Matemática babilônica - Babylonian mathematics

Tabuleta de argila babilônica YBC 7289 com anotações. A diagonal exibe uma aproximação da raiz quadrada de 2 em quatro algarismos sexagesimais , 1 24 51 10, que é bom para cerca de seis dígitos decimais .
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1,41421296 ... O tablet também dá um exemplo em que um lado do quadrado é 30 e a diagonal resultante é 42 25 35 ou 42,4263888 ...

A matemática babilônica (também conhecida como matemática assiro-babilônica ) denota a matemática desenvolvida ou praticada pelo povo da Mesopotâmia , desde os dias dos primeiros sumérios até os séculos após a queda da Babilônia em 539 aC. Os textos matemáticos da Babilônia são abundantes e bem editados. Com relação ao tempo, eles se dividem em dois grupos distintos: um do período da Antiga Babilônia (1830–1531 aC), o outro principalmente selêucida dos últimos três ou quatro séculos aC. No que diz respeito ao conteúdo, quase não há diferença entre os dois grupos de textos. A matemática babilônica permaneceu constante, em caráter e conteúdo, por quase dois milênios.

Em contraste com a escassez de fontes na matemática egípcia , o conhecimento da matemática babilônica é derivado de cerca de 400 tábuas de argila desenterradas desde a década de 1850. Escritas na escrita cuneiforme , as tabuinhas eram inscritas enquanto a argila estava úmida e cozidas no forno ou pelo calor do sol. A maioria das tabuinhas de argila recuperadas datam de 1800 a 1600 aC e abordam tópicos que incluem frações , álgebra , equações quadráticas e cúbicas e o teorema de Pitágoras . A tabuinha babilônica YBC 7289 dá uma aproximação com precisão de três dígitos sexagesimais significativos (cerca de seis dígitos decimais significativos).

Origens da matemática babilônica

A matemática babilônica é uma série de práticas matemáticas numéricas e mais avançadas no antigo Oriente Próximo , escritas em escrita cuneiforme . O estudo enfocou historicamente o período da Antiga Babilônia no início do segundo milênio aC devido à abundância de dados disponíveis. Tem havido um debate sobre o aparecimento mais antigo da matemática babilônica, com historiadores sugerindo um intervalo de datas entre o 5º e o 3º milênio AC. A matemática babilônica foi escrita principalmente em tábuas de argila em escrita cuneiforme nas línguas acadiana ou suméria .

"Matemática babilônica" talvez seja um termo inútil, pois as primeiras origens sugeridas datam do uso de dispositivos contábeis, como bolhas e fichas , no quinto milênio aC.

Numerais babilônicos

O sistema matemático da Babilônia era um sistema numeral sexagesimal (base 60) . Disto, derivamos o uso moderno de 60 segundos em um minuto, 60 minutos em uma hora e 360 ​​graus em um círculo. Os babilônios conseguiram grandes avanços na matemática por duas razões. Em primeiro lugar, o número 60 é um número altamente composto superior , tendo fatores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (incluindo aqueles que são eles próprios compostos), facilitando cálculos com frações . Além disso, ao contrário dos egípcios e romanos, os babilônios tinham um verdadeiro sistema de valor de posição , onde os dígitos escritos na coluna da esquerda representavam valores maiores (tanto quanto, em nosso sistema de base dez, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).

Matemática suméria

Os antigos sumérios da Mesopotâmia desenvolveram um complexo sistema de metrologia a partir de 3.000 aC. De 2600 aC em diante, os sumérios escreveram tabuadas de multiplicação em tabuinhas de argila e lidaram com exercícios geométricos e problemas de divisão . Os primeiros vestígios dos numerais babilônicos também datam desse período.

Matemática antiga da Babilônia (2.000 a 1.600 a.C.)

A maioria das tabuinhas de argila que descrevem a matemática babilônica pertence ao antigo babilônico , razão pela qual a matemática da Mesopotâmia é comumente conhecida como matemática babilônica. Algumas tabuletas de argila contêm listas e tabelas matemáticas, outras contêm problemas e soluções trabalhadas.

Tabuleta de argila, matemática, geométrica-algébrica, semelhante ao teorema de Pitágoras. De Tell al-Dhabba'i, Iraque. 2003-1595 BCE. Museu do Iraque
Tabuleta de argila, matemática, geométrico-algébrica, semelhante à geometria euclidiana. De Tell Harmal, Iraque. 2003-1595 BCE. Museu do Iraque

Aritmética

Os babilônios usavam tabelas pré-calculadas para auxiliar na aritmética . Por exemplo, duas tabuinhas encontradas em Senkerah no Eufrates em 1854, datando de 2.000 aC, fornecem listas de quadrados de números até 59 e os cubos de números até 32. Os babilônios usavam as listas de quadrados junto com as fórmulas:

para simplificar a multiplicação.

Os babilônios não tinham um algoritmo para divisões longas . Em vez disso, eles basearam seu método no fato de que:

junto com uma tabela de recíprocos . Números cujos únicos fatores primos são 2, 3 ou 5 (conhecidos como 5 - números suaves ou regulares ) têm recíprocos finitos na notação sexagesimal, e foram encontradas tabelas com listas extensas desses recíprocos.

Recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc. não têm representações finitas na notação sexagesimal. Para calcular 1/13 ou dividir um número por 13, os babilônios usariam uma aproximação como:

Álgebra

A tabuinha de argila babilônica YBC 7289 (c. 1800–1600 aC) dá uma aproximação de 2 em quatro algarismos sexagesimais , 1; 24,51,10, que é preciso em cerca de seis dígitos decimais e é o mais próximo possível de três casas representação sexagesimal de 2 :

Além de cálculos aritméticos, os matemáticos da Babilônia também desenvolveram métodos algébricos de resolução de equações . Mais uma vez, foram baseados em tabelas pré-calculadas.

Para resolver uma equação quadrática , os babilônios usaram essencialmente a fórmula quadrática padrão . Eles consideraram equações quadráticas da forma:

onde b e c não eram necessariamente inteiros, mas c foi sempre positiva. Eles sabiam que uma solução para esta forma de equação é:

e eles encontraram raízes quadradas com eficiência usando divisão e média. Eles sempre usaram a raiz positiva porque isso fazia sentido ao resolver problemas "reais". Problemas desse tipo incluíam encontrar as dimensões de um retângulo de acordo com sua área e a quantidade em que o comprimento excede a largura.

Tabelas de valores de n 3  +  n 2 foram usadas para resolver certas equações cúbicas . Por exemplo, considere a equação:

Multiplicando a equação por a 2 e dividindo por b 3 resulta:

Substituindo y = ax / b dá:

que agora poderia ser resolvido examinando a tabela n 3  +  n 2 para encontrar o valor mais próximo do lado direito. Os babilônios conseguiram isso sem notação algébrica, mostrando uma notável profundidade de compreensão. No entanto, eles não tinham um método para resolver a equação cúbica geral.

Crescimento

Os babilônios modelaram o crescimento exponencial, o crescimento restrito (por meio de uma forma de funções sigmóides ) e o tempo de duplicação , o último no contexto de juros sobre empréstimos.

Comprimidos de argila de c. 2000 aC inclui o exercício "Dada uma taxa de juros de 1/60 por mês (sem composição), calcule o tempo de duplicação." Isso resulta em uma taxa de juros anual de 12/60 = 20% e, portanto, um tempo de duplicação de 100% de crescimento / 20% de crescimento por ano = 5 anos.

Plimpton 322

O comprimido Plimpton 322 contém uma lista de " triplos pitagóricos ", ou seja, inteiros como esse . Os triplos são muitos e grandes demais para serem obtidos pela força bruta.

Muito tem sido escrito sobre o assunto, incluindo algumas especulações (talvez anacrônicas) sobre se a tabuinha poderia ter servido como uma mesa trigonométrica inicial. Deve-se ter cuidado para ver o tablet em termos de métodos familiares ou acessíveis aos escribas na época.

[...] a pergunta "como foi calculado o tablet?" não precisa ter a mesma resposta que a pergunta "quais problemas o tablet apresenta?" A primeira pode ser respondida de maneira mais satisfatória por pares recíprocos, como sugerido pela primeira vez há meio século, e a segunda por algum tipo de problema do triângulo retângulo.

(E. Robson, "Nem Sherlock Holmes nem Babylon: uma reavaliação de Plimpton 322", Historia Math. 28 (3), p. 202).

Geometria

Os babilônios conheciam as regras comuns para medir volumes e áreas. Eles mediram a circunferência de um círculo como três vezes o diâmetro e a área como um duodécimo do quadrado da circunferência, o que estaria correto se π fosse estimado como 3. Eles estavam cientes de que esta era uma aproximação, e uma matemática da Antiga Babilônia a tabuinha escavada perto de Susa em 1936 (datada entre os séculos 19 e 17 aC) dá uma melhor aproximação de π como 25/8 = 3,125, cerca de 0,5 por cento abaixo do valor exato. O volume de um cilindro foi tomado como o produto da base pela altura, entretanto, o volume do tronco de um cone ou uma pirâmide quadrada foi incorretamente considerado o produto da altura pela metade da soma das bases. O teorema de Pitágoras também era conhecido pelos babilônios.

A "milha babilônica" era uma medida de distância igual a cerca de 11,3 km (ou cerca de sete milhas modernas). Essa medida de distâncias acabou sendo convertida em uma "milha do tempo" usada para medir a viagem do Sol, portanto, representando o tempo.

Os antigos babilônios conheciam teoremas relativos às proporções dos lados de triângulos semelhantes por muitos séculos, mas eles não tinham o conceito de medida de ângulo e, conseqüentemente, estudaram os lados dos triângulos.

Os astrônomos babilônios mantinham registros detalhados do surgimento e do ocaso das estrelas , o movimento dos planetas e os eclipses solares e lunares , todos exigindo familiaridade com distâncias angulares medidas na esfera celestial .

Eles também usaram uma forma de análise de Fourier para calcular efemérides (tabelas de posições astronômicas), que foram descobertas na década de 1950 por Otto Neugebauer . Para fazer cálculos dos movimentos dos corpos celestes, os babilônios usaram aritmética básica e um sistema de coordenadas baseado na eclíptica , a parte do céu por onde o sol e os planetas viajam.

Tabletes mantidos no Museu Britânico fornecem evidências de que os babilônios chegaram a ter um conceito de objetos em um espaço matemático abstrato. As tabuinhas datam de 350 a 50 AEC, revelando que os babilônios entendiam e usavam a geometria ainda antes do que se pensava. Os babilônios usaram um método para estimar a área sob uma curva desenhando um trapézio por baixo, uma técnica que se acreditava ter se originado na Europa do século XIV. Esse método de estimativa permitiu que eles, por exemplo, encontrassem a distância que Júpiter viajou em um determinado período de tempo.

Influência

Desde a redescoberta da civilização babilônica, tornou-se aparente que os matemáticos e astrônomos gregos e helenísticos , e em particular Hiparco , emprestaram muito dos babilônios .

Franz Xaver Kugler demonstrou em seu livro Die Babylonische Mondrechnung (" The Babylonian lunar computation ", Freiburg im Breisgau, 1900) o seguinte: Ptolomeu havia declarado em seu Almagesto IV.2 que Hipparchus melhorou os valores para os períodos lunares conhecidos por ele de " astrônomos ainda mais antigos "comparando as observações de eclipses feitas anteriormente pelos" caldeus "e por ele mesmo. No entanto, Kugler descobriu que os períodos que Ptolomeu atribuiu a Hiparco já haviam sido usados ​​nas efemérides da Babilônia , especificamente na coleção de textos hoje chamada de "Sistema B" (às vezes atribuída a Kidinnu ). Aparentemente, Hiparco apenas confirmou a validade dos períodos que aprendeu com os caldeus por meio de suas observações mais recentes.

É claro que Hiparco (e Ptolomeu depois dele) tinha uma lista essencialmente completa de observações de eclipses cobrindo muitos séculos. O mais provável é que tenham sido compilados a partir das tabuinhas do "diário": são tabuletas de argila que registram todas as observações relevantes que os caldeus faziam rotineiramente. Os exemplos preservados datam de 652 aC a 130 dC, mas provavelmente os registros remontam ao reinado do rei babilônico Nabonassar : Ptolomeu começa sua cronologia com o primeiro dia no calendário egípcio do primeiro ano de Nabonassar, ou seja, 26 de fevereiro 747 aC.

Essa matéria-prima por si só deve ter sido difícil de usar, e sem dúvida os próprios caldeus compilaram extratos de, por exemplo, todos os eclipses observados (foram encontradas algumas tabuinhas com uma lista de todos os eclipses em um período cobrindo um saros ). Isso permitiu que eles reconhecessem recorrências periódicas de eventos. Entre outros, eles usaram no Sistema B (cf. Almagesto IV.2):

  • 223 meses sinódicos = 239 retornos em anomalia ( mês anomalístico ) = 242 retornos em latitude ( mês dracônico ). Isso agora é conhecido como período saros , que é útil para prever eclipses .
  • 251 (sinódico) meses = 269 retornos em anomalia
  • 5458 meses (sinódicos) = 5923 retornos em latitude
  • 1 mês sinódico = 29; 31,50,08,20 dias (sexagesimal; 29,53059413 ... dias em decimais = 29 dias 12 horas 44 min 3⅓ s, PS em tempo real é 2,9 s, então 0,43 segundos desligado)

Os babilônios expressaram todos os períodos em meses sinódicos , provavelmente porque usaram um calendário lunisolar . Diversas relações com fenômenos anuais levam a valores diferentes para a duração do ano.

Da mesma forma, várias relações entre os períodos dos planetas eram conhecidas. As relações que Ptolomeu atribui a Hiparco em Almagesto IX.3 já haviam sido usadas em predições encontradas nas tábuas de argila da Babilônia.

Todo esse conhecimento foi transferido para os gregos, provavelmente logo após a conquista por Alexandre o Grande (331 aC). De acordo com o falecido filósofo clássico Simplício (início do século 6 DC), Alexandre ordenou a tradução dos registros astronômicos históricos sob a supervisão de seu cronista Calístenes de Olynthus , que os enviou a seu tio Aristóteles . Embora Simplício seja uma fonte tardia, seu relato pode ser confiável. Ele passou algum tempo no exílio na corte sassânida (persa) e pode ter acessado fontes perdidas no Ocidente. É surpreendente que ele mencione o título tèresis (grego: guarda), que é um nome estranho para uma obra histórica, mas é uma tradução adequada do título babilônico MassArt que significa guardar, mas também observar. De qualquer forma, o pupilo de Aristóteles, Calipo de Cízico, introduziu seu ciclo de 76 anos, que melhorou em relação ao ciclo metônico de 19 anos , mais ou menos nessa época. Ele teve o primeiro ano de seu primeiro ciclo começando no solstício de verão de 28 de junho de 330 aC ( data do calendário juliano proléptico ), mas depois ele parece ter contado os meses lunares do primeiro mês após a batalha decisiva de Alexandre em Gaugamela no outono de 331 aC. Portanto, Calipo pode ter obtido seus dados de fontes babilônicas e seu calendário pode ter sido antecipado por Kidinnu. Também se sabe que o sacerdote babilônico conhecido como Beroso escreveu por volta de 281 aC um livro em grego sobre a história (um tanto mitológica) da Babilônia, a Babilônia , para o novo governante Antíoco I ; diz-se que mais tarde ele fundou uma escola de astrologia na ilha grega de Kos . Outro candidato a ensinar aos gregos sobre astronomia / astrologia babilônica foi Sudines, que estava na corte de Attalus I Soter no final do século III aC.

Em qualquer caso, a tradução dos registros astronômicos exigia um conhecimento profundo da escrita cuneiforme , da língua e dos procedimentos, então parece provável que tenha sido feita por alguns caldeus não identificados. Agora, os babilônios datavam suas observações em seu calendário lunisolar, no qual meses e anos têm durações variadas (29 ou 30 dias; 12 ou 13 meses, respectivamente). Na época, eles não usavam um calendário regular (como o baseado no ciclo metônico como fizeram mais tarde), mas começaram um novo mês com base nas observações da Lua Nova . Isso tornava muito tedioso calcular o intervalo de tempo entre os eventos.

O que Hipparchus pode ter feito é transformar esses registros para o calendário egípcio , que usa um ano fixo de sempre 365 dias (consistindo de 12 meses de 30 dias e 5 dias extras): isso torna o cálculo dos intervalos de tempo muito mais fácil. Ptolomeu datou todas as observações neste calendário. Ele também escreve que "Tudo o que ele (= Hiparco) fez foi fazer uma compilação das observações planetárias organizadas de uma forma mais útil" ( Almagesto IX.2). Plínio afirma ( Naturalis Historia II.IX (53)) sobre as previsões de eclipses: "Depois de seu tempo (= Tales ), os cursos de ambas as estrelas (= Sol e Lua) por 600 anos foram profetizados por Hiparco, ...". Isso parece implicar que Hipparchus previu eclipses por um período de 600 anos, mas considerando a enorme quantidade de computação necessária, isso é muito improvável. Em vez disso, Hiparco teria feito uma lista de todos os eclipses desde a época de Nabonasser até a sua.

Outros vestígios da prática babilônica na obra de Hiparco são:

  • primeiro uso grego conhecido da divisão do círculo em 360 graus de 60 minutos de arco .
  • primeiro uso consistente do sistema numérico sexagesimal .
  • o uso da unidade pechus ("côvado") de cerca de 2 ° ou 2½ °.
  • uso de um curto período de 248 dias = 9 meses anômalos.

Veja também

Notas

Referências