Espaço Baire (teoria dos conjuntos) - Baire space (set theory)

Na teoria dos conjuntos , o espaço de Baire é o conjunto de todas as sequências infinitas de números naturais com uma determinada topologia . Este espaço é comumente usado na teoria descritiva dos conjuntos , na medida em que seus elementos são freqüentemente chamados de "reais". É denotado por N ^N , ^ω ω, pelo símbolo ou também por ω ^ω , não se confundindo com o ordinal contável obtido por exponenciação ordinal . ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

O espaço de Baire é definido como o produto cartesiano de inúmeras cópias contáveis do conjunto de números naturais e recebe a topologia do produto (onde cada cópia do conjunto de números naturais recebe a topologia discreta ). O espaço Baire é frequentemente representado usando a árvore de sequências finitas de números naturais.

O espaço de Baire pode ser contrastado com o espaço de Cantor , o conjunto de sequências infinitas de dígitos binários .

Topologia e árvores

A topologia do produto usada para definir o espaço de Baire pode ser descrita mais concretamente em termos de árvores. Os conjuntos abertos básicos da topologia do produto são conjuntos de cilindros , aqui caracterizados como:

Se qualquer conjunto finito de coordenadas numéricas naturais I = { i } for selecionado, e para cada i um valor de número natural particular v _i for selecionado, então o conjunto de todas as sequências infinitas de números naturais que têm valor v _i na posição i é um conjunto básico aberto. Cada conjunto aberto é uma união contável de uma coleção deles.

Usando uma notação mais formal, pode-se definir os cilindros individuais como

{\ displaystyle C_ {n} [v] = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ omega ^ {\ omega}: a_ {n} = v \}}

para uma localização de número inteiro fixo ne valor de número inteiro v . Os cilindros são os geradores dos conjuntos de cilindros: os conjuntos de cilindros consistem em todas as interseções de um número finito de cilindros. Ou seja, dado qualquer conjunto finito de coordenadas de números naturais e valores de números naturais correspondentes para cada um, considera-se a interseção de cilindros ${\ displaystyle I \ subseteq \ omega}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in I}$

{\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} C_ {i} [v_ {i}]}

Essa interseção é chamada de conjunto de cilindros e o conjunto de todos esses conjuntos de cilindros fornece uma base para a topologia do produto . Cada conjunto aberto é uma união contável de tais conjuntos de cilindros.

Movendo-se para uma base diferente para a mesma topologia, uma caracterização alternativa de conjuntos abertos pode ser obtida:

Se uma sequência de números naturais { w _i : i < n } for selecionada, então o conjunto de todas as sequências infinitas de números naturais que têm valor w _i na posição i para todos i < n é um conjunto básico aberto. Cada conjunto aberto é uma união contável de uma coleção deles.

Assim, um conjunto aberto básico no espaço de Baire é o conjunto de todas as sequências infinitas de números naturais estendendo um segmento inicial finito comum τ . Isso leva a uma representação do espaço de Baire como o conjunto de todos os caminhos infinitos que passam pela árvore inteira ω ^<ω de sequências finitas de números naturais ordenados por extensão. Cada segmento inicial finito é um nó da árvore de sequências finitas. Cada conjunto aberto é determinado por uma união (possivelmente infinita) de nós dessa árvore. Um ponto no espaço de Baire está em um conjunto aberto se e somente se seu caminho passa por um dos nós em sua união determinante.

A representação do espaço de Baire como caminhos através de uma árvore também fornece uma caracterização de conjuntos fechados. Cada ponto no espaço de Baire passa por uma sequência de nós de ω ^<ω . Conjuntos fechados são complementos de conjuntos abertos. Cada conjunto fechado consiste em todas as sequências de Baire que não passam por nenhum nó que define seu conjunto aberto complementar. Para qualquer subconjunto fechado C de espaço de Baire existe uma sub-árvore T de ω ^<ω tal que qualquer ponto x é em C se e somente se X é um caminho através T : a sub T consiste em todos os segmentos iniciais dos elementos de C . Por outro lado, o conjunto de caminhos através de qualquer subárvore de ω ^<ω é um conjunto fechado.

Os produtos cartesianos também têm uma topologia alternativa, a topologia de caixa . Essa topologia é muito mais precisa do que a topologia do produto, pois não limita o indicador definido como finito. Convencionalmente, o espaço de Baire não se refere a essa topologia; refere-se apenas à topologia do produto. ${\ displaystyle I = \ {i \ in \ omega \}}$

Propriedades

O espaço Baire possui as seguintes propriedades:

É um espaço polonês perfeito , o que significa que é um segundo espaço contável completamente metrizável, sem pontos isolados . Como tal, tem a mesma cardinalidade que a linha real e é um espaço Baire no sentido topológico do termo.
Tem dimensão zero e está totalmente desconectado .
Não é localmente compacto .
É universal para espaços poloneses no sentido de que pode ser mapeado continuamente em qualquer espaço polonês não vazio. Além disso, qualquer espaço polonês tem um subespaço G _δ denso homeomórfico a um subespaço G _{δ do} espaço de Baire.
O espaço de Baire é homeomórfico ao produto de qualquer número finito ou contável de cópias de si mesmo.
É o grupo de automorfismo de um modelo saturado contável e infinito de alguma teoria completa . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T}$

Relação com a linha real

O espaço de Baire é homeomórfico ao conjunto de números irracionais quando eles recebem a topologia de subespaço herdada da linha real. Um homeomorfismo entre o espaço de Baire e os irracionais pode ser construído usando frações contínuas . Ou seja, dada uma sequência , podemos atribuir um número irracional correspondente maior que 1 ${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ omega ^ {\ omega}}$

{\ displaystyle x = [a_ {0} +1; a_ {1} + 1, a_ {2} +1, \ cdots] = (a_ {0} +1) + {\ frac {1} {(a_ { 1} +1) + {\ frac {1} {(a_ {2} +1) + \ cdots}}}}}

Usando obtemos outro homeomorfismo dos irracionais no intervalo da unidade aberta e podemos fazer o mesmo para os irracionais negativos. Vemos que os irracionais são a soma topológica de quatro espaços homeomórficos ao espaço de Baire e, portanto, também homeomórficos ao espaço de Baire. ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle (0,1)}$

Do ponto de vista da teoria descritiva dos conjuntos , o fato de a linha real estar conectada causa dificuldades técnicas. Por isso, é mais comum estudar o espaço Baire. Como cada espaço polonês é a imagem contínua do espaço Baire, muitas vezes é possível provar resultados sobre espaços poloneses arbitrários mostrando que essas propriedades são válidas para o espaço Baire e são preservadas por funções contínuas .

ω ^ω também tem um interesse independente, mas menor, na análise real , onde é considerado um espaço uniforme . As estruturas uniformes de ω ^ω e Ir (os irracionais) são diferentes, entretanto: ω ^ω é completo em sua métrica usual, enquanto Ir não é (embora esses espaços sejam homeomórficos).

O operador de turno

O operador de deslocamento no espaço de Baire, quando mapeado para o intervalo unitário dos reais , torna - se o operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . Ou seja, dada uma sequência , o operador de deslocamento T retorna . Da mesma forma, dada a fração contínua , o mapa de Gauss retorna . O operador correspondente para funções do espaço de Baire ao plano complexo é o operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing ; é o operador de transferência do mapa de Gauss. Ou seja, considera-se mapas do espaço de Baire ao plano complexo . Este espaço de mapas herda uma topologia da topologia do produto no espaço Baire; por exemplo, pode-se considerar funções com convergência uniforme . O shift map, atuando neste espaço de funções, é então o operador GKW. ${\ displaystyle h (x) = 1 / x- \ lfloor 1 / x \ rfloor}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots)}$ ${\ displaystyle T (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) = (a_ {2}, \ cdots)}$ ${\ displaystyle x = [a_ {1}, a_ {2}, \ cdots]}$ ${\ displaystyle h (x) = [a_ {2}, \ cdots]}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

A medida de Haar do operador de deslocamento, ou seja, uma função invariante sob deslocamentos, é dada pela medida de Minkowski . Ou seja, tem-se isso , onde T é o deslocamento e E qualquer subconjunto mensurável de ω ^ω . ${\ displaystyle (...) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle (TE) ^ {\ prime} = E ^ {\ prime}}$