Conjectura de Baum-Connes - Baum–Connes conjecture

Em matemática , especificamente na teoria do operador K , a conjectura de Baum-Connes sugere uma ligação entre a teoria K da álgebra C * reduzida de um grupo e a homologia K do espaço de classificação das ações próprias desse grupo. A conjectura estabelece uma correspondência entre diferentes áreas da matemática, com a homologia K do espaço de classificação sendo relacionada à geometria, teoria do operador diferencial e teoria da homotopia , enquanto a teoria K da álgebra C * reduzida do grupo é puramente objeto analítico.

A conjectura, se verdadeira, teria algumas conjecturas famosas mais antigas como consequências. Por exemplo, a parte da sobrejetividade implica a conjectura de Kadison-Kaplansky para grupos livres de torção discretos , e a injetividade está intimamente relacionada à conjectura de Novikov .

A conjectura também está intimamente relacionada à teoria do índice , como o mapa de montagem é uma espécie de índice, e que desempenha um papel importante na Alain Connes ' geometria não-comutativa programa. ${\ displaystyle \ mu}$

As origens da conjectura remontam à teoria de Fredholm , ao teorema do índice de Atiyah – Singer e à interação da geometria com a teoria do operador K conforme expressa nos trabalhos de Brown, Douglas e Fillmore, entre muitos outros assuntos motivadores.

Formulação

Seja Γ um segundo grupo compacto localmente contável (por exemplo, um grupo discreto contável ). Pode-se definir um morfismo

${\ displaystyle \ mu: RK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}) \ para K _ {*} (C_ {r} ^ {*} (\ Gamma)),}$

chamado de mapa de montagem , da homologia K equivariante com suportes compactos do espaço de classificação de ações próprias até a teoria K da álgebra C * reduzida de Γ. O índice subscrito _* pode ser 0 ou 1. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ underline {E \ Gamma}}}$

Paul Baum e Alain Connes introduziram a seguinte conjectura (1982) sobre esse morfismo:

Conjectura de Baum-Connes. O mapa de montagem é um isomorfismo .${\ displaystyle \ mu}$

Como o lado esquerdo tende a ser mais facilmente acessível do que o lado direito, porque quase não existem teoremas de estrutura geral da -álgebra, geralmente vemos a conjectura como uma "explicação" do lado direito. ${\ displaystyle C ^ {*}}$

A formulação original da conjectura era um pouco diferente, já que a noção de homologia K equivariante ainda não era comum em 1982.

No caso de ser discreto e livre de torção, o lado esquerdo se reduz à homologia K não equivariante com suportes compactos do espaço de classificação ordinário de . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle B \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Há também uma forma mais geral da conjectura, conhecida como conjectura Baum-Connes com coeficientes, onde ambos os lados têm coeficientes na forma de uma -álgebra na qual atua por -automorfismos. Diz em linguagem KK que o mapa de montagem ${\ displaystyle C ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

${\ displaystyle \ mu _ {A, \ Gamma}: RKK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}, A) \ to K _ {*} (A \ rtimes _ {\ lambda} \ Gamma),}$

é um isomorfismo, contendo o caso sem coeficientes como o caso ${\ displaystyle A = \ mathbb {C}.}$

No entanto, contra-exemplos para a conjectura com coeficientes foram encontrados em 2002 por Nigel Higson , Vincent Lafforgue e Georges Skandalis . No entanto, a conjectura com coeficientes permanece uma área ativa de pesquisa, uma vez que não é diferente da conjectura clássica, muitas vezes vista como uma afirmação a respeito de grupos específicos ou classe de grupos.

Exemplos

Deixe ser os inteiros . Em seguida, o lado esquerdo representa o K-homologia de que é o círculo. A -álgebra dos inteiros é pela transformada comutativa de Gelfand-Naimark, que se reduz à transformada de Fourier , neste caso, isomórfica à álgebra de funções contínuas no círculo. Portanto, o lado direito é a teoria K topológica do círculo. Pode-se então mostrar que o mapa de montagem é a dualidade Poincaré da teoria KK, conforme definido por Gennadi Kasparov , que é um isomorfismo. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle B \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

Resultados

A conjectura sem coeficientes ainda está aberta, embora o campo tenha recebido grande atenção desde 1982.

A conjectura é comprovada para as seguintes classes de grupos:

• Subgrupos discretos de e .${\ displaystyle SO (n, 1)}$${\ displaystyle SU (n, 1)}$
• Grupos com a propriedade Haagerup , às vezes chamados de grupos aT-menable . São grupos que admitem uma ação isométrica em um espaço de Hilbert afim que é próprio no sentido de que para todas e quaisquer sequências de elementos de grupo com . Exemplos de grupos aT-menable são grupos receptivos , grupos Coxeter , grupos agindo corretamente em árvores e grupos agindo corretamente em complexos cúbicos simplesmente conectados .${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} \ xi \ to \ infty}$${\ displaystyle \ xi \ in H}$${\ displaystyle g_ {n}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} \ to \ infty}$${\ displaystyle CAT (0)}$
• Grupos que admitem uma apresentação finita com apenas uma relação.
• Subgrupos co-compactos discretos de grupos de Lie reais de classificação real 1.
• Redes co-compactadas em ou . Era um problema antigo, desde os primeiros dias da conjectura, expor um único grupo T de propriedade infinita que o satisfazia. No entanto, esse grupo foi dado por V. Lafforgue em 1998, quando ele mostrou que redes co-compactas em têm a propriedade de decadência rápida e, portanto, satisfazem a conjectura.${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R}), SL (3, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {Q} _ {p})}$${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R})}$
• Grupos hiperbólicos de Gromov e seus subgrupos.
• Entre os grupos não discretos, a conjectura foi mostrada em 2003 por J. Chabert, S. Echterhoff e R. Nest para a vasta classe de todos os grupos quase conectados (isto é, grupos com um componente conectado co-compactado), e todos os grupos de -racional pontos de um grupo algébrico linear sobre um campo local de característica zero (por exemplo ). Para a importante subclasse de grupos redutivos reais, a conjectura já havia sido mostrada em 1987 por Antony Wassermann .${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = \ mathbb {Q} _ {p}}$

A injetividade é conhecida por uma classe muito maior de grupos, graças ao método Dirac-dual-Dirac. Isso remonta às idéias de Michael Atiyah e foi desenvolvido em grande generalidade por Gennadi Kasparov em 1987. A injetividade é conhecida pelas seguintes classes:

• Subgrupos discretos de grupos de Lie conectados ou grupos de Lie conectados virtualmente.
• Subgrupos discretos de grupos p-ádicos .
• Grupos Bolic (certa generalização de grupos hiperbólicos).
• Grupos que admitem uma ação amena em algum espaço compacto.

O exemplo mais simples de um grupo para o qual não se sabe se satisfaz a conjectura é . ${\ displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$

Referências

• Mislin, Guido & Valette, Alain (2003), Proper Group Actions and the Baum – Connes Conjecture , Basel: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
• Valette, Alain (2002), Introdução à Conjectura de Baum-Connes , Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

links externos

• Sobre a conjectura Baum-Connes de Dmitry Matsnev.