Problema de falência - Bankruptcy problem

Um problema de falência , também chamado de problema de sinistros , é um problema de distribuição de um bem divisível homogêneo (como dinheiro) entre pessoas com diferentes sinistros . O foco está no caso em que o valor seja insuficiente para atender a todas as demandas.

O pedido canônico é uma empresa falida em vias de liquidação . A empresa deve diferentes quantias de dinheiro a diferentes credores , mas o valor total dos ativos da empresa é menor do que sua dívida total. O problema é como dividir o escasso dinheiro existente entre os credores.

Outra aplicação seria a divisão de um espólio entre vários herdeiros , principalmente quando o espólio não possa cumprir todos os compromissos do falecido.

Uma terceira aplicação é a avaliação de impostos . Pode-se considerar os requerentes como contribuintes, as reivindicações como as receitas e a dotação como a receita total após os impostos. Determinar a alocação da receita total após os impostos é equivalente a determinar a alocação dos pagamentos de impostos.

Definições

A quantia disponível para dividir é indicada por (= Propriedade ou Doação). Existem n requerentes . Cada reclamante i tem uma reivindicação denotada por . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$

Presume-se que , ou seja, os sinistros totais são (fracamente) maiores do que a propriedade. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ geq E}$

Uma regra de divisão é uma função que mapeia uma instância do problema para um vetor tal que e para todos os i . Ou seja: cada requerente recebe, no máximo, a sua reivindicação, ea soma das alocações é exatamente a propriedade E . ${\ displaystyle (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}, E)}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = E}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq c_ {i}}$

Generalizações

Existem variantes generalizadas nas quais os sinistros totais podem ser menores que o patrimônio. Nessas variantes generalizadas, não é presumido e não é obrigatório. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ geq E}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq c_ {i}}$

Outra generalização, inspirada em problemas de falência realistas, é adicionar uma ordem de prioridade exógena entre os reclamantes, que pode ser diferente mesmo para reclamantes com créditos idênticos. Esse problema é chamado de problema de sinistros com prioridades . Outra variante é chamada de problema de sinistros com pesos.

Regras

Existem várias regras para resolver os problemas de falência na prática.

A regra proporcional divide o espólio proporcionalmente ao crédito de cada agente. Formalmente, cada reclamante i recebe , onde r é uma constante escolhida tal que . Denotamos o resultado da regra proporcional por . ${\ displaystyle r \ cdot c_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} r \ cdot c_ {i} = E}$ ${\ displaystyle PROP (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; E)}$
Há uma variante chamada regra proporcional de reivindicações truncadas , em que cada reivindicação maior que E é truncada para E e, em seguida, a regra proporcional é ativada. Ou seja, é igual a onde . ${\ displaystyle PROP (c_ {1} ', \ ldots, c_ {n}', E)}$ ${\ displaystyle c '_ {i}: = \ min (c_ {i}, E)}$
A regra proporcional ajustada atribui primeiro, a cada agente i , o seu direito mínimo , que é o valor não reclamado pelos demais agentes. Formalmente ,. Observe que isso implica . Em seguida, ele revisa a reivindicação do agente i para , e a propriedade para . Observe isso . Por fim, ativa a regra proporcional de reivindicações truncadas, ou seja, retorna , onde . Com dois requerentes, as reivindicações revisadas são sempre iguais, portanto, o restante é dividido igualmente. Com três ou mais requerentes, as reivindicações revisadas podem ser diferentes. ${\ displaystyle m_ {i}: = \ max (0, E- \ sum _ {j \ neq i} c_ {j})}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} \ geq E}$ ${\ displaystyle m_ {i} \ leq c_ {i}}$ ${\ displaystyle c '_ {i}: = c_ {i} -m_ {i}}$ ${\ displaystyle E ': = E- \ sum _ {i} m_ {i}}$ ${\ displaystyle E '\ geq 0}$ ${\ displaystyle TPROP (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}, E ') = PROP (c_ {1}' ', \ ldots, c_ {n}' ', E')}$ ${\ displaystyle c '' _ {i}: = \ min (c '_ {i}, E')}$
A regra de premiação igualitária restrita divide o patrimônio igualmente entre os agentes, garantindo que ninguém receba mais do que seu crédito. Formalmente, cada reclamante i recebe , onde r é uma constante escolhida tal que . Denotamos o resultado desta regra por . No contexto da tributação, é conhecido como nivelamento do imposto . ${\ displaystyle \ min (c_ {i}, r)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ min (c_ {i}, r) = E}$ ${\ displaystyle CEA (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; E)}$
A regra de perdas iguais restritas divide igualmente a diferença entre o crédito agregado e o patrimônio, garantindo que nenhum agente termine com uma transferência negativa. Formalmente, cada reclamante i recebe , onde r é escolhido de forma que . Esta regra foi discutida por Maimonides . No contexto tributário, é conhecido como poll tax . ${\ displaystyle \ max (0, c_ {i} -r)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ max (0, c_ {i} -r) = E}$
A regra do vestuário contestada (também chamada de regra do Talmud ) usa a regra CEA em metade das reivindicações se a propriedade for menor que a metade da reivindicação total; caso contrário, dá a cada reclamante metade de suas reivindicações e aplica a regra CEL. Formalmente, se então ; Caso contrário, . ${\ displaystyle 2E <\ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i}}$ ${\ displaystyle CG (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; E) = CEA (c_ {1} / 2, \ ldots, c_ {n} / 2; E)}$ ${\ displaystyle CG (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; E) = c / 2 + CEL (c_ {1} / 2, \ ldots, c_ {n} / 2; E- \ sum _ { j} (c_ {j} / 2))}$
A seguinte regra é atribuída a Piniles. Se a soma dos sinistros for maior que 2 E , aplica-se a regra do CEA na metade dos sinistros, ou seja, retorna ; Caso contrário, dá a cada agente metade do crédito e depois aplica o CEA no restante, ou seja, ele retorna . ${\ displaystyle CEA (c_ {1} / 2, \ ldots, c_ {n} / 2; E)}$ ${\ displaystyle (c_ {1} / 2, \ ldots, c_ {n} / 2) + CEA (c_ {1} / 2, \ ldots, c_ {n} / 2; E- \ sum _ {j = 1 } ^ {n} c_ {j} / 2)}$
A regra igualitária restrita funciona da seguinte maneira. Se a soma das reivindicações for maior que 2 E , então ele aplica a regra do CEA em metade das reivindicações, atribuindo a cada reclamante i . Caso contrário, dá cada i agente , Em ambos os casos, R é uma constante escolhida de tal modo que a soma das alocações é igual a E . ${\ displaystyle \ min (c_ {i} / 2, r)}$ ${\ displaystyle \ max (c_ {i} / 2, \ min (c_ {i}, r))}$
A regra de chegada aleatória funciona da seguinte maneira. Suponha que os requerentes cheguem um por um. Cada reclamante recebe todo o seu crédito, até o valor disponível. A regra retorna a média dos vetores de alocação resultantes quando a ordem de chegada é escolhida uniformemente ao acaso. Formalmente:

${\ displaystyle RA (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; E) = {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ pi \ in {\ text {permutações}}} \ min (c_ {i}, \ max (0, E- \ sum _ {\ pi (j) <\ pi (i)} c_ {j}))}$ .

Regras de falência e jogos cooperativos

Jogos de barganha

É possível associar cada problema de falência a um problema de negociação cooperativa e usar uma regra de negociação para resolver o problema de falência. Então:

A solução de barganha de Nash corresponde à regra de premiação igual restrita ;
A solução de negociação igualitária lexicográfica também corresponde à regra de premiação igualitária restrita;
A solução de barganha de Nash ponderada , com pesos iguais aos sinistros, corresponde à regra proporcional ;
A solução de barganha Kalai-Smorodinsky corresponde à regra proporcional das reivindicações truncadas;
A solução de negociação de perdas iguais estendidas corresponde à regra de perdas iguais com restrições de reivindicações truncadas.

Jogos de coalizão

É possível associar cada problema de falência a um jogo cooperativo em que o valor de cada coalizão é seu direito mínimo - o valor que essa coalizão pode garantir a si mesma se todos os outros reclamantes obtiverem seu crédito integral (ou seja, o valor que essa coalizão pode obter sem ir a tribunal). Formalmente, o valor de cada subconjunto S de requerentes é . O jogo resultante é convexo , então seu núcleo não é vazio. Pode-se usar um conceito de solução para jogos cooperativos, para resolver o problema de falência correspondente. Toda regra de divisão que depende apenas das reivindicações truncadas corresponde a uma solução de jogo cooperativo. Em particular: ${\ displaystyle v (S): = \ max \ left (0, ~ E- \ sum _ {j \ not \ in S} c_ {j} \ right)}$

O valor de Shapley corresponde à regra de chegada aleatória;
O prenucléolo corresponde à regra do Talmud;
A solução Dutta-Ray corresponde à regra de premiação igual restrita;
A solução do valor Tau corresponde à regra proporcional ajustada.

Uma forma alternativa para associar um problema reivindicações com um jogo cooperativo é o seu direito máximo - a quantidade que esta coalizão pode garantir a si mesmo se todos os outros pretendentes soltar suas reivindicações: . ${\ displaystyle v (S): = \ min \ left (E, \ sum _ {j \ in S} c_ {j} \ right)}$

Propriedades das regras de divisão

Na maioria das configurações, as regras de divisão são frequentemente necessárias para satisfazer as seguintes propriedades básicas:

Viabilidade : a soma das alocações é no máximo o patrimônio total ,. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ leq E}$
Eficiência : mais forte do que a viabilidade: a soma das alocações é igual ao patrimônio total ,. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = E}$
Não negatividade : cada reclamante deve receber um valor não negativo ,. ${\ displaystyle \ forall i: x_ {i} \ geq 0}$
Limitação de reivindicações : cada reclamante deve obter no máximo sua reivindicação ,. ${\ displaystyle \ forall i: x_ {i} \ leq c_ {i}}$
Mínimas de direitos : mais fortes do que os não-negatividade: cada requerente deve obter pelo menos o direito mínimo, que é o que resta se todos os outros agentes de obter suas reivindicações completa: . ${\ displaystyle \ forall i: x_ {i} \ geq m_ {i}, {\ text {onde}} m_ {i}: = \ max (0, E- \ sum _ {j \ neq i} c_ {j })}$ ${\ displaystyle \ forall i: x_ {i} \ geq m_ {i}, {\ text {onde}} m_ {i}: = \ max (0, E- \ sum _ {j \ neq i} c_ {j })}$
- Observe que a eficiência, a não negatividade e a delimitação das reivindicações juntas implicam em direitos mínimos.
Igualdade de tratamento entre iguais (ETE) : dois pretendentes com reivindicações idênticas devem obter alocações idênticos: . Em problemas generalizados de sinistros com prioridades , o tratamento igual de iguais é necessário para os agentes em cada classe de prioridade, mas não para os agentes em classes de prioridade diferentes. ${\ displaystyle c_ {i} = c_ {j} \ implica x_ {i} = x_ {j}}$
Tratamento igual para grupos iguais : mais forte do que ETE: dois subconjuntos de requerentes com o mesmo crédito total devem receber a mesma alocação total.
Anonimato : mais forte do que ETE: se permutamos o vetor de reivindicações, o vetor de alocações é permutado de acordo.
Fim-preservação : mais forte do que ETE: agentes com reivindicações fracamente superior devem ficar fracamente mais e deve perder fracamente mais: . ${\ displaystyle c_ {i} \ geq c_ {j} \ implica (x_ {i} \ geq x_ {j} {\ text {e}} c_ {i} -x_ {i} \ geq c_ {j} -x_ {j})}$
Preservação da ordem do grupo : mais forte do que a preservação da ordem do grupo e da ETE: requer a preservação da ordem entre cada dois subconjuntos de agentes.

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