu sistema de axiomas de 1925 para conjuntos e classes . Ele formaliza o princípio da limitação do tamanho , que evita os paradoxos encontrados nas formulações anteriores da teoria dos conjuntos , reconhecendo que algumas classes são grandes demais para serem conjuntos. Von Neumann percebeu que os paradoxos são causados ​​ao permitir que essas grandes classes sejam membros de uma classe. Uma classe que é membro de uma classe é um conjunto; uma classe que não é um conjunto é uma classe adequada . Cada classe é uma subclasse de V , a classe de todos os conjuntos. O axioma da limitação do tamanho diz que uma classe é um conjunto se e só se for menor do que V , isto é, não existe um mapeamento função que para V . Normalmente, este axioma é declarado no equivalente forma: Uma classe é uma classe própria, se e somente se existe uma função que mapeia-lo para V .

O axioma de Von Neumann implica os axiomas de substituição , separação , união e escolha global . É equivalente à combinação de substituição, união e escolha global na teoria dos conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel (NBG) e na teoria dos conjuntos de Morse – Kelley . Exposições posteriores de teorias de classe - como as de Paul Bernays , Kurt Gödel e John L. Kelley - usam substituição, união e um axioma de escolha equivalente à escolha global em vez do axioma de von Neumann. Em 1930, Ernst Zermelo definiu modelos de teoria dos conjuntos que satisfaziam o axioma da limitação de tamanho.

Abraham Fraenkel e Azriel Lévy afirmaram que o axioma da limitação do tamanho não captura toda a "doutrina da limitação do tamanho" porque não implica o axioma do conjunto de poder . Michael Hallett argumentou que a limitação da doutrina de tamanho não justifica o axioma do conjunto de poder e que "a suposição explícita de von Neumann [da pequenez dos conjuntos de poder] parece preferível à suposição obscuramente oculta de Zermelo, Fraenkel e Lévy implícita da pequenez de conjuntos de energia. "

Declaração formal

A versão usual do axioma de limitação de tamanho - uma classe é uma classe adequada se e somente se houver uma função que a mapeia em V  - é expressa na linguagem formal da teoria dos conjuntos como:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ forall C {\ Bigl [} \ lnão \ existe D \ left (C \ in D \ right) \ iff \ exists F {\ bigl [} & \, \ forall y {\ bigl (} \ existe D (y \ em D) \ implica \ existe x [\, x \ em C \ land (x, y) \ in F \,] {\ bigr)} \\ & \, \ land \ , \ forall x \ forall y \ forall z {\ bigl (} \, [\, (x, y) \ in F \ land (x, z) \ in F \,] \ implica y = z {\ bigr) } \, {\ bigr]} \, {\ Bigr]} \ end {alinhado}}}$

Gödel introduziu a convenção de que as variáveis ​​em maiúsculas variam em todas as classes, enquanto as variáveis ​​em minúsculas variam em todos os conjuntos. Essa convenção nos permite escrever:

Com a convenção de Gödel, o axioma da limitação de tamanho pode ser escrito:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ forall C {\ Bigl [} \ lnão \ existe D \ left (C \ in D \ right) \ iff \ exists F {\ bigl [} & \, \ forall y \ existe x {\ bigl (} x \ in C \ land (x, y) \ in F {\ bigr)} \\ & \, \ land \, \ forall x \ forall y \ forall z {\ bigl (} \, [\, (x, y) \ in F \ land (x, z) \ in F \,] \ implica y = z {\ bigr)} \, {\ bigr]} \, {\ Bigr]} \ end {alinhado}}}$

Implicações do axioma

Von Neumann provou que o axioma da limitação de tamanho implica o axioma da substituição , que pode ser expresso como: Se F é uma função e A é um conjunto, então F ( A ) é um conjunto. Isso é provado por contradição . Seja F uma função e A um conjunto. Suponha que F ( A ) seja uma classe adequada. Em seguida, há uma função L que mapeia F ( A ) para V . Como a função composta G  ∘  F mapeia A em V , o axioma da limitação de tamanho implica que A é uma classe própria, o que contradiz A sendo um conjunto. Portanto, F ( A ) é um conjunto. Visto que o axioma da substituição implica o axioma da separação , o axioma da limitação do tamanho implica o axioma da separação .

Von Neumann também provou que seu axioma implica que V pode ser bem ordenado . A prova começa provando por contradição que Ord , a classe de todos os ordinais , é uma classe adequada. Suponha que Ord seja um conjunto. Como é um conjunto transitivo bem ordenado por ∈, é um ordinal. Então Ord  ∈  Ord , o que contradiz Ord sendo bem ordenado por ∈. Portanto, Ord é uma classe adequada. Então axioma de von Neumann implica que existe uma função F que mapeia Ord em V . Para definir uma boa ordenação de V , seja G a subclasse de F consistindo dos pares ordenados (α,  x ) onde α é o menor β tal que (β,  x ) ∈  F ; ou seja, G  = {(α,  x ) ∈  F  : ∀β ((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. A função G é uma correspondência de um-para-um entre um subconjunto de Ord e V . Portanto, x  <  y se L ^-1 (x) <  L ^-1 (y) define uma boa ordenação de V . Essa ordenação define uma função de escolha global : Seja Inf  ( x ) o menor elemento de um conjunto não vazio x . Como Inf  ( x ) ∈  x , esta função escolhe um elemento de x para cada conjunto não vazio x . Portanto, Inf  ( x ) é uma função de escolha global, então o axioma de Von Neumann implica o axioma da escolha global .

Em 1968, Azriel Lévy provou que o axioma de von Neumann implica o axioma da união . Primeiro, ele provou, sem usar o axioma da união, que todo conjunto de ordinais tem um limite superior. Em seguida, ele usou uma função que mapeia Ord em V para provar que se A é um conjunto, então ∪  A é um conjunto.

Os axiomas de substituição, escolha global e união (com os outros axiomas de NBG ) implicam no axioma de limitação de tamanho. Portanto, este axioma é equivalente à combinação de substituição, escolha global e união em NBG ou teoria dos conjuntos de Morse-Kelley . Essas teorias de conjuntos apenas substituíram o axioma da substituição e uma forma do axioma da escolha pelo axioma da limitação do tamanho, porque o sistema de axiomas de von Neumann contém o axioma da união. A prova de Lévy de que esse axioma é redundante veio muitos anos depois.

Os axiomas de NBG com o axioma de escolha global substituído pelo axioma de escolha usual não implicam no axioma de limitação de tamanho. Em 1964, William B. Easton usou a força para construir um modelo de NBG com a escolha global substituída pelo axioma da escolha. No modelo de Easton, V não pode ser ordenado linearmente , portanto, não pode ser bem ordenado. Portanto, o axioma de limitação de tamanho falha neste modelo. Ord é um exemplo de uma classe apropriada que não pode ser mapeada em V porque (como provado acima) se houver uma função mapeando Ord em V , então V pode ser bem ordenado.

Os axiomas de NBG com o axioma de substituição substituído pelo axioma mais fraco de separação não implicam no axioma de limitação de tamanho. Defina como o -ésimo ordinal inicial infinito , que também é o cardinal ; a numeração começa em, então Em 1939, Gödel apontou que L _{ω ω} , um subconjunto do universo construtível , é um modelo de ZFC com substituição substituída por separação. Para expandi-lo em um modelo de NBG com substituição substituída por separação, sejam suas classes os conjuntos de L _{ω ω + 1} , que são os subconjuntos construtíveis de L _{ω ω} . Este modelo satisfaz os axiomas de existência de classe de NBG porque restringir as variáveis ​​de conjunto desses axiomas a L _{ω ω} produz instâncias do axioma de separação, que é válido em L. Ele satisfaz o axioma de escolha global porque há uma função pertencente a L _{ω ω + 1} que mapeia ω _ω em L _{ω ω} , o que implica que L _{ω ω} é bem ordenado. O axioma da limitação de tamanho falha porque a classe adequada {ω _n  :  n  ∈ ω} tem cardinalidade , portanto não pode ser mapeada em L _{ω ω} , que tem cardinalidade . ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega.}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$

Em uma carta 1923 a Zermelo, von Neumann afirmou a primeira versão do seu axioma: A classe é uma classe adequada se, e somente se existe uma correspondência de um-para-um entre ele e V . O axioma de limitação de tamanho implica o axioma de 1923 de von Neumann. Por isso, também implica que todas as classes apropriadas são equinumerous com V .

Os modelos de Zermelo e o axioma da limitação de tamanho

Em 1930, Zermelo publicou um artigo sobre modelos de teoria dos conjuntos, no qual provou que alguns de seus modelos satisfazem o axioma da limitação de tamanho. Esses modelos são construídos em ZFC usando a hierarquia cumulativa V _α , que é definida por recursão transfinita :

1. V ₀  =  ∅ .
2. V _{α + 1}  =  V _α  ∪  P ( V _α ). Ou seja, a união de V _α e seu conjunto de potência .
3. Para o limite β: V _β  = ∪ _{α <β}  V _α . Ou seja, V _β é a união dos V _α precedentes .

Zermelo trabalhou com modelos da forma V _κ, onde κ é um cardeal . As classes do modelo são os subconjuntos de V _κ , e a relação ∈ do modelo é a relação ∈ padrão. Os conjuntos do modelo são as classes X tais que X ∈ V _κ . Zermelo identificou cardeais κ de modo que V _κ satisfaça:

Teorema 1. Uma classe X é um conjunto se e somente se | X | <κ.

Teorema 2. | V _κ | = κ.

Como toda classe é um subconjunto de V _κ , o Teorema 2 implica que toda classe X tem cardinalidade  ≤ κ. Combinar isso com o Teorema 1 prova: toda classe adequada tem cardinalidade κ. Conseqüentemente, toda classe adequada pode ser colocada em correspondência um-para-um com V _κ . Essa correspondência é um subconjunto de V _κ , portanto, é uma classe do modelo. Portanto, o axioma da limitação de tamanho vale para o modelo V _κ .

O teorema que afirma que V _κ tem uma boa ordenação pode ser provado diretamente . Como κ é um ordinal de cardinalidade, κ e | V _κ | = κ, há uma correspondência um-para-um entre κ e V _κ . Essa correspondência produz uma boa ordenação de V _κ . A prova de Von Neumann é indireta . Ele usa o paradoxo Burali-Forti para provar por contradição que a classe de todos os ordinais é uma classe adequada. Conseqüentemente, o axioma da limitação de tamanho implica que existe uma função que mapeia a classe de todos os ordinais na classe de todos os conjuntos. Esta função produz uma boa ordenação de V _κ .

O modelo V _ω

Para demonstrar que os Teoremas 1 e 2 são válidos para algum V _κ , primeiro provamos que se um conjunto pertence a V _α, então ele pertence a todos os V _β subsequentes , ou equivalentemente: V _α  ⊆  V _β para α ≤ β. Isso é provado por indução transfinita em β:

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀ .
2. Para β + 1: Por hipótese indutiva, V _α  ⊆  V _β . Logo, V _α  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _{β + 1} .
3. Para o limite β: Se α <β, então V _α  ⊆ ∪ _{ξ <β}  V _ξ  =  V _β . Se α = β, então V _α  ⊆  V _β .

Os conjuntos entram na hierarquia cumulativa por meio do conjunto de potência P ( V _β ) na etapa β + 1. As seguintes definições serão necessárias:

Se x for um conjunto, posto ( x ) é o menos ordinal β tal que x  ∈  V _{β + 1} .

O supremo de um conjunto de ordinais A, denotado por sup A, é o menos ordinal β tal que α ≤ β para todos os α ∈ A.

O menor modelo de Zermelo é V _ω . A indução matemática prova que V _n é finito para todo n  <ω:

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n ) | ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |} , que é finito visto que V _n é finito por hipótese indutiva.

Prova do Teorema 1: Um conjunto X entra V _ω através de P ( V _n ) para algum n  <ω, então X  ⊆  V _n . Como V _n é finito, X é finito. Inversamente : Se uma classe X é finita, seja N  = sup {rank ( x ):  x  ∈  X }. Como posto ( x ) ≤  N para todo x  ∈  X , temos X  ⊆  V _{N +1} , então X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ω . Portanto, X  ∈  V _ω .

Prova do Teorema 2: V _ω é a união de um número infinito de conjuntos finitos de tamanho crescente. Conseqüentemente, ele tem cardinalidade , que é igual a ω pela atribuição cardinal de von Neumann . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Os conjuntos e classes de V _ω satisfazem todos os axiomas de NBG, exceto o axioma do infinito .

Os modelos V _κ onde κ é um cardeal fortemente inacessível

Duas propriedades de finitude foram usadas para provar os Teoremas 1 e 2 para V _ω :

1. Se λ é um cardinal finito, então 2 ^λ é finito.
2. Se A for um conjunto de ordinais tais que | A | é finito, e α é finito para todo α ∈  A , então sup  A é finito.

Para encontrar modelos que satisfaçam o axioma do infinito, substitua "finito" por "<κ" para produzir as propriedades que definem cardinais fortemente inacessíveis . Um cardinal κ é fortemente inacessível se κ> ω e:

1. Se λ for um cardinal tal que λ <κ, então 2 ^λ  <κ.
2. Se A for um conjunto de ordinais tais que | A | <κ, e α <κ para todos α ∈  A , então sup  A  <κ.

Essas propriedades afirmam que κ não pode ser alcançado por baixo. A primeira propriedade diz que κ não pode ser alcançado por conjuntos de potência; o segundo diz que κ não pode ser alcançado pelo axioma da substituição. Assim como o axioma do infinito é necessário para obter ω, um axioma é necessário para obter cardeais fortemente inacessíveis. Zermelo postulou a existência de uma sequência ilimitada de cardeais fortemente inacessíveis.

Se κ é um cardinal fortemente inacessível, então a indução transfinita prova | V _α | <κ para todos α <κ:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. Para α + 1: | V _{α + 1} | = | V _α  ∪  P ( V _α ) | ≤ | V _α | + 2  ^{| V _α |}  = 2  ^{| V _α |}  <κ. Última desigualdade usa hipótese indutiva e κ sendo fortemente inacessível.
3. Para o limite α: | V _α | = | ∪ _{ξ <α}  V _ξ | ≤ sup {| V _ξ | : ξ <α} <κ. Última desigualdade usa hipótese indutiva e κ sendo fortemente inacessível.

Prova do Teorema 1: Um conjunto X entra V _κ através de P ( V _α ) para algum α <κ, então X  ⊆  V _α . Desde | V _α | <κ, obtemos | X | <κ. Inversamente: Se uma classe X tiver | X | <κ, seja β = sup {rank ( x ):  x  ∈  X }. Como κ é fortemente inacessível, | X | <κ e posto ( x ) <κ para todo x  ∈  X implicam β = sup {posto ( x ):  x  ∈  X } <κ. Como posto ( x ) ≤ β para todo x  ∈  X , temos X  ⊆  V _{β + 1} , então X  ∈  V _{β + 2}  ⊆  V _κ . Portanto, X  ∈  V _κ .

Prova do Teorema 2: | V _κ | = | ∪ _{α <κ}  V _α | ≤ sup {| V _α | : α <κ}. Seja β este supremo. Como cada ordinal no supremo é menor que κ, temos β ≤ κ. Suponha que β <κ. Então existe um cardinal λ tal que β <λ <κ; por exemplo, seja λ = 2 ^{| β |} . Já que λ ⊆ V _λ e | V _λ | está no supremo, temos λ ≤ | V _λ | ≤ β. Isso contradiz β <λ. Portanto, | V _κ | = β = κ.

Os conjuntos e classes de V _κ satisfazem todos os axiomas de NBG.

Limitação da doutrina de tamanho

A limitação da doutrina de tamanho é um princípio heurístico usado para justificar os axiomas da teoria dos conjuntos. Ele evita os paradoxos teóricos estabelecidos, restringindo o esquema do axioma de compreensão total (contraditório):

${\ displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ exists x \, \ forall u \, (u \ in x \ iff \ varphi (u, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}))}$

para instâncias "que não fornecem conjuntos 'muito maiores' do que os que eles usam."

Se "maior" significa "maior em tamanho cardinal", então a maioria dos axiomas pode ser justificada: o axioma de separação produz um subconjunto de x que não é maior do que x . O axioma de substituição produz um conjunto de imagens f ( x ) que não é maior do que x . O axioma da união produz uma união cujo tamanho não é maior que o tamanho do maior conjunto na união vezes o número de conjuntos na união. O axioma da escolha produz um conjunto de escolha cujo tamanho não é maior do que o tamanho do conjunto dado de conjuntos não vazios.

A limitação da doutrina do tamanho não justifica o axioma do infinito:

${\ displaystyle \ existe y \, [\ emptyset \ in y \, \ land \, \ forall x (x \ in y \ implica x \ cup \ {x \} \ in y)],}$

que usa o conjunto vazio e os conjuntos obtidos do conjunto vazio iterando a operação sucessora ordinal . Como esses conjuntos são finitos, qualquer conjunto que satisfaça esse axioma, como ω, é muito maior do que esses conjuntos. Fraenkel e Lévy consideram o conjunto vazio e o conjunto infinito dos números naturais , cuja existência está implícita nos axiomas do infinito e da separação, como o ponto de partida para os conjuntos geradores.

A abordagem de Von Neumann para a limitação de tamanho usa o axioma da limitação de tamanho. Conforme mencionado em § Implicações do axioma , o axioma de von Neumann implica os axiomas de separação, substituição, união e escolha. Como Fraenkel e Lévy, von Neumann teve que adicionar o axioma do infinito ao seu sistema, uma vez que não pode ser provado por seus outros axiomas. As diferenças entre a abordagem de von Neumann para a limitação de tamanho e a abordagem de Fraenkel e Lévy são:

• O axioma de Von Neumann coloca a limitação de tamanho em um sistema de axioma, tornando possível provar a maioria dos axiomas de existência de conjuntos. A limitação da doutrina de tamanho justifica axiomas usando argumentos informais que são mais abertos a discordâncias do que uma prova.
• Von Neumann assumiu o axioma do conjunto de poder, uma vez que não pode ser provado por seus outros axiomas. Fraenkel e Lévy afirmam que a doutrina da limitação do tamanho justifica o axioma do conjunto de poder.

Há desacordo sobre se a doutrina da limitação do tamanho justifica o axioma do conjunto de poder. Michael Hallett analisou os argumentos apresentados por Fraenkel e Lévy. Alguns de seus argumentos medem o tamanho por critérios diferentes do tamanho cardinal - por exemplo, Fraenkel introduz "abrangência" e "extensibilidade". Hallett aponta o que considera falhas em seus argumentos.

Hallett então argumenta que os resultados na teoria dos conjuntos parecem implicar que não há ligação entre o tamanho de um conjunto infinito e o tamanho de seu conjunto de potência. Isso implicaria que a doutrina da limitação do tamanho é incapaz de justificar o axioma do conjunto de potência porque requer que o conjunto de potência de x não seja "muito maior" do que x . Para o caso em que o tamanho é medido pelo tamanho cardeal, Hallett menciona o trabalho de Paul Cohen . Começando com um modelo de ZFC e , Cohen construiu um modelo no qual a cardinalidade do conjunto de potências de ω é se a cofinalidade de não for ω; caso contrário, sua cardinalidade é . Como a cardinalidade do conjunto de potências de ω não tem limite, não há ligação entre o tamanho cardinal de ω e o tamanho cardinal de P (ω). ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1}}$

Hallett também discute o caso em que o tamanho é medido por "abrangência", que considera uma coleção "muito grande" se for de "compreensão ilimitada" ou "extensão ilimitada". Ele ressalta que, para um conjunto infinito, não podemos ter certeza de que temos todos os seus subconjuntos sem passar pela extensão ilimitada do universo. Ele também cita John L. Bell e Moshé Machover : "... o conjunto de potência P ( u ) de um determinado conjunto [infinito] u é proporcional não apenas ao tamanho de u, mas também à 'riqueza' de todo o universo ..." Depois de fazer estas observações, Hallett afirma: 'um é levado a suspeitar que há simplesmente nenhuma ligação entre o tamanho (abrangência) de um infinito um e do tamanho do P ( a )'.

Hallett considera a limitação da doutrina do tamanho valiosa para justificar a maioria dos axiomas da teoria dos conjuntos. Seus argumentos apenas indicam que ele não pode justificar os axiomas do infinito e do conjunto de poder. Ele conclui que "a suposição explícita de von Neumann [da pequenez dos conjuntos de poder] parece preferível à suposição implícita obscuramente oculta de Zermelo, Fraenkel e Lévy da pequenez dos conjuntos de poder."

História

Von Neumann desenvolveu o axioma da limitação de tamanho como um novo método de identificação de conjuntos. ZFC identifica conjuntos por meio de seus axiomas de construção de conjunto. No entanto, como Abraham Fraenkel apontou: "O caráter bastante arbitrário dos processos que são escolhidos nos axiomas de Z [ZFC] como a base da teoria, é justificado pelo desenvolvimento histórico da teoria dos conjuntos ao invés de argumentos lógicos. "

O desenvolvimento histórico dos axiomas ZFC começou em 1908 quando Zermelo escolheu axiomas para eliminar os paradoxos e para apoiar sua prova do teorema de boa ordenação . Em 1922, Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem apontaram que os axiomas de Zermelo não podem provar a existência do conjunto { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} onde Z ₀ é o conjunto de números naturais , e Z _{n +1} é o conjunto de potência de Z _n . Também introduziram o axioma da substituição, que garante a existência desse conjunto. No entanto, adicionar axiomas à medida que são necessários não garante a existência de todos os conjuntos razoáveis ​​nem esclarece a diferença entre conjuntos que são seguros para uso e coleções que levam a contradições.

Em uma carta de 1923 a Zermelo, von Neumann esboçou uma abordagem para a teoria dos conjuntos que identifica conjuntos que são "muito grandes" e podem levar a contradições. Von Neumann identificou esses conjuntos usando o critério: "Um conjunto é 'grande demais' se e somente se for equivalente ao conjunto de todas as coisas." Ele então restringiu como esses conjuntos podem ser usados: "... para evitar os paradoxos, aqueles [conjuntos] que são 'muito grandes' são declarados inadmissíveis como elementos ." Ao combinar essa restrição com o seu critério, von Neumann obteve sua primeira versão do axioma da limitação de tamanho, o que na linguagem das classes estados: Uma classe é uma classe própria, se e somente se é equinumerous com V . Em 1925, Von Neumann modificou seu axioma alterando "é equinumeroso com V  " para "pode ​​ser mapeado em V  ", o que produz o axioma de limitação de tamanho. Essa modificação permitiu que von Neumann fornecesse uma prova simples do axioma da substituição. Identifica axioma conjuntos de von Neumann como classes que não podem ser mapeadas em V . Von Neumann percebeu que, mesmo com esse axioma, sua teoria dos conjuntos não os caracteriza totalmente.

Gödel considerou o axioma de von Neumann "de grande interesse":

“Em particular, eu acredito que sua condição necessária e suficiente [de von Neumann] que uma propriedade deve satisfazer, a fim de definir um conjunto, é de grande interesse, porque esclarece a relação da teoria axiomática dos conjuntos com os paradoxos. chega ao essencial das coisas pelo facto de implicar o axioma da escolha, que antes se encontrava totalmente à parte de outros princípios existenciais. para mim, não só muito elegante, mas também muito interessante do ponto de vista lógico. Além disso, acredito que só indo mais longe nessa direção, ou seja, na direção oposta ao construtivismo , os problemas básicos da teoria dos conjuntos abstratos serão resolvidos . "

Notas

Referências

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  • Tradução para o inglês: Ewald, William B. (1996), "On boundary numbers and domains of sets: new investigations in the foundations of set theory", De Immanuel Kant a David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , Oxford University Press , pp. 1208-1233, ISBN 978-0-19-853271-2.