Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff - Baker–Campbell–Hausdorff formula

Em matemática , a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff é a solução para a equação ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$

para X e Y possivelmente não comutativos na álgebra de Lie de um grupo de Lie . Existem várias maneiras de escrever a fórmula, mas todas acabam por produzir uma expressão para os termos algébricos de Lie, isto é, como uma série formal (não necessariamente convergente) em e e comutadores iterados dos mesmos. Os primeiros termos desta série são: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Z = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac {1} {12}} [X, [X, Y]] - {\ frac {1} {12}} [Y, [X, Y]] + \ cdots \ ,,}$

onde " " indica termos envolvendo comutadores superiores de e . Se e são elementos suficientemente pequenos da álgebra de Lie de um grupo de Lie , a série é convergente. Enquanto isso, cada elemento suficientemente próximo da identidade em pode ser expresso como um pequeno em . Assim, podemos dizer que perto da identidade a multiplicação do grupo em —escrito como —pode ser expressa em termos puramente algébricos de Lie. A fórmula Baker-Campbell-Hausdorff pode ser usada para dar provas comparativamente simples de resultados profundos na correspondência de álgebra de Lie grupo-Lie . ${\ displaystyle \ cdots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g = e ^ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$

Se e são matrizes suficientemente pequenas , então podem ser calculadas como o logaritmo de , onde as exponenciais e o logaritmo podem ser calculados como séries de potências. O ponto da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff é então a afirmação altamente não óbvia que pode ser expressa como uma série em comutadores repetidos de e . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y}}$${\ displaystyle Z: = \ log \ left (e ^ {X} e ^ {Y} \ right)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Exposições modernas da fórmula podem ser encontradas, entre outros lugares, nos livros de Rossmann e Hall.

História

A fórmula tem o nome de Henry Frederick Baker , John Edward Campbell e Felix Hausdorff que declarou sua forma qualitativa, ou seja, que apenas comutadores e comutadores de comutadores, ad infinitum, são necessários para expressar a solução. Uma declaração anterior da forma foi esboçada por Friedrich Schur em 1890, onde uma série de potências convergentes é dada, com termos definidos recursivamente. Essa forma qualitativa é a que é usada nas aplicações mais importantes, como as provas relativamente acessíveis da correspondência de Lie e na teoria quântica de campos . Seguindo Schur, foi anotado na impressão por Campbell (1897); elaborado por Henri Poincaré (1899) e Baker (1902); e sistematizado geometricamente, e vinculado à identidade Jacobi por Hausdorff (1906). A primeira fórmula explícita real, com todos os coeficientes numéricos, é devida a Eugene Dynkin (1947). A história da fórmula é descrita em detalhes no artigo de Aquiles e Bonfiglioli e no livro de Bonfiglioli e Fulci.

Formulários explícitos

Para muitos propósitos, só é necessário saber que existe uma expansão para em termos de comutadores iterados de e ; os coeficientes exatos costumam ser irrelevantes. (Veja, por exemplo, a discussão da relação entre o grupo de Lie e homomorfismos da álgebra de Lie na Seção 5.2 do livro de Hall, onde os coeficientes precisos não desempenham nenhum papel no argumento.) Uma prova de existência notavelmente direta foi dada por Martin Eichler , veja também a seção "Resultados de existência" abaixo. ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Em outros casos, pode ser necessário obter informações detalhadas sobre e, portanto, é desejável calcular o mais explicitamente possível. Existem inúmeras fórmulas; descreveremos dois dos principais (a fórmula de Dynkin e a fórmula integral de Poincaré) nesta seção. ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$

Fórmula de Dynkin

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie . Deixar ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ exp: {\ mathfrak {g}} \ to G}$

seja o mapa exponencial . A seguinte fórmula combinatória geral foi introduzida por Eugene Dynkin (1947),

${\ displaystyle \ log (\ exp X \ exp Y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} \ sum _ { \ begin {smallmatrix} r_ {1} + s_ {1}> 0 \\\ vdots \\ r_ {n} + s_ {n}> 0 \ end {smallmatrix}} {\ frac {[X ^ {r_ {1 }} Y ^ {s_ {1}} X ^ {r_ {2}} Y ^ {s_ {2}} \ dotsm X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}]} {\ left ( \ sum _ {j = 1} ^ {n} (r_ {j} + s_ {j}) \ right) \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {n} r_ {i}! s_ {i}! }},}$

onde a soma é realizada sobre todos os valores não negativos de e , e a seguinte notação foi usada: ${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle r_ {i}}$

${\ displaystyle [X ^ {r_ {1}} Y ^ {s_ {1}} \ dotsm X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}] = [\ underbrace {X, [X, \ dotsm [X} _ {r_ {1}}, [\ underbrace {Y, [Y, \ dotsm [Y} _ {s_ {1}}, \, \ dotsm \, [\ underbrace {X, [X, \ dotsm [X} _ {r_ {n}}, [\ underbrace {Y, [Y, \ dotsm Y} _ {s_ {n}}]] \ dotsm]]}$

com o entendimento de que [ X ]: = X .

A série não é convergente em geral; é convergente (e na fórmula indicada é válida) para todos suficientemente pequeno e . Como [ A , A ] = 0 , o termo é zero se ou se e . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle s_ {n}> 1}$${\ displaystyle s_ {n} = 0}$${\ displaystyle r_ {n}> 1}$

Os primeiros termos são bem conhecidos, com todos os termos de ordem superior envolvendo [ X , Y ] e seus aninhamentos de comutador (assim, na álgebra de Lie ):

A lista acima lista todos os somatórios de ordem 5 ou inferior (ou seja, aqueles contendo 5 ou menos X's e Y's). O X ↔ Y (anti -) / simetria em ordens alternadas de expansão, segue de Z ( Y , X ) = - Z (- X , - Y ) . Uma prova elementar completa desta fórmula pode ser encontrada aqui .

Uma fórmula integral

Existem inúmeras outras expressões para , muitas das quais são usadas na literatura da física. Uma fórmula integral popular é ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle \ log \ left (e ^ {X} e ^ {Y} \ right) = X + \ left (\ int _ {0} ^ {1} \ psi \ left (e ^ {\ operatorname {ad} _ {X}} ~ e ^ {t \ operatorname {ad} _ {Y}} \ right) dt \ right) Y,}$

envolvendo a função geradora para os números de Bernoulli ,

${\ displaystyle \ psi (x) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ {\ frac {x \ log x} {x-1}} = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(1-x) ^ {n} \ sobre n (n + 1)} ~,}$

utilizado por Poincaré e Hausdorff.

Ilustração do grupo Matrix Lie

Para um grupo de Lie de matriz, a álgebra de Lie é o espaço tangente da identidade I , e o comutador é simplesmente [ X ,  Y ] = XY  -  YX ; o mapa exponencial é o mapa exponencial padrão de matrizes , ${\ displaystyle G \ subset {\ mbox {GL}} (n, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle \ exp X = e ^ {X} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {n}} {n!}}.}$

Quando se resolve para Z em

${\ displaystyle e ^ {Z} = e ^ {X} e ^ {Y},}$

usando as expansões de série para exp e log, obtém-se uma fórmula mais simples:

${\ displaystyle Z = \ sum _ {n> 0} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} \ sum _ {\ stackrel {r_ {i} + s_ {i}> 0 } {1 \ leq i \ leq n}} {\ frac {X ^ {r_ {1}} Y ^ {s_ {1}} \ cdots X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}} {r_ {1}! s_ {1}! \ cdots r_ {n}! s_ {n}!}}, \ quad \ | X \ | + \ | Y \ | <\ log 2, \ | Z \ | < \ log 2.}$

Os termos de primeiro, segundo, terceiro e quarto ordem são:

• ${\ displaystyle z_ {1} = X + Y}$
• ${\ displaystyle z_ {2} = {\ frac {1} {2}} (XY-YX)}$
• ${\ displaystyle z_ {3} = {\ frac {1} {12}} \ left (X ^ {2} Y + XY ^ {2} -2XYX + Y ^ {2} X + YX ^ {2} -2YXY \direito)}$
• ${\ displaystyle z_ {4} = {\ frac {1} {24}} \ left (X ^ {2} Y ^ {2} -2XYXY-Y ^ {2} X ^ {2} + 2YXYX \ right). }$

As fórmulas para os vários 's não é a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Em vez disso, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff é uma das várias expressões para 's em termos de comutadores repetidos de e . A questão é que está longe de ser óbvio que seja possível expressar cada um em termos de comutadores. (O leitor é convidado, por exemplo, a verificar por cálculo direto que é expressável como uma combinação linear dos dois comutadores de terceira ordem não triviais de e , ou seja, e .) O resultado geral de que cada um é expressável como uma combinação de comutadores foi mostrado de forma elegante e recursiva de Eichler. ${\ displaystyle z_ {j}}$${\ displaystyle z_ {j}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle z_ {j}}$${\ displaystyle z_ {3}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [X, [X, Y]]}$${\ displaystyle [Y, [X, Y]]}$${\ displaystyle z_ {j}}$

Uma consequência da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff é o seguinte resultado sobre o traço :

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ log \ left (e ^ {X} e ^ {Y} \ right) = \ operatorname {tr} X + \ operatorname {tr} Y.}$

Ou seja, uma vez que cada um com é exprimível como uma combinação linear de comutadores, o traço de cada um desses termos é zero. ${\ displaystyle z_ {j}}$${\ displaystyle j \ geq 2}$

Questões de convergência

Suponha e sejam as seguintes matrizes na álgebra de Lie (o espaço de matrizes com traço zero): ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ pi \\\ pi & 0 \ end {pmatrix}}; \ quad Y = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$.

Então

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

Em seguida, não é difícil mostrar que não existe uma matriz em com . (Exemplos semelhantes podem ser encontrados no artigo de Wei.) ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ operatorname {sl} (2; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}$

Este exemplo simples ilustra que as várias versões da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff, que fornecem expressões para Z em termos de colchetes de Lie iterados de X e Y , descrevem séries de potências formais cuja convergência não é garantida. Assim, se alguém quiser que Z seja um elemento real da álgebra de Lie contendo X e Y (em oposição a uma série de potências formal), deve-se supor que X e Y são pequenos. Assim, a conclusão de que a operação do produto em um grupo de Lie é determinada pela álgebra de Lie é apenas uma afirmação local. Na verdade, o resultado não pode ser global, porque globalmente pode-se ter grupos de Lie não isomórficos com álgebras de Lie isomórficas.

Concretamente, se trabalhar com uma álgebra de Lie matricial e for uma dada norma de matriz submultiplicativa , a convergência é garantida se ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ | X \ | + \ | Y \ | <{\ frac {\ ln 2} {2}}.}$

Casos especiais

Isto é , se e comutar, a fórmula Baker-Campbell-Hausdorff se reduz a . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [X, Y] = 0}$${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y}}$

Outro caso assume que comuta com ambos e , como para o grupo de Heisenberg nilpotente . Então, a fórmula se reduz aos três primeiros termos . ${\ displaystyle [X, Y]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Teorema : Se e comutar com seu comutador , então . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [X, [X, Y]] = [Y, [X, Y]] = 0}$${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y]}}$

Este é o caso degenerado usado rotineiramente na mecânica quântica , conforme ilustrado a seguir. Nesse caso, não há restrições de pequenez em e . Esse resultado está por trás das "relações de comutação exponenciadas" que entram no teorema de Stone-von Neumann . Uma prova simples dessa identidade é fornecida abaixo. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Outra forma útil da fórmula geral enfatiza a expansão em termos de Y e usa a notação de mapeamento adjunto : ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {X} (Y) = [X, Y]}$

${\ displaystyle \ log (\ exp X \ exp Y) = X + {\ frac {\ operatorname {ad} _ {X}} {1-e ^ {- \ operatorname {ad} _ {X}}}} ~ Y + O \ left (Y ^ {2} \ right) = X + \ operatorname {ad} _ {X / 2} (1+ \ coth \ operatorname {ad} _ {X / 2}) ~ Y + O \ left ( Y ^ {2} \ right),}$

o que é evidente a partir da fórmula integral acima. (Os coeficientes dos comutadores aninhados com um único são números de Bernoulli normalizados.) ${\ displaystyle Y}$

Agora suponha que o comutador seja um múltiplo de , de modo que . Então, todos os comutadores iterados serão múltiplos de , e nenhum termo quadrático ou superior aparecerá. Assim, o termo acima desaparece e obtemos: ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [X, Y] = sY}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle O \ left (Y ^ {2} \ right)}$

Teorema : Se , onde é um número complexo com para todos os inteiros , então temos ${\ displaystyle [X, Y] = sY}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s \ neq 2 \ pi in}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = \ exp \ left (X + {\ frac {s} {1-e ^ {- s}}} Y \ right).}$

Novamente, neste caso, não há restrição de pequenez em e . A restrição de garante que a expressão do lado direito faça sentido. (Quando podemos interpretar .) Também obtemos uma "identidade de trança" simples: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s = 0}$${\ textstyle \ lim _ {s \ to 0} s / (1-e ^ {- s}) = 1}$

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {\ exp (s) Y} e ^ {X},}$

que pode ser escrito como uma dilatação adjunta:

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} e ^ {- X} = e ^ {\ exp (s) \, Y}.}$

Resultados de existência

Se e são matrizes, pode-se calcular usando a série de potências para o exponencial e logaritmo, com convergência das séries se e são suficientemente pequenas. É natural reunir todos os termos em que o grau total é igual a e é igual a um número fixo , dando uma expressão . (Veja a seção "Ilustração de grupo de matriz de Lie" acima para fórmulas para os primeiros vários .) Uma prova recursiva notavelmente direta e concisa de que cada um é expressável em termos de comutadores repetidos de e foi dada por Martin Eichler . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z: = \ log \ left (e ^ {X} e ^ {Y} \ right)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Alternativamente, podemos dar um argumento de existência como segue. A fórmula Baker-Campbell-Hausdorff implica que se X e Y estão em alguma álgebra de Lie definida sobre qualquer campo de característica 0 como ou , então ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle Z = \ log (\ exp (X) \ exp (Y)),}$

pode ser formalmente escrito como uma soma infinita de elementos de . [Esta série infinita pode ou não convergir, portanto, não precisa definir um elemento real Z in .] Para muitas aplicações, a mera garantia da existência desta expressão formal é suficiente, e uma expressão explícita para essa soma infinita não é necessária . Este é, por exemplo, o caso na construção Lorentziana de uma representação de grupo de Lie a partir de uma representação de álgebra de Lie. A existência pode ser vista como segue. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Consideramos o anel de todas as séries de potências não-pendulares formais com coeficientes reais nas variáveis não-pendulares X e Y . Há um homomorfismo de anel de S para o produto tensorial de S com S sobre R , ${\ displaystyle S = \ mathbb {R} [[X, Y]]}$

${\ displaystyle \ Delta \ dois pontos S \ a S \ otimes S}$,

chamado de coproduto , de modo que

${\ displaystyle \ Delta (X) = X \ otimes 1 + 1 \ otimes X}$  e   .${\ displaystyle \ Delta (Y) = Y \ otimes 1 + 1 \ otimes Y}$

(A definição de Δ é estendida aos outros elementos de S ao exigir R- linearidade, multiplicatividade e aditividade infinita.)

Pode-se então verificar as seguintes propriedades:

• O mapa exp, definido por sua série de Taylor padrão, é uma bijeção entre o conjunto de elementos de S com termo constante 0 e o conjunto de elementos de S com termo constante 1; o inverso de exp é log
• ${\ displaystyle r = \ exp (s)}$é semelhante a um grupo (isso significa ) se e somente se s for primitivo (isso significa ).${\ displaystyle \ Delta (r) = r \ otimes r}$ ${\ displaystyle \ Delta (s) = s \ otimes 1 + 1 \ otimes s}$
• Os elementos semelhantes a grupos formam um grupo sob multiplicação.
• Os elementos primitivos são exatamente as somas infinitas formais dos elementos da álgebra de Lie gerada por X e Y , onde o colchete de Lie é dado pelo comutador . ( Teorema de Friedrichs )${\ displaystyle [U, V] = UV-VU}$

A existência da fórmula de Campbell-Baker-Hausdorff agora pode ser vista como segue: Os elementos X e Y são primitivos, portanto e são semelhantes a grupos; portanto, seu produto também é semelhante a um grupo; portanto, seu logaritmo é primitivo; e, portanto, pode ser escrita como uma soma infinita de elementos da álgebra de Lie gerado por X e Y . ${\ displaystyle \ exp (X)}$${\ displaystyle \ exp (Y)}$${\ displaystyle \ exp (X) \ exp (Y)}$${\ displaystyle \ log (\ exp (X) \ exp (Y))}$

A álgebra envelopante da álgebra de Lie livre gerada por X e Y é isomorfa a álgebra de todos os polinómios de não-pendulares em X e Y . Em comum com todas as álgebras envolventes universais, tem uma estrutura natural de uma álgebra de Hopf , com um coproduto Δ. O anel S usado acima é apenas uma conclusão desta álgebra de Hopf.

Fórmula de Zassenhaus

Uma expansão combinatória relacionada que é útil em aplicações duplas é

${\ displaystyle e ^ {t (X + Y)} = e ^ {tX} ~ e ^ {tY} ~ e ^ {- {\ frac {t ^ {2}} {2}} [X, Y]} ~ e ^ {{\ frac {t ^ {3}} {6}} (2 [Y, [X, Y]] + [X, [X, Y]])} ~ e ^ {{\ frac {- t ^ {4}} {24}} ([[[X, Y], X], X] +3 [[[X, Y], X], Y] +3 [[[X, Y], Y ], Y])} \ cdots}$

onde os expoentes de ordem superior em t são igualmente comutadores aninhados, ou seja, polinômios de Lie homogêneos. Esses expoentes, C _n em exp (- tX ) exp ( t ( X + Y )) = Π _n exp ( t ⁿ C _n ) , seguem recursivamente pela aplicação da expansão de BCH acima.

Como corolário disso, segue -se a decomposição Suzuki-Trotter .

Um importante lema e sua aplicação a um caso especial da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

A identidade

Seja G um grupo de Lie matricial eg sua álgebra de Lie correspondente. Seja ad _X o operador linear em g definido por ad _X Y = [ X , Y ] = XY - YX para algum X fixo ∈ g . (O endomorfismo adjunto encontrado acima.) Denote com Ad _A para A ∈ G fixo a transformação linear de g dada por Ad _A Y = AYA ⁻¹ .

Um lema combinatório padrão que é utilizado na produção das expansões explícitas acima é dado por

${\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {e ^ {X}} = e ^ {\ operatorname {ad} _ {X}},}$

então, explicitamente,

${\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {e ^ {X}} Y = e ^ {X} Ye ^ {- X} = e ^ {\ operatorname {ad} _ {X}} Y = Y + \ left [X , Y \ direita] + {\ frac {1} {2!}} [X, [X, Y]] + {\ frac {1} {3!}} [X, [X, [X, Y]] ] + \ cdots.}$

Esta é uma fórmula particularmente útil que é comumente usada para conduzir transformações unitárias na mecânica quântica . Ao definir o comutador iterado,

${\ displaystyle [(X) ^ {n}, Y] \ equiv \ underbrace {[X, \ dotsb [X, [X} _ {n {\ text {times}}}, Y]] \ dotsb], \ quad [(X) ^ {0}, Y] \ equiv Y,}$

podemos escrever esta fórmula de forma mais compacta,

${\ displaystyle e ^ {X} Ye ^ {- X} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {[(X) ^ {n}, Y]} {n!}}. }$

Esta fórmula pode ser provada pela avaliação da derivada em relação a s de f  ( s ) Y ≡ e ^sX Y e ^{- sX} , solução da equação diferencial resultante e avaliação em s  = 1,

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} f (s) Y = {\ frac {d} {ds}} \ left (e ^ {sX} Ye ^ {- sX} \ right) = Xe ^ { sX} Sim ^ {- sX} -e ^ {sX} Sim ^ {- sX} X = \ operatorname {ad} _ {X} (e ^ {sX} Sim ^ {- sX})}$

ou

${\ displaystyle f '(s) = \ operatorname {ad} _ {X} f (s), \ qquad f (0) = 1 \ qquad \ Longrightarrow \ qquad f (s) = e ^ {s \ operatorname {ad } _ {X}}.}$

Uma aplicação da identidade

Para [ X, Y ] central, ou seja, comutando com X e Y ,

${\ displaystyle e ^ {sX} Ye ^ {- sX} = Y + s [X, Y] ~.}$

Consequentemente, para g ( s ) ≡ e ^sX e ^sY , segue-se que

${\ displaystyle {\ frac {dg} {ds}} = {\ Bigl (} X + e ^ {sX} Ye ^ {- sX} {\ Bigr)} g (s) = (X + Y + s [X , Y]) ~ g (s) ~,}$

cuja solução é

${\ displaystyle g (s) = e ^ {s (X + Y) + {\ frac {s ^ {2}} {2}} [X, Y]} ~.}$

A tomada dá um dos casos especiais da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff descrita acima: ${\ displaystyle s = 1}$

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y]} ~.}$

Mais geralmente, para não central [ X, Y ] , a seguinte identidade de trançamento segue prontamente,

${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {(Y + \ left [X, Y \ right] + {\ frac {1} {2!}} [X, [X, Y]] + {\ frac {1} {3!}} [X, [X, [X, Y]]] + \ cdots)} ~ e ^ {X}.}$

Caso infinitesimal

Uma variante particularmente útil do acima é a forma infinitesimal. Isso é comumente escrito como

${\ displaystyle e ^ {- X} de ^ {X} = dX - {\ frac {1} {2!}} \ left [X, dX \ right] + {\ frac {1} {3!}} [ X, [X, dX]] - {\ frac {1} {4!}} [X, [X, [X, dX]]] + \ cdots}$

Esta variação é comumente usada para escrever coordenadas e vielbeins como retrocessos da métrica em um grupo de Lie.

Por exemplo, escrevendo para algumas funções e uma base para a álgebra de Lie, calcula-se prontamente que ${\ displaystyle X = X ^ {i} e_ {i}}$${\ displaystyle X ^ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$

${\ displaystyle e ^ {- X} de ^ {X} = dX ^ {i} e_ {i} - {\ frac {1} {2!}} X ^ {i} dX ^ {j} {f_ {ij }} ^ {k} e_ {k} + {\ frac {1} {3!}} X ^ {i} X ^ {j} dX ^ {k} {f_ {jk}} ^ {l} {f_ { il}} ^ {m} e_ {m} - \ cdots,}$

para as constantes de estrutura da álgebra de Lie. ${\ displaystyle [e_ {i}, e_ {j}] = {f_ {ij}} ^ {k} e_ {k}}$

A série pode ser escrita de forma mais compacta (cf. artigo principal) como

${\ displaystyle e ^ {- X} de ^ {X} = e_ {i} {W ^ {i}} _ {j} dX ^ {j},}$

com a série infinita

${\ displaystyle W = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} M ^ {n}} {(n + 1)!}} = (Ie ^ { -M}) M ^ {- 1}.}$

Aqui, M é uma matriz cujos elementos da matriz são . ${\ displaystyle {M_ {j}} ^ {k} = X ^ {i} {f_ {ij}} ^ {k}}$

A utilidade desta expressão vem do fato de que a matriz M é um vielbein. Assim, dado algum mapa de alguma variedade N para alguma variedade G , o tensor métrico na variedade N pode ser escrito como o retrocesso do tensor métrico no grupo de Lie G , ${\ displaystyle N \ a G}$${\ displaystyle B_ {mn}}$

${\ displaystyle g_ {ij} = {W_ {i}} ^ {m} {W_ {j}} ^ {n} B_ {mn}.}$

O tensor métrico no grupo de Lie é a métrica Cartan, a forma Killing . Para variedade N a (pseudo-) Riemanniana , a métrica é uma métrica (pseudo-) Riemanniana . ${\ displaystyle B_ {mn}}$

Aplicação em mecânica quântica

Um caso especial da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff é útil na mecânica quântica e especialmente na óptica quântica , onde X e Y são operadores espaciais de Hilbert , gerando a álgebra de Lie de Heisenberg . Especificamente, os operadores de posição e momento na mecânica quântica, geralmente denotados e , satisfazem a relação de comutação canônica: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle [X, P] = i \ hbar I}$

onde está o operador de identidade. Segue isso e comuta com seu comutador. Assim, se aplicássemos formalmente um caso especial da fórmula Baker-Campbell-Hausdorff (mesmo que e sejam operadores ilimitados e não matrizes), concluiríamos que ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle e ^ {iaX} e ^ {ibP} = e ^ {i \ left (aX + bP - {\ frac {ab \ hbar} {2}} \ right)}.}$

Essa "relação de comutação exponenciada" realmente se mantém e forma a base do teorema de Stone-von Neumann .

Uma aplicação relacionada são os operadores de aniquilação e criação , â e â ^† . Seu comutador [ â ^† , â ] = - I é central , isto é, comuta com â e â ^† . Conforme indicado acima, a expansão, então, entra em colapso para a forma degenerada semi-trivial:

${\ displaystyle e ^ {v {\ hat {a}} ^ {\ dagger} -v ^ {*} {\ hat {a}}} = e ^ {v {\ hat {a}} ^ {\ dagger} } e ^ {- v ^ {*} {\ hat {a}}} e ^ {- | v | ^ {2} / 2},}$

onde v é apenas um número complexo.

Este exemplo ilustra a resolução do operador de deslocamento , exp ( vâ ^† - v ^* â ) , em exponenciais de aniquilação e operadores de criação e escalares.

Esta fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff exibe então o produto de dois operadores de deslocamento como outro operador de deslocamento (até um fator de fase), com o deslocamento resultante igual à soma dos dois deslocamentos,

${\ displaystyle e ^ {v {\ hat {a}} ^ {\ dagger} -v ^ {*} {\ hat {a}}} e ^ {u {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - u ^ {*} {\ hat {a}}} = e ^ {(v + u) {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - (v ^ {*} + u ^ {*}) {\ chapéu {a}}} e ^ {(vu ^ {*} - uv ^ {*}) / 2},}$

já que o grupo de Heisenberg eles fornecem uma representação de é nilpotente . A fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff também é freqüentemente usada na teoria quântica de campos .

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

• Achilles, R., & Bonfiglioli, A. (2012). "As primeiras provas do teorema de Campbell, Baker, Hausdorff e Dynkin". Arquivo de história das ciências exatas , 66 (3), 295-358. doi : 10.1007 / s00407-012-0095-8
• Yu.A. Bakhturin (2001) [1994], "fórmula de Campbell – Hausdorff" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Bonfiglioli, A., Fulci, R. (2012): Tópicos em Álgebra Não Comutativa: O Teorema de Campbell, Baker, Hausdorff e Dynkin. Springer
• L. Corwin & FP Greenleaf, Representação de grupos de Lie nilpotentes e suas aplicações, Parte 1: Teoria básica e exemplos , Cambridge University Press , Nova York, 1990, ISBN  0-521-36034-X .
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer Publishing , ISBN 978-3-540-59179-5
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 978-0-19-859683-7
• Serre, Jean-Pierre (1965). Álgebras de Lie e grupos de Lie . Benjamin.
• Schmid, Wilfried (1982). "Grupos Poincaré e Lie" (PDF) . Boletim da American Mathematical Society . 6 : 175−186. doi : 10.1090 / s0273-0979-1982-14972-2 .
• Shlomo Sternberg (2004) Lie Algebras , Orange Grove Books, ISBN  978-1616100520 grátis, online
• Veltman, M , 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", palestras online .

links externos

• CK Zachos , Crib Notes on CBH expansions doi : 10.13140 / 2.1.3090.2409
• Página MathWorld