Fórmula barométrica - Barometric formula

A fórmula barométrica , algumas vezes chamado a exponencial atmosfera ou isotérmico atmosfera , é uma fórmula usada para modelar como a pressão (ou densidade ) do ar muda com a altitude . A pressão cai aproximadamente 11,3 pascais por metro nos primeiros 1000 metros acima do nível do mar.

Equações de pressão

Pressão em função da altura acima do nível do mar

Existem duas equações diferentes para calcular a pressão em vários regimes de altura abaixo de 86 km (ou 278.400 pés). A primeira equação é usada quando o valor da taxa de lapso de temperatura padrão não é igual a zero:

${\ displaystyle {P} = P_ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})} {T_ {b}}} \ right] ^ {\ textstyle {\ frac {-g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}}}}$

A segunda equação é usada quando a taxa de lapso de temperatura padrão é igual a zero:

${\ displaystyle P = P_ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b }}}\certo]}$

Onde:

${\ displaystyle P_ {b}}$= pressão de referência ( Pa )

${\ displaystyle T_ {b}}$= temperatura de referência ( K )

${\ displaystyle L_ {b}}$= taxa de lapso de temperatura (K / m) em ISA

${\ displaystyle h}$ = altura em que a pressão é calculada (m)

${\ displaystyle h_ {b}}$= altura do nível de referência b (metros; por exemplo, h _b = 11 000 m)

${\ displaystyle R ^ {*}}$= constante de gás universal : 8,3144598 J / (mol · K)

${\ displaystyle g_ {0}}$= aceleração gravitacional : 9,80665 m / s ²

${\ displaystyle M}$ = massa molar do ar da Terra: 0,0289644 kg / mol

Ou convertido em unidades imperiais :

Onde

${\ displaystyle P_ {b}}$= pressão de referência (polegadas de mercúrio, inHg )

${\ displaystyle T_ {b}}$= temperatura de referência ( K )

${\ displaystyle L_ {b}}$= taxa de lapso de temperatura (K / ft) em ISA

${\ displaystyle h}$ = altura em que a pressão é calculada (ft)

${\ displaystyle h_ {b}}$= altura do nível de referência b (pés; por exemplo, h _b = 36.089 pés)

${\ displaystyle R ^ {*}}$= constante de gás universal ; usando pés, kelvins e (SI) moles : 8,9494596 × 10 ⁴  lb · ft ² / (lb-mol · K · s ² )

${\ displaystyle g_ {0}}$= aceleração gravitacional : 32,17405 ft / s ²

${\ displaystyle M}$ = massa molar do ar da Terra: 28,9644 lb / lb-mol

O valor do subscrito b varia de 0 a 6 de acordo com cada uma das sete camadas sucessivas da atmosfera mostradas na tabela abaixo. Nessas equações, g ₀ , M e R ^* são constantes de valor único, enquanto P, L, T e h são constantes de valor múltiplo de acordo com a tabela abaixo. Os valores usados ​​para M, g ₀ e R ^* estão de acordo com o US Standard Atmosphere , 1976, e o valor de R ^* em particular não está de acordo com os valores padrão para esta constante. O valor de referência para P _b para b = 0 é o valor do nível do mar definido, P ₀ = 101 325 Pa ou 29,92126 inHg. Os valores de P _b de b = 1 até b = 6 são obtidos da aplicação do membro apropriado das equações de par 1 e 2 para o caso em que h = h _{b + 1} .

Equações de densidade

As expressões para calcular a densidade são quase idênticas ao cálculo da pressão. A única diferença é o expoente na Equação 1.

Existem duas equações diferentes para calcular a densidade em vários regimes de altura abaixo de 86 km geométricos (84 852 metros geopotenciais ou 278 385,8 pés geopotenciais). A primeira equação é usada quando o valor da taxa de lapso de temperatura padrão não é igual a zero; a segunda equação é usada quando a taxa de lapso de temperatura padrão é igual a zero.

Equação 1:

${\ displaystyle {\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} \ cdot (h-h_ {b})}} \ right] ^ {\ left (1 + {\ frac {g_ {0} \ cdot M} {R ^ {*} \ cdot L_ {b}}} \ right)}}$

Equação 2:

${\ displaystyle {\ rho} = \ rho _ {b} \ cdot \ exp \ left [{\ frac {-g_ {0} \ cdot M \ cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} \ cdot T_ {b}}} \ right]}$

Onde

${\ displaystyle {\ rho}}$= densidade de massa (kg / m ³ )

${\ displaystyle T_ {b}}$ = temperatura padrão (K)

${\ displaystyle L}$= taxa de lapso de temperatura padrão (ver tabela abaixo) (K / m) em ISA

${\ displaystyle h}$ = altura acima do nível do mar (metros geopotenciais)

${\ displaystyle R ^ {*}}$= constante de gás universal 8,3144598 N · m / (mol · K)

${\ displaystyle g_ {0}}$= aceleração gravitacional: 9,80665 m / s ²

${\ displaystyle M}$ = massa molar do ar da Terra: 0,0289644 kg / mol

ou, convertido para unidades gravitacionais inglesas de pés-libra-segundo:

${\ displaystyle {\ rho}}$= densidade de massa ( pacote / pé ³ )

${\ displaystyle {T_ {b}}}$ = temperatura padrão (K)

${\ displaystyle {L}}$ = taxa de lapso de temperatura padrão (K / ft)

${\ displaystyle {h}}$ = altura acima do nível do mar (pés geopotenciais)

${\ displaystyle {R ^ {*}}}$= constante de gás universal: 8,9494596 × 10 ⁴  pés ² / (s · K)

${\ displaystyle {g_ {0}}}$= aceleração gravitacional: 32,17405 ft / s ²

${\ displaystyle {M}}$ = massa molar do ar da Terra: 0,0289644 kg / mol

O valor do subscrito b varia de 0 a 6 de acordo com cada uma das sete camadas sucessivas da atmosfera mostradas na tabela abaixo. O valor de referência para ρ _b para b = 0 é o valor do nível do mar definido, ρ ₀ = 1,2250 kg / m ³ ou 0,0023768908 lesma / pé ³ . Os valores de ρ _b de b = 1 até b = 6 são obtidos da aplicação do membro apropriado das equações 1 e 2 do par para o caso em que h = h _{b + 1} .

Nessas equações, g ₀ , M e R ^* são constantes de valor único, enquanto ρ , L , T e h são constantes de valor múltiplo de acordo com a tabela abaixo. Os valores usados ​​para M , g ₀ e R ^* estão de acordo com o US Standard Atmosphere , 1976, e o valor para R ^* em particular não está de acordo com os valores padrão para esta constante.

Subscrito b	Altura acima do nível do mar ( h )		Densidade de massa ( ) ${\ displaystyle \ rho}$		Temperatura Padrão ( T ' ) (K)	Taxa de lapso de temperatura ( L )
	(m)	(ft)	(kg / m 3 )	(lesma / pé 3 )		(K / m)	(K / ft)
0	0	0	1,2250	2,3768908 x 10 −3	288,15	-0,0065	-0,0019812
1	11 000	36.089,24	0,36391	7,0611703 x 10 −4	216,65	0,0	0,0
2	20 000	65.616,79	0,08803	1,7081572 x 10 −4	216,65	0,001	0,0003048
3	32 000	104.986,87	0,01322	2,5660735 x 10 −5	228,65	0,0028	0,00085344
4	47 000	154.199,48	0,00143	2,7698702 x 10 -6	270,65	0,0	0,0
5	51 000	167.322,83	0,00086	1,6717895 x 10 -6	270,65	-0,0028	-0.00085344
6	71.000	232.939,63	0,000064	1,2458989 x 10 -7	214,65	-0,002	-0.0006096

Derivação

A fórmula barométrica pode ser derivada usando a lei dos gases ideais :

${\ displaystyle P = {\ frac {\ rho} {M}} \ cdot {R ^ {*}} T}$

Supondo que toda a pressão seja hidrostática :

${\ displaystyle dP = - \ rho g \, dz \,}$

e dividindo o pela expressão que obtemos: ${\ displaystyle dP}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ frac {dP} {P}} = - {\ frac {Mg \, dz} {R ^ {*} T}}}$

Integrando essa expressão da superfície à altitude z , obtemos:

${\ displaystyle P = P_ {0} e ^ {- \ int _ {0} ^ {z} {Mgdz / R ^ {*} T}} \,}$

Assumindo mudança linear de temperatura e massa molar constante e aceleração gravitacional, obtemos a primeira fórmula barométrica: ${\ displaystyle T = T_ {0} + L \ cdot z}$

${\ displaystyle P = P_ {0} \ cdot \ left [{\ frac {T_ {0}} {T}} \ right] ^ {\ textstyle {\ frac {Mg} {R ^ {*} L}}} }$

Em vez disso, assumindo temperatura constante, a integração dá a segunda fórmula barométrica:

${\ displaystyle P = P_ {0} e ^ {- Mgz / R ^ {*} T} \,}$

Nesta formulação, R ^* é a constante do gás , e o termo R ^* T / Mg fornece a altura da escala (aproximadamente igual a 8,4 km para a troposfera ).

(Para resultados exatos, deve-se lembrar que atmosferas que contenham água não se comportar como um gás ideal . Ver gás verdadeira ou gás perfeito ou gás para uma maior compreensão.)

Veja também

• Equação hipsométrica
• NRLMSISE-00
• Variação de pressão vertical

Referências