Modelo Bühlmann - Bühlmann model

Na teoria da credibilidade , um ramo de estudo da ciência atuarial , o modelo de Bühlmann é um modelo de efeitos aleatórios (ou "modelo de componentes de variância" ou modelo linear hierárquico ) usado para determinar o prêmio apropriado para um grupo de contratos de seguro. O modelo tem o nome de Hans Bühlmann, que publicou uma descrição pela primeira vez em 1967.

Descrição do modelo

Considere i riscos que geram perdas aleatórias para os quais dados históricos de m sinistros recentes estão disponíveis (indexados por j ). Um prêmio pelo i ésimo risco deve ser determinado com base no valor esperado dos sinistros. Um estimador linear que minimiza o erro quadrático médio é procurado. Escreva

• X _ij para a j -ésima reivindicação sobre o i- ésimo risco (assumimos que todas as reivindicações para i- ésimo risco são independentes e distribuídas de forma idêntica )
• ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {X}} _ {i} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {j = 1} ^ {m} X_ {ij}}$ para o valor médio.
• ${\ displaystyle \ Theta _ {i}}$ - o parâmetro para a distribuição do i-ésimo risco
• ${\ displaystyle m (\ vartheta) = \ operatorname {E} \ left [X_ {ij} | \ Theta _ {i} = \ vartheta \ right]}$
• ${\ displaystyle \ Pi = \ operatorname {E} (m (\ vartheta) | X_ {i1}, X_ {i2}, ... X_ {im})}$ - prêmio pelo i-ésimo risco
• ${\ displaystyle \ mu = \ operatorname {E} (m (\ vartheta))}$
• ${\ displaystyle s ^ {2} (\ vartheta) = \ operatorname {Var} \ left [X_ {ij} | \ Theta _ {i} = \ vartheta \ right]}$
• ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = \ operatorname {E} \ left [s ^ {2} (\ vartheta) \ right]}$
• ${\ displaystyle v ^ {2} = \ operatorname {Var} \ left [m (\ vartheta) \ right]}$

Nota: e são funções de parâmetro aleatório${\ displaystyle m (\ vartheta)}$${\ displaystyle s ^ {2} (\ vartheta)}$${\ displaystyle \ vartheta}$

O modelo Bühlmann é a solução para o problema:

${\ displaystyle {\ underset {a_ {i0}, a_ {i1}, ..., a_ {im}} {\ operatorname {arg \, min}}} \ operatorname {E} \ left [\ left (a_ { i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ direita) ^ {2} \ direita]}$

onde é o estimador de premium e arg min representa os valores dos parâmetros que minimizam a expressão. ${\ displaystyle a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij}}$${\ displaystyle \ Pi}$

Solução modelo

A solução para o problema é:

${\ displaystyle Z {\ bar {X}} _ {i} + (1-Z) \ mu}$

Onde:

${\ displaystyle Z = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {v ^ {2} m}}}}}$

Podemos dar a este resultado a interpretação de que a parte Z do prêmio é baseada nas informações que temos sobre o risco específico e a parte (1-Z) é baseada nas informações que temos sobre toda a população.

Prova

A prova a seguir é ligeiramente diferente da do papel original. É também mais geral, porque considera todos os estimadores lineares, enquanto a prova original considera apenas os estimadores baseados na afirmação média.

Lema. O problema pode ser declarado alternativamente como:

${\ displaystyle f = \ mathbb {E} \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (\ vartheta) \ right) ^ {2} \ right] \ to \ min}$

Prova:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbb {E} \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (\ vartheta ) \ right) ^ {2} \ right] & = \ mathbb {E} \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ direita) ^ {2} \ direita] + \ mathbb {E} \ esquerda [\ esquerda (m (\ vartheta) - \ Pi \ direita) ^ {2} \ direita] +2 \ mathbb {E} \ esquerda [\ esquerda (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ direita) \ esquerda (m (\ vartheta) - \ Pi \ direita) \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ right) ^ {2} \ right] + \ mathbb {E} \ left [\ left (m (\ vartheta) - \ Pi \ right) ^ {2} \ right] \ end {alinhado}}}$

A última equação segue do fato de que

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbb {E} \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ right ) \ left (m (\ vartheta) - \ Pi \ right) \ right] & = \ mathbb {E} _ {\ Theta} \ left [\ mathbb {E} _ {X} \ left. \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ direita) (m (\ vartheta) - \ Pi) \ direita | X_ {i1}, \ ldots, X_ {im} \ right] \ right] \\ & = \ mathbb {E} _ {\ Theta} \ left [\ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} - \ Pi \ right) \ left [\ mathbb {E} _ {X} \ left [(m (\ vartheta) - \ Pi) | X_ {i1}, \ ldots, X_ { im} \ right] \ right] \ right] \\ & = 0 \ end {alinhado}}}$

Estamos usando aqui a lei da expectativa total e o fato de que ${\ displaystyle \ Pi = \ mathbb {E} [m (\ vartheta) | X_ {i1}, \ ldots, X_ {im}].}$

Em nossa equação anterior, decompomos a função minimizada na soma de duas expressões. A segunda expressão não depende dos parâmetros usados ​​na minimização. Portanto, minimizar a função é o mesmo que minimizar a primeira parte da soma.

Vamos encontrar pontos críticos da função

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial f} {\ partial a_ {01}}} = \ mathbb {E} \ left [a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (\ vartheta) \ right] = a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} \ mathbb {E} (X_ {ij}) - \ mathbb {E} (m (\ vartheta)) = a_ {i0} + \ esquerda (\ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} -1 \ direita) \ mu}$

${\ displaystyle a_ {i0} = \ left (1- \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} \ right) \ mu}$

Pois temos: ${\ displaystyle k \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial f} {\ partial a_ {ik}}} = \ mathbb {E} \ left [X_ {ik} \ left (a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} -m (\ vartheta) \ direita) \ direita] = \ mathbb {E} \ esquerda [X_ {ik} \ direita] a_ {i0} + \ sum _ {j = 1, j \ neq k} ^ {m} a_ {ij} \ mathbb {E} [X_ {ik} X_ {ij}] + a_ {ik} \ mathbb {E} [X_ {ik} ^ {2}] - \ mathbb {E} [X_ {ik} m (\ vartheta)] = 0}$

Podemos simplificar a derivada, observando que:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbb {E} [X_ {ij} X_ {ik}] & = \ mathbb {E} \ left [\ mathbb {E} [X_ {ij} X_ {ik} | \ vartheta] \ right] = \ mathbb {E} [{\ text {cov}} (X_ {ij} X_ {ik} | \ vartheta) + \ mathbb {E} (X_ {ij} | \ vartheta) \ mathbb { E} (X_ {ik} | \ vartheta)] = \ mathbb {E} [(m (\ vartheta)) ^ {2}] = v ^ {2} + \ mu ^ {2} \\\ mathbb {E } [X_ {ik} ^ {2}] & = \ mathbb {E} \ left [\ mathbb {E} [X_ {ik} ^ {2} | \ vartheta] \ right] = \ mathbb {E} [s ^ {2} (\ vartheta) + (m (\ vartheta)) ^ {2}] = \ sigma ^ {2} + v ^ {2} + \ mu ^ {2} \\\ mathbb {E} [X_ {ik} m (\ vartheta)] & = \ mathbb {E} [\ mathbb {E} [X_ {ik} m (\ vartheta) | \ Theta _ {i}] = \ mathbb {E} [(m ( \ vartheta)) ^ {2}] = v ^ {2} + \ mu ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Tomando as equações acima e inserindo na derivada, temos:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial f} {\ partial a_ {ik}}} = \ left (1- \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ { ij} \ right) \ mu ^ {2} + \ sum _ {j = 1, j \ neq k} ^ {m} a_ {ij} (v ^ {2} + \ mu ^ {2}) + a_ { ik} (\ sigma ^ {2} + v ^ {2} + \ mu ^ {2}) - (v ^ {2} + \ mu ^ {2}) = a_ {ik} \ sigma ^ {2} - \ left (1- \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} \ right) v ^ {2} = 0}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} a_ {ik} = v ^ {2} \ left (1- \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} \ right)}$

O lado direito não depende de k . Portanto, todos são constantes ${\ displaystyle a_ {ik}}$

${\ displaystyle a_ {i1} = \ cdots = a_ {im} = {\ frac {v ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + mv ^ {2}}}}$

Da solução para nós temos ${\ displaystyle a_ {i0}}$

${\ displaystyle a_ {i0} = (1-ma_ {ik}) \ mu = \ left (1 - {\ frac {mv ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + mv ^ {2}}} \ direita) \ mu}$

Finalmente, o melhor estimador é

${\ displaystyle a_ {i0} + \ sum _ {j = 1} ^ {m} a_ {ij} X_ {ij} = {\ frac {mv ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + mv ^ { 2}}} {\ bar {X_ {i}}} + \ left (1 - {\ frac {mv ^ {2}} {\ sigma ^ {2} + mv ^ {2}}} \ right) \ mu = Z {\ bar {X_ {i}}} + (1-Z) \ mu}$

Referências

Citações

Fontes