Equações de Bargmann-Wigner - Bargmann–Wigner equations

Este artigo usa a convenção de soma de Einstein para índices tensor / espinor e usa chapéus para operadores quânticos .

Teoria quântica de campos
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v t e

Na mecânica quântica relativística e na teoria quântica de campos , as equações de Bargmann-Wigner descrevem partículas livres de spin arbitrário j , um inteiro para bósons ( j = 1, 2, 3 ... ) ou meio-inteiro para férmions ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). As soluções para as equações são funções de onda , matematicamente na forma de campos spinor multicomponentes .

Eles foram nomeados em homenagem a Valentine Bargmann e Eugene Wigner .

História

Paul Dirac publicou pela primeira vez a equação de Dirac em 1928, e mais tarde (1936) estendeu-a a partículas de qualquer spin meio inteiro antes que Fierz e Pauli posteriormente encontrassem as mesmas equações em 1939, e cerca de uma década antes de Bargman e Wigner. Eugene Wigner escreveu um artigo em 1937 sobre representações unitárias do grupo não homogêneo de Lorentz , ou o grupo de Poincaré . Wigner observa que Ettore Majorana e Dirac usaram operadores infinitesimais aplicados a funções. Wigner classifica as representações como irredutíveis, fatoriais e unitárias.

Em 1948, Valentine Bargmann e Wigner publicaram as equações agora nomeadas em sua homenagem em um artigo sobre uma discussão teórica de grupo de equações de onda relativísticas.

Declaração das equações

Para uma partícula livre de spin j sem carga elétrica , as equações de BW são um conjunto de 2 j equações diferenciais parciais lineares acopladas , cada uma com uma forma matemática semelhante à equação de Dirac . O conjunto completo de equações são

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ { 1} '} \ psi _ {\ alpha' _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha' _ { 2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & \ qquad \ vdots \\ & \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {2j} \ alpha '_ {2j}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha' _ {2j}} = 0 \\\ fim {alinhado}}}$

que seguem o padrão;

${\ displaystyle \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {r} \ alpha '_ {r}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha '_ {r} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0}$

( 1 )

para r = 1, 2, ... 2 j . (Alguns autores, por exemplo, Loide e Saar usam n = 2 j para remover fatores de 2. Além disso, o número quântico de spin é geralmente denotado por s na mecânica quântica, no entanto, neste contexto, j é mais típico na literatura). Toda a função de onda ψ = ψ ( r , t ) tem componentes

${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} (\ mathbf {r}, t)}$

e é um campo espinoral de 4 componentes de classificação 2 j . Cada índice assume os valores 1, 2, 3 ou 4, então há 4 ^{2 j} componentes de todo o campo espinor ψ , embora uma função de onda completamente simétrica reduza o número de componentes independentes para 2 (2 j + 1) . Além disso, γ ^μ = (γ ⁰ , γ ) são as matrizes gama , e

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ mu} = i \ hbar \ parcial _ {\ mu}}$

é o operador de 4 momentos .

O operador constituindo cada equação, (-y ^μ P _μ + mc ) = (- IH y ^μ ∂ _μ + MC ) , é um 4 × 4 matriz, por causa da y ^μ matrizes, e as MC prazo escalares-multiplica a 4 × 4 matriz de identidade (geralmente não escrita para simplificar). Explicitamente, na representação de Dirac das matrizes gama :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} - \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc & = - \ gamma ^ {0} {\ frac {\ hat {E}} { c}} - {\ boldsymbol {\ gamma}} \ cdot (- {\ hat {\ mathbf {p}}}) + mc \\ [6pt] & = - {\ begin {pmatrix} I_ {2} & 0 \ \ 0 & -I_ {2} \\\ end {pmatrix}} {\ frac {\ hat {E}} {c}} + {\ begin {pmatrix} 0 & {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} \\ - {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {p}}} & 0 \\\ end {pmatriz}} + {\ begin {pmatriz} I_ { 2} & 0 \\ 0 & I_ {2} \\\ end {pmatriz}} mc \\ [8pt] & = {\ begin {pmatriz} - {\ frac {\ hat {E}} {c}} + mc & 0 & {\ hat {p}} _ {z} & {\ hat {p}} _ {x} -i {\ hat {p}} _ {y} \\ 0 & - {\ frac {\ hat {E}} {c }} + mc & {\ hat {p}} _ {x} + i {\ hat {p}} _ {y} & - {\ hat {p}} _ {z} \\ - {\ hat {p} } _ {z} & - ({\ hat {p}} _ {x} -i {\ hat {p}} _ {y}) & {\ frac {\ hat {E}} {c}} + mc & 0 \\ - ({\ hat {p}} _ {x} + i {\ hat {p}} _ {y}) & {\ hat {p}} _ {z} & 0 & {\ frac {\ hat {E }} {c}} + mc \\\ end {pmatrix}} \\\ end {alinhado}}}$

onde σ = (σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ) = (σ _x , σ _y , σ _z ) é um vetor das matrizes de Pauli , E é o operador de energia , p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) é o operador de 3 momentos , I ₂ denota a matriz de identidade 2 × 2 , os zeros (na segunda linha) são na verdade 2 × 2 blocos de matrizes zero .

O operador de matriz acima contrai com um índice bispinor de ψ de cada vez (consulte a multiplicação da matriz ), portanto, algumas propriedades da equação de Dirac também se aplicam às equações de BW:

• as equações são covariantes de Lorentz,
• todos os componentes das soluções ψ também satisfazem a equação de Klein-Gordon e, portanto, cumprem a relação relativística energia-momento ,

${\ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}$

• a segunda quantização ainda é possível.

Ao contrário da equação de Dirac, que pode incorporar o campo eletromagnético via acoplamento mínimo , o formalismo B – W compreende contradições e dificuldades intrínsecas quando a interação do campo eletromagnético é incorporada. Em outras palavras, não é possível fazer a mudança P _μ → P _μ - eA _μ , onde e é a carga elétrica da partícula e A _μ = ( A ₀ , A ) é o quadripotencial eletromagnético . Uma abordagem indireta para investigar as influências eletromagnéticas da partícula é derivar as quatro correntes eletromagnéticas e os momentos multipolares para a partícula, em vez de incluir as interações nas próprias equações de onda.

Estrutura do grupo Lorentz

A representação do grupo de Lorentz para as equações BW é

${\ displaystyle D ^ {\ mathrm {BW}} = \ bigotimes _ {r = 1} ^ {2j} \ left [D_ {r} ^ {(1 / 2,0)} \ oplus D_ {r} ^ { (0,1 / 2)} \ direita] \,}$

onde cada D _r é uma representação irredutível. Esta representação não tem spin definido, a menos que j seja igual a 1/2 ou 0. Pode-se realizar uma decomposição de Clebsch-Gordan para encontrar os termos irredutíveis ( A , B ) e, portanto, o conteúdo do spin. Esta redundância necessita que uma partícula de spin definido j que se transforma sob a representação D ^BW satisfaça as equações de campo.

As representações D ^{( j , 0)} e D ^{(0, j )} podem cada uma representar separadamente partículas de spin j . Um estado ou campo quântico em tal representação não satisfaria nenhuma equação de campo, exceto a equação de Klein-Gordon.

Formulação em espaço-tempo curvo

Seguindo M. Kenmoku, no espaço local de Minkowski, as matrizes gama satisfazem as relações de anticomutação :

${\ displaystyle [\ gamma ^ {i}, \ gamma ^ {j}] _ {+} = 2 \ eta ^ {ij} I_ {4}}$

onde η ^ij = diag (−1, 1, 1, 1) é a métrica de Minkowski . Para os índices latinos aqui, i, j = 0, 1, 2, 3 . No espaço-tempo curvo, eles são semelhantes:

${\ displaystyle [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu}] _ {+} = 2g ^ {\ mu \ nu}}$

onde as matrizes gama espaciais são contraídas com vierbein b _i ^μ para obter γ ^μ = b _i ^μ γ ⁱ , e g ^μν = b ^{i μ} b _i ^ν é o tensor métrico . Para os índices gregos; μ, ν = 0, 1, 2, 3 .

Uma derivada covariante para espinores é dada por

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} + \ Omega _ {\ mu}}$

com a conexão Ω dada em termos da conexão de spin ω por:

${\ displaystyle \ Omega _ {\ mu} = {\ frac {1} {4}} \ partial _ {\ mu} \ omega ^ {ij} (\ gamma _ {i} \ gamma _ {j} - \ gamma _ {j} \ gamma _ {i})}$

A derivada covariante se transforma como ψ :

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} \ psi \ rightarrow D (\ Lambda) {\ mathcal {D}} _ {\ mu} \ psi}$

Com esta configuração, a equação ( 1 ) torna-se:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & (- i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {1 } '} \ psi _ {\ alpha' _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & (- i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha' _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & \ qquad \ vdots \\ & (- i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu } + mc) _ {\ alpha _ {2j} \ alpha '_ {2j}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha' _ {2j }} = 0 \,. \\\ fim {alinhado}}}$

Veja também

• Equação de Dirac de dois corpos
• Generalizações de matrizes de Pauli
• Wigner D-matrix
• Matrizes Weyl – Brauer
• Matrizes gama de dimensões superiores
• Equação de Joos-Weinberg , equações alternativas que descrevem partículas livres de qualquer spin
• Teoria de spin superior

Referências

Notas

Leitura adicional

Livros

Artigos selecionados

links externos

Equações de onda relativísticas :

• Matrizes de Dirac em dimensões superiores , Wolfram Demonstrations Project
• Aprendendo sobre campos de spin-1 , P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico
• Equações de campo para bósons sem massa de um formalismo de Dirac-Weinberg , RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics
• Teoria quântica de campos I , Martin Mojžiš
• The Bargmann – Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin , FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Grupos de Lorentz em física quântica relativística:

• Representações do Lorentz Group , indiana.edu
• Apêndice C: grupo de Lorentz e a álgebra de Dirac , mcgill.ca
• The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics , DE Soper, University of Oregon, 2011
• Representações de grupos Lorentz e Poincaré , J. Maciejko, Universidade de Stanford
• Representações do Grupo de Simetria do Espaço-Tempo , K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009