Teorema de Bell - Bell's theorem

O teorema de Bell prova que a física quântica é incompatível com as teorias de variáveis ​​ocultas locais . Foi apresentado pelo físico John Stewart Bell em um artigo de 1964 intitulado "On the Einstein Podolsky Rosen Paradox ", referindo-se a um experimento mental de 1935 que Albert Einstein , Boris Podolsky e Nathan Rosen usaram para argumentar que a física quântica é um "incompleto" teoria. Em 1935, já era reconhecido que as previsões da física quântica são probabilísticas . Einstein, Podolsky e Rosen apresentaram um cenário que, em sua opinião, indicava que as partículas quânticas, como elétrons e fótons , devem carregar propriedades físicas ou atributos não incluídos na teoria quântica, e as incertezas nas previsões da teoria quântica eram devidas à ignorância dessas propriedades , posteriormente denominadas "variáveis ​​ocultas". Seu cenário envolve um par de objetos físicos amplamente separados, preparados de forma que o estado quântico do par seja emaranhado .

Bell levou a análise do emaranhamento quântico muito mais longe. Ele deduziu que, se as medições são realizadas independentemente nas duas metades separadas de um par, então a suposição de que os resultados dependem de variáveis ​​ocultas em cada metade implica uma restrição em como os resultados nas duas metades estão correlacionados. Essa restrição seria mais tarde chamada de desigualdade de Bell. Bell então mostrou que a física quântica prevê correlações que violam essa desigualdade. Consequentemente, a única maneira que as variáveis ​​ocultas poderiam explicar as previsões da física quântica é se elas forem "não locais", de alguma forma associadas às duas metades do par e capazes de carregar influências instantaneamente entre elas, não importa quão amplamente as duas metades estejam separadas. Como Bell escreveu mais tarde, "Se [uma teoria da variável oculta] for local, não concordará com a mecânica quântica e, se concordar com a mecânica quântica, não será local."

Múltiplas variações no teorema de Bell foram provadas nos anos seguintes, introduzindo outras condições intimamente relacionadas, geralmente conhecidas como desigualdades de Bell (ou "tipo de Bell"). Eles foram testados experimentalmente em laboratórios de física muitas vezes desde 1972. Freqüentemente, esses experimentos tiveram o objetivo de melhorar problemas de projeto experimental ou configuração que poderiam, em princípio, afetar a validade das descobertas de testes de Bell anteriores. Isso é conhecido como " lacunas de fechamento em experimentos de teste de Bell ". Até o momento, os testes de Bell descobriram que a hipótese de variáveis ​​ocultas locais é inconsistente com a maneira como os sistemas físicos se comportam de fato.

A natureza exata das suposições exigidas para provar uma restrição do tipo Bell nas correlações foi debatida por físicos e filósofos . Embora a importância do teorema de Bell não esteja em dúvida, todas as suas implicações para a interpretação da mecânica quântica permanecem sem solução.

Contexto histórico

No início da década de 1930, as implicações filosóficas das interpretações atuais da teoria quântica perturbaram muitos físicos proeminentes da época, incluindo Albert Einstein . Em um conhecido artigo de 1935, Boris Podolsky e os co-autores Einstein e Nathan Rosen (coletivamente "EPR") procuraram demonstrar pelo paradoxo EPR que a mecânica quântica estava incompleta. Isso deu esperança de que uma teoria mais completa (e menos problemática) pudesse ser descoberta um dia. Mas essa conclusão se baseou nas suposições aparentemente razoáveis ​​de localidade e realismo (juntos chamados de "realismo local" ou " variáveis ​​ocultas locais ", muitas vezes indistintamente). No vernáculo de Einstein: localidade significava nenhuma ação instantânea ("fantasmagórica") à distância ; realismo significava que a lua está lá mesmo quando não está sendo observada. Essas suposições foram calorosamente debatidas na comunidade da física, principalmente entre Einstein e Niels Bohr .

Em seu artigo inovador de 1964, "On the Einstein Podolsky Rosen paradox", o físico John Stewart Bell apresentou um desenvolvimento posterior, com base em medições de spin em pares de elétrons emaranhados, do paradoxo hipotético de EPR. Usando seu raciocínio, disse ele, uma escolha de configuração de medição próxima não deve afetar o resultado de uma medição distante (e vice-versa). Depois de fornecer uma formulação matemática de localidade e realismo com base nisso, ele mostrou casos específicos onde isso seria inconsistente com as previsões da mecânica quântica.

Em testes experimentais seguindo o exemplo de Bell, agora usando emaranhamento quântico de fótons em vez de elétrons, John Clauser e Stuart Freedman (1972) e Alain Aspect et al . (1981) demonstraram que as previsões da mecânica quântica estão corretas a esse respeito, embora contando com suposições não verificáveis ​​adicionais que abrem brechas para o realismo local. Experimentos posteriores trabalharam para fechar essas lacunas.

Visão geral

O teorema é geralmente provado pela consideração de um sistema quântico de dois qubits emaranhados com os testes originais, conforme afirmado acima, feitos em fótons. Os exemplos mais comuns dizem respeito a sistemas de partículas que estão emaranhadas em spin ou polarização . A mecânica quântica permite previsões de correlações que seriam observadas se essas duas partículas tivessem seu spin ou polarização medido em direções diferentes. Bell mostrou que, se uma teoria de variável oculta local for mantida, então essas correlações teriam que satisfazer certas restrições, chamadas desigualdades de Bell.

Com partículas de dois estados e observáveis ​​A, B e C (como na imagem), obtém-se a violação da desigualdade do tipo de Bell. De acordo com a mecânica quântica, a soma das probabilidades de obter resultados iguais medindo diferentes observáveis ​​é 3/4. Mas assumindo resultados predeterminados (iguais para os mesmos observáveis), essa soma deve ser pelo menos 1, uma vez que em cada par pelo menos dois de três observáveis ​​são então predeterminados para serem iguais.

Seguindo o argumento do artigo do paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) (mas usando o exemplo do spin, como na versão de David Bohm do argumento EPR), Bell considerou um experimento mental no qual há "um par de spin metade das partículas formadas de alguma forma no estado de spin singlete e movendo-se livremente em direções opostas. " As duas partículas se afastam uma da outra para dois locais distantes, nos quais as medições de spin são realizadas, ao longo de eixos que são escolhidos independentemente. Cada medição produz um resultado de aumento de rotação (+) ou redução de rotação (-); significa girar na direção positiva ou negativa do eixo escolhido.

A probabilidade do mesmo resultado ser obtido nos dois locais depende dos ângulos relativos nos quais as duas medições de spin são feitas e está estritamente entre zero e um para todos os ângulos relativos que não sejam alinhamentos perfeitamente paralelos ou antiparalelos (0 ° ou 180 ° ) Como o momento angular total é conservado, e como o spin total é zero no estado singlete, a probabilidade do mesmo resultado com alinhamento paralelo ou antiparalelo é, respectivamente, 0 ou 1. Esta última previsão é verdadeira tanto classicamente quanto mecanicamente quântica.

O teorema de Bell se preocupa com as correlações definidas em termos de médias obtidas em muitas tentativas do experimento. A correlação de duas variáveis ​​binárias é geralmente definida na física quântica como a média dos produtos dos pares de medidas. Observe que isso é diferente da definição usual de correlação em estatísticas. A "correlação" do físico quântico é o " momento do produto bruto (não centrado, não normalizado) do estatístico ". Eles são semelhantes no sentido de que, com qualquer definição, se os pares de resultados são sempre os mesmos, a correlação é +1; se os pares de resultados são sempre opostos, a correlação é -1; e se os pares de resultados concordam 50% das vezes, então a correlação é 0. A correlação está relacionada de forma simples com a probabilidade de resultados iguais, ou seja, é igual a duas vezes a probabilidade de resultados iguais, menos um.

Medindo o spin dessas partículas emaranhadas ao longo de direções antiparalelas (isto é, voltadas para direções precisamente opostas, talvez compensadas por alguma distância arbitrária), o conjunto de todos os resultados está perfeitamente correlacionado. Por outro lado, se as medições são realizadas ao longo de direções paralelas (ou seja, voltadas precisamente para a mesma direção, talvez deslocadas por alguma distância arbitrária), elas sempre produzem resultados opostos, e o conjunto de medições mostra perfeita anticorrelação. Isso está de acordo com as probabilidades declaradas acima de medir o mesmo resultado nesses dois casos. Finalmente, a medição em direções perpendiculares tem 50% de chance de coincidir e o conjunto total de medições não está correlacionado. Esses casos básicos são ilustrados na tabela a seguir. As colunas devem ser lidas como exemplos de pares de valores que poderiam ser registrados por Alice e Bob com o aumento do tempo indo para a direita.

Antiparalelo Par
1 2 3 4 ... n
Alice , 0 ° + - + + ... -
Bob , 180 ° + - + + ... -
Correlação (+1 +1 +1 +1 + ... +1) / n = +1
(100% idêntico)
Paralelo 1 2 3 4 ... n
Alice , 0 ° + - - + ... +
Bob , 0 ° ou 360 ° - + + - ... -
Correlação (-1 -1 -1 -1 - ... -1) / n = -1
(100% oposto)
Ortogonal 1 2 3 4 ... n
Alice, 0 ° + - + - ... -
Bob, 90 ° ou 270 ° - - + + ... -
Correlação (-1 +1 +1 -1 ... +1) / n = 0
(50% idêntico, 50% oposto)
A melhor imitação realista local possível (vermelho) para a correlação quântica de dois spins no estado singlete (azul), insistindo na anti-correlação perfeita a 0 °, correlação perfeita a 180 °. Existem muitas outras possibilidades para a correlação clássica sujeita a essas condições laterais, mas todas são caracterizadas por picos (e vales) agudos a 0 °, 180 ° e 360 ​​°, e nenhuma tem valores mais extremos (± 0,5) a 45 °, 135 °, 225 ° e 315 °. Esses valores são marcados por estrelas no gráfico e são os valores medidos em um experimento do tipo Bell-CHSH padrão: QM permite ± 1 / 2 = ± 0,7071 ... , o realismo local prevê ± 0,5 ou menos.

Com as medidas orientadas em ângulos intermediários entre esses casos básicos, a existência de variáveis ​​ocultas locais poderia concordar com / seria consistente com uma dependência linear da correlação no ângulo, mas, de acordo com a desigualdade de Bell (ver abaixo), não poderia concordar com a dependência prevista pela teoria da mecânica quântica, ou seja, que a correlação é o cosseno negativo do ângulo. Os resultados experimentais contradizem as curvas clássicas e correspondem à curva prevista pela mecânica quântica, desde que as deficiências experimentais sejam consideradas.

Ao longo dos anos, o teorema de Bell passou por uma ampla variedade de testes experimentais. No entanto, várias deficiências comuns no teste do teorema foram identificadas, incluindo a brecha de detecção e a brecha de comunicação . Ao longo dos anos, os experimentos foram gradualmente aprimorados para lidar melhor com essas lacunas. Em 2015, o primeiro experimento para abordar simultaneamente todas as lacunas foi realizado.

Até o momento, o teorema de Bell é geralmente considerado como apoiado por um corpo substancial de evidências e há poucos defensores das variáveis ​​ocultas locais, embora o teorema seja continuamente objeto de estudo, crítica e refinamento.

Importância

O teorema de Bell, derivado em seu artigo seminal de 1964 intitulado "Sobre o paradoxo de Einstein Podolsky Rosen", foi chamado, partindo do pressuposto de que a teoria está correta, "o mais profundo da ciência". Talvez de igual importância seja o esforço deliberado de Bell para encorajar e trazer legitimidade para trabalhar nas questões de integridade, que caíram em descrédito. Mais tarde em sua vida, Bell expressou sua esperança de que tal trabalho "continuasse a inspirar aqueles que suspeitam que o que é provado pelas provas de impossibilidade é falta de imaginação". N. David Mermin descreveu as avaliações da importância do teorema de Bell na comunidade da física como variando de "indiferença" a "extravagância selvagem".

O título do artigo seminal de Bell refere-se ao artigo de 1935 de Einstein, Podolsky e Rosen que desafiava a integridade da mecânica quântica. Em seu artigo, Bell partiu das mesmas duas suposições que o EPR, a saber, (i) realidade (que objetos microscópicos têm propriedades reais que determinam os resultados das medições da mecânica quântica) e (ii) localidade (que a realidade em um local não é influenciada por medições realizadas simultaneamente em um local distante). Bell foi capaz de derivar dessas duas suposições um resultado importante, a saber, a desigualdade de Bell. A violação teórica (e posteriormente experimental) dessa desigualdade implica que pelo menos uma das duas suposições deve ser falsa.

Em dois aspectos, o artigo de Bell de 1964 foi um passo à frente em comparação com o artigo do EPR: em primeiro lugar, considerou mais variáveis ​​ocultas do que meramente o elemento da realidade física no artigo do EPR; e a desigualdade de Bell era, em parte, testável experimentalmente, levantando assim a possibilidade de testar a hipótese do realismo local. As limitações de tais testes até o momento estão indicadas abaixo. Enquanto o artigo de Bell lida apenas com teorias de variáveis ​​ocultas determinísticas, o teorema de Bell foi posteriormente generalizado para teorias estocásticas também, e também foi percebido que o teorema não é tanto sobre variáveis ​​ocultas, quanto sobre os resultados de medições que poderiam ter sido tomadas em vez disso. do que realmente foi tirado. A existência dessas variáveis ​​é chamada de pressuposto de realismo ou pressuposto de definição contrafactual .

Após o artigo do EPR, a mecânica quântica estava em uma posição insatisfatória: ou estava incompleta, no sentido de que deixava de dar conta de alguns elementos da realidade física, ou violava o princípio de uma velocidade de propagação finita de efeitos físicos. Em uma versão modificada do experimento mental EPR, dois observadores hipotéticos , agora comumente chamados de Alice e Bob , realizam medições independentes de spin em um par de elétrons, preparado em uma fonte em um estado especial chamado estado singlete de spin . É a conclusão do EPR que, uma vez que Alice mede o spin em uma direção (por exemplo, no eixo x ), a medição de Bob nessa direção é determinada com certeza, como sendo o resultado oposto ao de Alice, enquanto imediatamente antes da medição de Alice o resultado de Bob era apenas determinado estatisticamente (ou seja, era apenas uma probabilidade, não uma certeza); assim, ou o giro em cada direção é um elemento da realidade física ou os efeitos viajam de Alice para Bob instantaneamente.

Em QM, as previsões são formuladas em termos de probabilidades - por exemplo, a probabilidade de que um elétron seja detectado em um determinado lugar ou a probabilidade de que seu spin seja para cima ou para baixo. A ideia persistiu, no entanto, de que o elétron de fato tem uma posição e spin definidos , e que a fraqueza do QM é sua incapacidade de prever esses valores com precisão. Existia a possibilidade de que alguma teoria desconhecida, como uma teoria de variáveis ​​ocultas , pudesse ser capaz de prever essas quantidades exatamente, ao mesmo tempo em que estava em total acordo com as probabilidades previstas por QM. Se tal teoria de variáveis ​​ocultas existe, então, como as variáveis ​​ocultas não são descritas por QM, a última seria uma teoria incompleta.

Realismo local

O conceito de realismo local é formalizado para declarar e provar o teorema e generalizações de Bell. Uma abordagem comum é a seguinte:

  1. Há um espaço de probabilidade Λ e os resultados observados por Alice e Bob resultam de amostragem aleatória do parâmetro (desconhecido, "oculto") λ ∈ Λ .
  2. Os valores observados por Alice ou Bob são funções das configurações do detector local, o estado do evento de entrada (rotação para material ou fase para fóton) e apenas o parâmetro oculto. Assim, existem funções A , B  : S 2 × Λ → {−1, +1} , onde uma configuração de detector é modelada como uma localização na esfera unitária S 2 , de modo que
    • O valor observado por Alice com a configuração do detector a é A ( a , λ )
    • O valor observado por Bob com a configuração do detector b é B ( b , λ )

A anticorrelação perfeita exigiria B ( c , λ ) = - A ( c , λ ), cS 2 . Implícito na suposição 1) acima, o espaço de parâmetro oculto Λ tem uma medida de probabilidade μ e a expectativa de uma variável aleatória X em Λ com respeito a μ é escrita

onde para acessibilidade de notação assumimos que a medida de probabilidade tem uma densidade de probabilidade p que, portanto, é não negativa e se integra a 1 . O parâmetro oculto é geralmente considerado como estando associado à fonte, mas também pode conter componentes associados aos dois dispositivos de medição.

Desigualdades de Bell

As desigualdades de Bell dizem respeito a medições feitas por observadores em pares de partículas que interagiram e depois se separaram. Assumindo o realismo local, certas restrições devem manter-se nas relações entre as correlações entre as medições subsequentes das partículas em várias configurações de medição possíveis. Sejam A e B como acima. Defina, para os presentes fins, três funções de correlação:

  • Deixe C e ( a , b ) denotar a correlação experimentalmente medida definida por
onde N ++ é o número de medições produzindo "spin up" na direção de a medido por Alice (primeiro subscrito + ) e "spin up" na direção de b medido por Bob. As outras ocorrências de N são definidas analogamente. Em outras palavras, essa expressão denota o número de vezes que Alice e Bob encontraram o mesmo spin, menos o número de vezes que encontraram um spin oposto, dividido pelo número total de medições, para um determinado par de ângulos.
  • Seja C q ( a , b ) a correlação prevista pela mecânica quântica. Isso é dado pela expressão
onde está a função de onda de spin anti-simétrica, é o vetor de Pauli . Este valor é calculado para ser
onde e são os vetores unitários que representam cada dispositivo de medição e o produto interno é igual ao cosseno do ângulo entre esses vetores.
  • Seja C h ( a , b ) a correlação prevista por qualquer teoria de variável oculta. Na formalização acima, isso é
Detalhes sobre o cálculo de C q ( a , b )

O espaço de spin de duas partículas é o produto tensorial dos espaços de Hilbert de spin bidimensionais das partículas individuais. Cada espaço individual é um espaço de representação irredutível do grupo de rotação SO (3) . O espaço do produto se decompõe como uma soma direta de representações irredutíveis com spins totais definidos 0 e 1 de dimensões 1 e 3, respectivamente. Detalhes completos podem ser encontrados na decomposição de Clebsch-Gordan . O subespaço total de spin zero é medido pelo estado singlet no espaço do produto, um vetor explicitamente dado por

com adjunto nesta representação

A maneira como os operadores de partícula única agem no espaço do produto é exemplificada abaixo pelo exemplo em mãos; define-se o produto tensorial dos operadores, onde os fatores são operadores de partícula única, portanto, se Π, Ω são operadores de partícula única,

e

etc., onde o sobrescrito entre parênteses indica em qual espaço de Hilbert no espaço do produto tensorial a ação se destina e a ação é definida pelo lado direito. O estado singlete possui spin total 0, como pode ser verificado pela aplicação do operador de spin total J · J = ( J 1 + J 2 ) ⋅ ( J 1 + J 2 ) por um cálculo semelhante ao apresentado a seguir.

O valor esperado do operador

no estado singlet pode ser calculado diretamente. Tem-se, por definição das matrizes de Pauli ,

Após a aplicação esquerda deste em | A obtém-se

Do mesmo modo, a aplicação (à esquerda) do operador que corresponde a b em Um | rendimentos

Os produtos internos no espaço do produto tensor são definidos por

Diante disso, o valor da expectativa reduz para


Com esta notação, um resumo conciso do que se segue pode ser feito.

  • Teoricamente, existe a , b tal que
quaisquer que sejam as características particulares da teoria da variável oculta, desde que obedeça às regras do realismo local conforme definido acima. Ou seja, nenhuma teoria de variável oculta local pode fazer as mesmas previsões que a mecânica quântica.
  • Experimentalmente, instâncias de
foram encontrados (qualquer que seja a teoria da variável oculta), mas
nunca foi encontrado. Ou seja, as previsões da mecânica quântica nunca foram falsificadas por experimentos. Esses experimentos incluem tais que podem descartar teorias de variáveis ​​ocultas locais. Mas veja abaixo as possíveis lacunas.

Desigualdade de Bell original

A desigualdade que Bell derivou pode ser escrita como:

onde a, b e c referem-se a três configurações arbitrárias dos dois analisadores. Essa desigualdade é, entretanto, restrita em sua aplicação ao caso bastante especial em que os resultados em ambos os lados do experimento são sempre exatamente anticorrelacionados sempre que os analisadores são paralelos. A vantagem de restringir a atenção a este caso especial é a simplicidade resultante da derivação. No trabalho experimental, a desigualdade não é muito útil porque é difícil, senão impossível, criar uma anticorrelação perfeita .

Essa forma simples tem uma explicação intuitiva, no entanto. É equivalente ao seguinte resultado elementar da teoria da probabilidade. Considere três (altamente correlacionados e possivelmente tendenciosos) coin-flips X, Y e Z , com a propriedade de:

  1. X e Y dão o mesmo resultado (cara ou coroa) 99% das vezes
  2. Y e Z também fornecem o mesmo resultado 99% das vezes,

então X e Z também devem produzir o mesmo resultado pelo menos 98% das vezes. O número de incompatibilidades entre X e Y (1/100) mais o número de incompatibilidades entre Y e Z (1/100) são juntos o número máximo possível de incompatibilidades entre X e Z (uma desigualdade de Boole-Fréchet simples ).

Imagine um par de partículas que podem ser medidas em locais distantes. Suponha que os dispositivos de medição tenham configurações, que são ângulos - por exemplo, os dispositivos medem algo chamado spin em alguma direção. O experimentador escolhe as direções, uma para cada partícula, separadamente. Suponha que o resultado da medição seja binário (por exemplo, spin para cima, spin para baixo). Suponha que as duas partículas sejam perfeitamente anticorrelacionadas - no sentido de que sempre que ambas medidas na mesma direção, obtém-se resultados idênticos opostos, quando ambas medidas em direções opostas sempre dão o mesmo resultado. A única maneira de imaginar como isso funciona é que ambas as partículas deixam sua fonte comum com, de alguma forma, os resultados que vão entregar quando medidas em qualquer direção possível. (De que outra forma a partícula 1 poderia saber fornecer a mesma resposta que a partícula 2 quando medida na mesma direção? Eles não sabem com antecedência como serão medidos ...). A medição na partícula 2 (depois de mudar seu sinal) pode ser pensada como nos dizendo o que a mesma medição na partícula 1 teria dado.

Comece com uma configuração exatamente oposta à outra. Todos os pares de partículas fornecem o mesmo resultado (cada par tem spin para cima ou para baixo). Agora mude a configuração de Alice em um grau em relação à de Bob. Eles estão agora a um grau de serem exatamente opostos um ao outro. Uma pequena fração dos pares, digamos f , agora fornece resultados diferentes. Se, em vez disso, tivéssemos deixado a configuração de Alice inalterada, mas deslocado a de Bob em um grau (na direção oposta), novamente uma fração f dos pares de partículas resultaria em resultados diferentes. Finalmente, considere o que acontece quando as duas mudanças são implementadas ao mesmo tempo: as duas configurações estão agora exatamente dois graus de distância uma da outra. Pelo argumento da incompatibilidade, a chance de uma incompatibilidade em dois graus não pode ser mais do que duas vezes a chance de uma incompatibilidade em um grau: não pode ser mais do que 2 f .

Compare isso com as previsões da mecânica quântica para o estado singlete. Para um pequeno ângulo θ , medido em radianos, a chance de um resultado diferente é aproximadamente explicada pela aproximação de pequeno ângulo . Com duas vezes este ângulo pequeno, a chance de uma incompatibilidade é, portanto, cerca de 4 vezes maior, desde então . Mas acabamos de argumentar que não pode ser mais de 2 vezes maior.

Esta formulação intuitiva é devida a David Mermin . O limite do pequeno ângulo é discutido no artigo original de Bell e, portanto, remonta à origem das desigualdades de Bell.

Desigualdade CHSH

Generalizando a desigualdade original de Bell, John Clauser , Michael Horne , Abner Shimony e RA Holt introduziram a desigualdade CHSH , que coloca limites clássicos no conjunto de quatro correlações no experimento de Alice e Bob, sem qualquer suposição de correlações perfeitas (ou anticorrelações) em configurações iguais

Fazer a escolha especial , denotando , e assumindo anti-correlação perfeita com configurações iguais, correlação perfeita em configurações opostas, portanto, e , a desigualdade CHSH reduz a desigualdade de Bell originais. Hoje em dia, (1) também é muitas vezes simplesmente chamada de "desigualdade de Bell", mas às vezes mais completamente "a desigualdade de Bell-CHSH".

Derivação do limite clássico

Com notação abreviada

a desigualdade CHSH pode ser derivada da seguinte forma. Cada uma das quatro quantidades é e cada uma depende . Segue-se que, para qualquer um, um de e é zero e o outro é . Disto segue que

e portanto

No centro desta derivação está uma desigualdade algébrica simples relativa a quatro variáveis,, que assumem apenas os valores :

A desigualdade CHSH é vista como dependente apenas das seguintes três características principais de uma teoria de variáveis ​​ocultas locais: (1) realismo: ao lado dos resultados das medições realmente realizadas, os resultados das medições potencialmente realizadas também existem ao mesmo tempo; (2) localidade, os resultados das medições na partícula de Alice não dependem de qual medição Bob escolhe realizar na outra partícula; (3) liberdade: Alice e Bob podem, de fato, escolher livremente quais medições realizar.

O pressuposto do realismo é, na verdade, um tanto idealista, e o teorema de Bell apenas prova a não localidade com respeito a variáveis ​​que existem apenas por razões metafísicas. No entanto, antes da descoberta da mecânica quântica, tanto o realismo quanto a localidade eram características completamente incontroversas das teorias físicas.

As previsões da mecânica quântica violam as desigualdades CHSH

As medições realizadas por Alice e Bob são medições de spin em elétrons. Alice pode escolher entre duas configurações de detector marcadas e ; essas configurações correspondem à medição do spin ao longo do ou do eixo. Bob pode escolher entre duas configurações de detector marcadas e ; estes correspondem à medição de spin ao longo do eixo ou , onde o sistema de coordenadas é girado 135 ° em relação ao sistema de coordenadas. Os observáveis ​​de spin são representados pelas matrizes auto-adjuntas 2 × 2:

Essas são as matrizes de spin de Pauli , que são conhecidas por terem autovalores iguais a . Como é de costume, usaremos a notação bra-ket para denotar os vetores próprios de como , onde

Considere agora o estado singlet definido como
onde usamos a notação abreviada

De acordo com a mecânica quântica, a escolha das medidas está codificada na escolha dos operadores Hermitianos aplicados a este estado. Em particular, considere os seguintes operadores:

onde representam duas opções de medição de Alice e duas opções de medição de Bob.

Para obter o valor esperado dado por uma dada escolha de medida de Alice e Bob, deve-se calcular o valor esperado do par de operadores correspondente (por exemplo, se as entradas forem escolhidas ) sobre o estado compartilhado .

Por exemplo, o valor esperado correspondente a Alice escolhendo a configuração de medição e Bob escolhendo a configuração de medição é calculado como

Cálculos semelhantes são usados ​​para obter
Segue-se que o valor de dado por este arranjo experimental particular é

Teorema de Bell: Se o formalismo da mecânica quântica estiver correto, o sistema que consiste em um par de elétrons emaranhados não pode satisfazer o princípio do realismo local. Observe que esse é, de fato, o limite superior da mecânica quântica, denominado limite de Tsirelson . Os operadores que fornecem este valor máximo são sempre isomórficos às matrizes de Pauli.

Teste por experimentos práticos

Esquema de um teste de Bell de "dois canais"
A fonte S produz pares de "fótons", enviados em direções opostas. Cada fóton encontra um polarizador de dois canais cuja orientação (a ou b) pode ser definida pelo experimentador. Os sinais emergentes de cada canal são detectados e as coincidências de quatro tipos (++, −−, + - e - +) contadas pelo monitor de coincidência.

Testes experimentais podem determinar se as desigualdades de Bell exigidas pelo realismo local são compatíveis com a evidência empírica.

Na verdade, a maioria dos experimentos foi realizada usando polarização de fótons em vez de spin de elétrons (ou outras partículas de meia-spin). O estado quântico do par de fótons emaranhados não é o estado singlete, e a correspondência entre ângulos e resultados é diferente daquela na configuração de meio spin. A polarização de um fóton é medida em um par de direções perpendiculares. Em relação a uma dada orientação, a polarização é vertical (denotada por V ou por +) ou horizontal (denotada por H ou por -). Os pares de fótons são gerados no estado quântico

onde e denota o estado de um único fóton polarizado vertical ou horizontalmente, respectivamente (em relação a uma direção de referência fixa e comum para ambas as partículas).

Quando a polarização de ambos os fótons é medida na mesma direção, ambos dão o mesmo resultado: correlação perfeita. Quando medidos em direções que fazem um ângulo de 45 ° entre si, os resultados são completamente aleatórios (não correlacionados). Medindo em direções de 90 ° entre si, os dois são perfeitamente anticorrelacionados. Em geral, quando os polarizadores estão em um ângulo θ entre si, a correlação é cos (2 θ ) . Portanto, em relação à função de correlação para o estado singleto das metades de partículas de spin, temos uma função cosseno positiva em vez de negativa, e os ângulos são reduzidos à metade: a correlação é periódica com o período π em vez de 2 π .

As desigualdades de Bell são testadas por "contagens de coincidência" de um experimento de teste de Bell, como o óptico mostrado no diagrama. Pares de partículas são emitidos como resultado de um processo quântico, analisados ​​em relação a alguma propriedade-chave, como direção de polarização, e então detectados. A configuração (orientações) dos analisadores são selecionados pelo experimentador.

Os experimentos de teste de Bell até agora violam de forma esmagadora a desigualdade de Bell.

Duas classes de desigualdades de Bell

O problema da amostragem justa foi enfrentado abertamente na década de 1970. Nos primeiros projetos de seu experimento de 1973, Freedman e Clauser usaram amostragem razoável na forma da hipótese de Clauser – Horne – Shimony – Holt (CHSH). No entanto, logo depois, Clauser e Horne fizeram a importante distinção entre desigualdades de Bell não homogêneas (IBI) e homogêneas (HBI). Testar um IBI requer que comparemos certas taxas de coincidência em dois detectores separados com as taxas individuais dos dois detectores. Ninguém precisou realizar o experimento, porque as taxas de singles com todos os detectores na década de 1970 eram pelo menos dez vezes todas as taxas de coincidência. Portanto, levando em consideração essa baixa eficiência do detector, a previsão QM realmente satisfez o IBI. Para chegar a um projeto experimental no qual a previsão QM viola o IBI, exigimos detectores cuja eficiência exceda 82,8% para estados singletes, mas tenham uma taxa de escuridão muito baixa e tempos mortos e de resolução curtos. No entanto, Eberhard descobriu que, com uma variante da desigualdade de Clauser-Horne, e usando menos do que os estados máxima emaranhados, uma eficiência de detecção de apenas 66,67% era necessária. Isso foi alcançado em 2015 por dois experimentos do tipo Bell "livres de brechas" bem-sucedidos, em Viena e no NIST em Boulder, Colorado.

Desafios práticos

Como, naquela época, mesmo os melhores detectores não detectavam uma grande fração de todos os fótons, Clauser e Horne reconheceram que testar a desigualdade de Bell exigia algumas suposições extras. Eles introduziram a Hipótese Sem Melhoria (NEH):

Um sinal de luz, originado em uma cascata atômica, por exemplo, tem uma certa probabilidade de ativar um detector. Então, se um polarizador for interposto entre a cascata e o detector, a probabilidade de detecção não pode aumentar.

Dada essa suposição, há uma desigualdade de Bell entre as taxas de coincidência com polarizadores e as taxas de coincidência sem polarizadores.

O experimento foi realizado por Freedman e Clauser, que descobriram que a desigualdade de Bell foi violada. Portanto, a hipótese de não aprimoramento não pode ser verdadeira em um modelo de variáveis ​​ocultas locais.

Enquanto os primeiros experimentos usaram cascatas atômicas, os experimentos posteriores usaram a conversão paramétrica, seguindo uma sugestão de Reid e Walls, dando propriedades de geração e detecção aprimoradas. Como resultado, experimentos recentes com fótons não precisam mais sofrer com a brecha de detecção. Isso fez do fóton o primeiro sistema experimental para o qual todas as principais lacunas experimentais foram superadas, embora a princípio apenas em experimentos separados. A partir de 2015, os experimentalistas conseguiram superar todas as principais lacunas experimentais simultaneamente; veja os experimentos de teste de Bell .

Interpretações do teorema de Bell

A interpretação de Copenhagen

A interpretação de Copenhagen é uma coleção de pontos de vista sobre o significado da mecânica quântica principalmente atribuídos a Niels Bohr e Werner Heisenberg . É uma das mais antigas das inúmeras interpretações propostas da mecânica quântica , já que suas características datam do desenvolvimento da mecânica quântica durante 1925-1927, e continua sendo uma das mais comumente ensinadas. Não há uma declaração histórica definitiva do que é a interpretação de Copenhague. Em particular, houve divergências fundamentais entre as visões de Bohr e Heisenberg. Alguns princípios básicos geralmente aceitos como parte da coleção de Copenhagen incluem a ideia de que a mecânica quântica é intrinsecamente indeterminística, com probabilidades calculadas usando a regra de Born , e o princípio da complementaridade : certas propriedades não podem ser definidas em conjunto para o mesmo sistema ao mesmo tempo. Para falar sobre uma propriedade específica de um sistema, esse sistema deve ser considerado dentro do contexto de um arranjo laboratorial específico. Quantidades observáveis ​​correspondendo a arranjos de laboratório mutuamente exclusivos não podem ser preditos juntos, mas considerar vários desses experimentos mutuamente exclusivos é necessário para caracterizar um sistema. O próprio Bohr usou a complementaridade para argumentar que o "paradoxo" EPR era falacioso. Como as medidas de posição e de momento são complementares, fazer a escolha de medir uma exclui a possibilidade de medir a outra. Conseqüentemente, argumentou ele, um fato deduzido a respeito de um arranjo do aparelho de laboratório não poderia ser combinado com um fato deduzido por meio do outro e, portanto, a inferência de posição predeterminada e valores de momento para a segunda partícula não era válida. Bohr concluiu que os "argumentos de EPR não justificam sua conclusão de que a descrição quântica acaba sendo essencialmente incompleta".

As interpretações do tipo Copenhagen geralmente tomam a violação das desigualdades de Bell como base para rejeitar o que Bell chamou de "realismo", que não é necessariamente o mesmo que abandonar o realismo em um sentido filosófico mais amplo. Por exemplo, Roland Omnès defende a rejeição de variáveis ​​ocultas e conclui que "a mecânica quântica é provavelmente tão realista quanto qualquer teoria sobre seu escopo e maturidade jamais será." Esse também é o caminho percorrido por interpretações que descendem da tradição de Copenhague, como histórias consistentes (muitas vezes anunciadas como "Copenhague bem feito"), bem como o QBismo .

Interpretação de muitos mundos da mecânica quântica

A interpretação dos Muitos Mundos é local e determinística, pois consiste na parte unitária da mecânica quântica sem colapso. Ele pode gerar correlações que violam uma desigualdade de Bell porque não satisfaz a suposição implícita de que Bell fez que as medições têm um único resultado. Na verdade, o teorema de Bell pode ser provado na estrutura de Muitos Mundos a partir da suposição de que uma medição tem um único resultado. Portanto, uma violação de uma desigualdade de Bell pode ser interpretada como uma demonstração de que as medições têm vários resultados.

A explicação que ele fornece para as correlações de Bell é que, quando Alice e Bob fazem suas medições, eles se dividem em ramos locais. Do ponto de vista de cada cópia de Alice, existem várias cópias de Bob apresentando resultados diferentes, portanto, Bob não pode ter um resultado definitivo, e o mesmo é verdadeiro do ponto de vista de cada cópia de Bob. Eles obterão um resultado mutuamente bem definido somente quando seus futuros cones de luz se sobrepõem. Nesse ponto, podemos dizer que a correlação de Bell começa a existir, mas foi produzida por um mecanismo puramente local. Portanto, a violação de uma desigualdade de Bell não pode ser interpretada como uma prova de não localidade.

Variáveis ​​ocultas não locais

A maioria dos defensores da ideia das variáveis ​​ocultas acredita que os experimentos descartaram as variáveis ​​ocultas locais. Eles estão prontos para abrir mão da localidade, explicando a violação da desigualdade de Bell por meio de uma teoria de variável oculta não local , na qual as partículas trocam informações sobre seus estados. Essa é a base da interpretação de Bohm da mecânica quântica, que exige que todas as partículas do universo sejam capazes de trocar informações instantaneamente com todas as outras. Um experimento de 2007 descartou uma grande classe de teorias de variáveis ​​ocultas não-Bohmianas não locais, embora não a própria mecânica Bohmiana.

A interpretação transacional , que postula as ondas viajando tanto para a frente quanto para trás no tempo, também é não local.

Superdeterminismo

O próprio Bell resumiu uma das maneiras possíveis de abordar o teorema, o superdeterminismo , em uma entrevista de 1985 para a rádio BBC:

Existe uma maneira de escapar da inferência de velocidades superluminais e ações assustadoras à distância. Mas envolve determinismo absoluto no universo, a completa ausência de livre arbítrio . Suponha que o mundo seja superdeterminista, não apenas com a natureza inanimada funcionando nos bastidores, mas com nosso comportamento, incluindo nossa crença de que somos livres para escolher fazer um experimento em vez de outro, absolutamente predeterminado, incluindo o ' decisão 'do experimentador de realizar um conjunto de medições em vez de outro, a dificuldade desaparece. Não há necessidade de um sinal mais rápido que a luz para dizer à partícula A que medição foi realizada na partícula  B , porque o universo, incluindo a partícula  A , já "sabe" qual será essa medição e seu resultado.

Alguns defensores dos modelos determinísticos não desistiram das variáveis ​​ocultas locais. Por exemplo, Gerard 't Hooft argumentou que a lacuna do superdeterminismo mencionada não pode ser descartada. Para uma teoria de variável oculta , se as condições de Bell estiverem corretas, os resultados que concordam com a teoria da mecânica quântica parecem indicar efeitos superluminais (mais rápidos que a luz), em contradição com a física relativística .

Também houve afirmações repetidas de que os argumentos de Bell são irrelevantes porque dependem de suposições ocultas que, de fato, são questionáveis. Por exemplo, ET Jaynes argumentou em 1989 que existem duas suposições ocultas no teorema de Bell que limitam sua generalidade. De acordo com Jaynes:

  1. Bell interpretou a probabilidade condicional P ( X  |  Y ) como uma influência causal, ou seja, Y exerceu uma influência causal em X na realidade. Esta interpretação é um mal-entendido da teoria da probabilidade. Como mostra Jaynes, "não se pode nem raciocinar corretamente em um problema tão simples como tirar duas bolas da urna de Bernoulli, se ele interpreta as probabilidades dessa maneira".
  2. A desigualdade de Bell não se aplica a algumas teorias de variáveis ​​ocultas possíveis. Só se aplica a uma certa classe de teorias de variáveis ​​ocultas locais. Na verdade, ele pode ter perdido o tipo de teoria das variáveis ​​ocultas em que Einstein está mais interessado.

Richard D. Gill afirmou que Jaynes interpretou mal a análise de Bell. Gill aponta que no mesmo volume da conferência em que Jaynes argumenta contra Bell, Jaynes confessa estar extremamente impressionado com uma curta prova de Steve Gull apresentada na mesma conferência, de que as correlações singletes não poderiam ser reproduzidas por uma simulação de computador de um local teoria das variáveis ​​ocultas. De acordo com Jaynes (escrevendo quase 30 anos após as contribuições marcantes de Bell), provavelmente levaríamos mais 30 anos para apreciar totalmente o resultado impressionante de Gull.

Em 2006, uma enxurrada de atividades sobre implicações para o determinismo surgiu com o teorema do livre arbítrio de John Horton Conway e Simon B. Kochen , que afirmava que "a resposta de uma partícula de spin 1 a um experimento triplo é livre - ou seja, não é uma função de propriedades daquela parte do universo que é anterior a esta resposta com respeito a qualquer referencial inercial dado. " Esse teorema aumentou a consciência de uma tensão entre o determinismo que governa totalmente um experimento (por um lado) e Alice e Bob sendo livres para escolher quaisquer configurações que quiserem para suas observações (por outro). O filósofo David Hodgson apóia esse teorema ao mostrar que o determinismo não é científico , deixando assim a porta aberta para nosso livre arbítrio.

Observações gerais

As violações das desigualdades de Bell, devido ao emaranhamento quântico, fornecem demonstrações quase definitivas de algo que já era fortemente suspeitado: que a física quântica não pode ser representada por qualquer versão da imagem clássica da física. Alguns elementos anteriores que pareciam incompatíveis com as imagens clássicas incluíam complementaridade e colapso da função de onda . As violações de Bell mostram que nenhuma resolução de tais problemas pode evitar a estranheza final do comportamento quântico.

O artigo EPR "localizou" as propriedades incomuns dos estados emaranhados , por exemplo, o estado singlete mencionado acima, que é a base para as aplicações atuais da física quântica, como a criptografia quântica ; uma aplicação envolve a medição do emaranhamento quântico como uma fonte física de bits para o protocolo de transferência inconsciente de Rabin . Essa não localidade era originalmente considerada ilusória, porque a interpretação padrão poderia facilmente eliminar a ação à distância simplesmente atribuindo a cada partícula estados de spin definidos para todas as direções de spin possíveis. O argumento EPR era: portanto, esses estados definidos existem, portanto a teoria quântica é incompleta no sentido EPR, uma vez que eles não aparecem na teoria. O teorema de Bell mostrou que a previsão do "emaranhamento" da mecânica quântica tem um grau de não localidade que não pode ser explicado por nenhuma teoria clássica de variáveis ​​ocultas locais.

O que é poderoso sobre o teorema de Bell é que ele não se refere a nenhuma teoria particular de variáveis ​​ocultas locais. Mostra que a natureza viola as suposições mais gerais por trás das pinturas clássicas, não apenas os detalhes de alguns modelos específicos. Nenhuma combinação de variáveis ​​locais determinísticas e locais aleatórias ocultas pode reproduzir os fenômenos previstos pela mecânica quântica e repetidamente observados em experimentos.

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

Os itens a seguir destinam-se ao público em geral.

  • Amir D. Aczel, Entanglement: O maior mistério da física (Four Walls Eight Windows, New York, 2001).
  • A. Afriat e F. Selleri, The Einstein, Podolsky and Rosen Paradox (Plenum Press, Nova York e Londres, 1999)
  • J. Baggott, The Meaning of Quantum Theory (Oxford University Press, 1992)
  • N. David Mermin, "A lua está aí quando ninguém olha? Realidade e a teoria quântica", em Physics Today , abril de 1985, pp. 38-47.
  • Louisa Gilder, The Age of Entanglement: When Quantum Physics Was Reborn (Nova York: Alfred A. Knopf, 2008)
  • Brian Greene, The Fabric of the Cosmos (Vintage, 2004, ISBN  0-375-72720-5 )
  • Nick Herbert, Quantum Reality: Beyond the New Physics (Anchor, 1987, ISBN  0-385-23569-0 )
  • D. Wick, The infamous boundary: sete décadas de controvérsia na física quântica (Birkhauser, Boston 1995)
  • R. Anton Wilson, Prometheus Rising (New Falcon Publications, 1997, ISBN  1-56184-056-4 )
  • Gary Zukav " The Dancing Wu Li Masters " (Perennial Classics, 2001, ISBN  0-06-095968-1 )
  • Goldstein, Sheldon; et al. (2011). "Teorema de Bell" . Scholarpedia . 6 (10): 8378. Bibcode : 2011SchpJ ... 6.8378G . doi : 10.4249 / scholarpedia.8378 .
  • Mermin, ND (1981). "Trazendo para casa o mundo atômico: Mistérios quânticos para qualquer pessoa". American Journal of Physics . 49 (10): 940–943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M . doi : 10.1119 / 1.12594 . S2CID  122724592 .

links externos