Julgamento de Bernoulli - Bernoulli trial

Gráficos de probabilidade P de não observar eventos independentes, cada um de probabilidade p após n tentativas de Bernoulli vs np para vários p . Três exemplos são mostrados:
Curva azul : lançar um dado de 6 lados 6 vezes dá 33,5% de chance de que 6 (ou qualquer outro número) nunca apareça; pode-se observar que à medida que n aumenta, a probabilidade de um evento de 1 / n nunca aparecer após n tentativas converge rapidamente para 0 .
Curva cinza : para obter 50-50 de chance de lançar um Yahtzee (5 dados cúbicos, todos mostrando o mesmo número), são necessários 0,69 × 1296 ~ 898 lances.
Curva verde : Tirar uma carta de um baralho de cartas sem curingas 100 (1,92 × 52) vezes com substituição dá 85,7% de chance de tirar o ás de espadas pelo menos uma vez.

Na teoria da probabilidade e estatística , um ensaio de Bernoulli (ou ensaio binomial ) é um experimento aleatório com exatamente dois resultados possíveis , "sucesso" e "fracasso", no qual a probabilidade de sucesso é a mesma sempre que o experimento é conduzido. Seu nome é uma homenagem a Jacob Bernoulli , um matemático suíço do século 17, que os analisou em seu Ars Conjectandi (1713).

A formalização matemática do julgamento de Bernoulli é conhecida como processo de Bernoulli . Este artigo oferece uma introdução elementar ao conceito, enquanto o artigo sobre o processo de Bernoulli oferece um tratamento mais avançado.

Como um ensaio de Bernoulli tem apenas dois resultados possíveis, pode ser enquadrado como uma pergunta "sim ou não". Por exemplo:

Portanto, sucesso e fracasso são meramente rótulos para os dois resultados e não devem ser interpretados literalmente. O termo "sucesso", neste sentido, consiste no resultado que satisfaz as condições especificadas, e não em qualquer julgamento moral. Mais geralmente, dado qualquer espaço de probabilidade , para qualquer evento (conjunto de resultados), pode-se definir uma tentativa de Bernoulli, correspondendo a se o evento ocorreu ou não (evento ou evento complementar ). Exemplos de ensaios de Bernoulli incluem:

  • Jogando uma moeda. Nesse contexto, anverso ("cabeças") convencionalmente denota sucesso e reverso ("caudas") denota fracasso. Uma moeda justa tem, por definição, uma probabilidade de sucesso de 0,5. Nesse caso, existem exatamente dois resultados possíveis.
  • Jogando um dado , onde um seis é "sucesso" e todo o resto um "fracasso". Nesse caso, há seis resultados possíveis e o evento é um seis; o evento complementar "não um seis" corresponde aos outros cinco resultados possíveis.
  • Ao conduzir uma pesquisa de opinião política , escolher um eleitor ao acaso para verificar se esse eleitor votará "sim" em um próximo referendo.

Definição

Testes repetidos independentes de um experimento com exatamente dois resultados possíveis são chamados de testes de Bernoulli. Chame um dos resultados de "sucesso" e o outro de "fracasso". Seja a probabilidade de sucesso em uma tentativa de Bernoulli e seja a probabilidade de fracasso. Então, a probabilidade de sucesso e a probabilidade de fracasso somam um, uma vez que esses são eventos complementares: "sucesso" e "falha" são mutuamente exclusivos e exaustivos . Assim, temos as seguintes relações:

Alternativamente, eles podem ser declarados em termos de probabilidades : dada a probabilidade p de sucesso eq de falha, as probabilidades de são e as probabilidades contra são Estas também podem ser expressas como números, dividindo, produzindo as probabilidades de , e as probabilidades contra ,,

Esses são inversos multiplicativos , portanto, eles se multiplicam por 1, com as seguintes relações:

No caso de um ensaio de Bernoulli representar um evento de resultados finitos e igualmente prováveis , em que S dos resultados são sucesso e F dos resultados são fracasso, as probabilidades de são e as probabilidades contra são Isso produz as seguintes fórmulas para probabilidade e chances:

Observe que aqui as probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados, não as probabilidades, mas a proporção é a mesma, uma vez que essas razões diferem apenas pela multiplicação de ambos os termos pelo mesmo fator constante.

Variáveis ​​aleatórias que descrevem testes de Bernoulli são frequentemente codificadas usando a convenção de que 1 = "sucesso", 0 = "falha".

Intimamente relacionado a uma tentativa de Bernoulli está uma experiência binomial, que consiste em um número fixo de tentativas de Bernoulli estatisticamente independentes , cada uma com uma probabilidade de sucesso , e conta o número de sucessos. Uma variável aleatória correspondente a um binomial é denotada por , e diz-se que tem uma distribuição binomial . A probabilidade de sucesso exato no experimento é dada por:

onde é um coeficiente binomial .

Os testes de Bernoulli também podem levar a distribuições binomiais negativas (que contam o número de sucessos em uma série de testes de Bernoulli repetidos até que um número especificado de falhas seja visto), bem como várias outras distribuições.

Quando várias tentativas de Bernoulli são realizadas, cada uma com sua própria probabilidade de sucesso, às vezes são chamadas de tentativas de Poisson .

Exemplo: jogar moedas

Considere o experimento simples em que uma moeda justa é lançada quatro vezes. Encontre a probabilidade de que exatamente duas das jogadas resultem em cara.

Solução

Para este experimento, deixe uma cara ser definida como um sucesso e uma coroa como um fracasso. Como a moeda é considerada justa, a probabilidade de sucesso é . Assim, a probabilidade de falha,, é dada por

.

Usando a equação acima, a probabilidade de exatamente dois lançamentos em um total de quatro lançamentos resultando em cara é dada por:

Veja também

Referências

links externos