Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer - Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Em matemática , a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer descreve o conjunto de soluções racionais para equações que definem uma curva elíptica . É um problema aberto no campo da teoria dos números e é amplamente reconhecido como um dos problemas matemáticos mais desafiadores. Recebeu o nome dos matemáticos Bryan John Birch e Peter Swinnerton-Dyer , que desenvolveram a conjectura durante a primeira metade da década de 1960 com a ajuda da computação mecânica. Até 2021, apenas casos especiais da conjectura foram comprovados.

A formulação moderna da conjectura refere dados aritméticas associados com uma curva elíptica E ao longo de um campo de número de K para o comportamento do Hasse-Weil L -função L ( E ,  de s ) de E a s  = 1. Mais especificamente, conjectura-se que a classificação do grupo abeliano E ( K ) de pontos de E é a ordem do zero de L ( E ,  s ) em s = 1, e o primeiro coeficiente diferente de zero na expansão de Taylor de L ( E ,  s ) em s = 1 é dado por dados aritméticos mais refinados anexados a E sobre K ( Wiles 2006 ).

A conjectura foi escolhida como um dos sete Problemas do Prêmio do Milênio listados pelo Clay Mathematics Institute , que ofereceu um prêmio de $ 1.000.000 pela primeira prova correta.

Fundo

Mordell (1922) provou o teorema de Mordell : o grupo de pontos racionais em uma curva elíptica tem uma base finita . Isso significa que para qualquer curva elíptica há um subconjunto finito de pontos racionais na curva, a partir do qual todos os outros pontos racionais podem ser gerados.

Se o número de pontos racionais em uma curva for infinito , algum ponto em uma base finita deve ter ordem infinita. O número de pontos de base independentes com ordem infinita é chamado de classificação da curva e é uma propriedade invariante importante de uma curva elíptica.

Se a classificação de uma curva elíptica for 0, a curva terá apenas um número finito de pontos racionais. Por outro lado, se a classificação da curva for maior que 0, então a curva tem um número infinito de pontos racionais.

Embora o teorema de Mordell mostre que a classificação de uma curva elíptica é sempre finita, ele não fornece um método eficaz para calcular a classificação de cada curva. A classificação de certas curvas elípticas pode ser calculada usando métodos numéricos, mas (no estado atual de conhecimento) não se sabe se esses métodos lidam com todas as curvas.

Um G -função L ( E ,  s ) pode ser definido por uma curva elíptica E através da construção de um produto de Euler a partir do número de pontos da curva de módulo cada privilegiada p . Esta função L é análoga à função zeta de Riemann e à série L de Dirichlet que é definida para uma forma quadrática binária . É um caso especial de uma função L de Hasse-Weil .

A definição natural de L ( E ,  s ) converge apenas para valores de s no plano complexo com Re ( s )> 3/2. Helmut Hasse conjecturou que L ( E ,  s ) poderia ser estendido por continuação analítica para todo o plano complexo. Esta conjectura foi provada pela primeira vez por Deuring (1941) para curvas elípticas com multiplicação complexa . Posteriormente, foi demonstrado que é verdadeiro para todas as curvas elípticas sobre Q , como consequência do teorema da modularidade .

Encontrar pontos racionais em uma curva elíptica geral é um problema difícil. Encontrar os pontos em um módulo de curva elíptica de um dado primo p é conceitualmente simples, pois há apenas um número finito de possibilidades a verificar. No entanto, para grandes números primos, é computacionalmente intensivo.

História

No início dos anos 1960, Peter Swinnerton-Dyer usou o computador EDSAC-2 no Laboratório de Computação da Universidade de Cambridge para calcular o número de pontos módulo p (denotados por N _p ) para um grande número de primos p em curvas elípticas cuja classificação era conhecida. A partir desses resultados numéricos Birch & Swinnerton-Dyer (1965) conjecturou que N _p para uma curva E com posto r obedece a uma lei assintótica.

${\ displaystyle \ prod _ {p \ leq x} {\ frac {N_ {p}} {p}} \ approx C \ log (x) ^ {r} {\ mbox {as}} x \ rightarrow \ infty}$

onde C é uma constante.

Inicialmente, isso se baseava em tendências um tanto tênues nos gráficos; isso induziu certo ceticismo em JWS Cassels (conselheiro de Ph.D. de Birch). Com o tempo, as evidências numéricas se acumularam.

Isso, por sua vez, os levou a fazer uma conjectura geral sobre o comportamento da função L de uma curva L ( E ,  s ) em s = 1, a saber, que teria um zero de ordem r neste ponto. Essa foi uma conjectura previdente para a época, visto que a continuação analítica de L ( E ,  s ) ali só foi estabelecida para curvas com multiplicação complexa, que também eram a principal fonte de exemplos numéricos. (NB que o recíproco da função L é, de alguns pontos de vista, um objeto de estudo mais natural; na ocasião, isso significa que se deve considerar pólos em vez de zeros.)

A conjectura foi subsequentemente estendida para incluir a previsão do coeficiente de Taylor preciso da função L em s  = 1. É conjecturalmente dado por

${\ displaystyle {\ frac {L ^ {(r)} (E, 1)} {r!}} = {\ frac {\ # \ mathrm {Sha} (E) \ Omega _ {E} R_ {E} \ prod _ {p | N} c_ {p}} {(\ # E _ {\ mathrm {Tor}}) ^ {2}}}}$

onde as quantidades do lado direito são invariantes da curva, estudadas por Cassels, Tate , Shafarevich e outros: incluem a ordem do grupo de torção , a ordem do grupo Tate-Shafarevich e as alturas canônicas de uma base de pontos racionais ( Wiles 2006 ).

Status atual

Um gráfico de para a curva y ²  =  x ³  - 5 x conforme X varia ao longo dos primeiros 100.000 primos. O eixo X é log (log ( X )) e o eixo Y está em uma escala logarítmica, então a conjectura prevê que os dados devem formar uma linha de inclinação igual à classificação da curva, que é 1 neste caso. Para comparação, uma linha de inclinação 1 é desenhada em vermelho no gráfico.${\ displaystyle \ prod _ {p \ leq X} {\ frac {N_ {p}} {p}}}$

A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer foi provada apenas em casos especiais:

1. Coates & Wiles (1977) provaram que se E é uma curva sobre um campo numérico F com multiplicação complexa por um campo quadrático imaginário K de número de classe 1, F = K ou Q , e L ( E , 1) não é 0, então E ( F ) é um grupo finito. Isso foi estendido ao caso em que F é qualquer extensão abeliana finita de K por Arthaud (1978) .
2. Gross & Zagier (1986) mostraram que se uma curva elíptica modular tem um zero de primeira ordem em s = 1 então ela tem um ponto racional de ordem infinita; veja o teorema de Gross-Zagier .
3. Kolyvagin (1989) mostrou que uma curva elíptica modular E para a qual L ( E , 1) não é zero tem posto 0, e uma curva elíptica modular E para a qual L ( E , 1) tem um zero de primeira ordem em s = 1 tem classificação 1.
4. Rubin (1991) mostrou que para curvas elípticas definidas sobre um campo quadrático imaginário K com multiplicação complexa por K , se a série L da curva elíptica não fosse zero em s = 1, então a parte p do grupo Tate-Shafarevich tinha a ordem prevista pela conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, para todos os primos p > 7.
5. Breuil et al. (2001) , estendendo o trabalho de Wiles (1995) , provou que todas as curvas elípticas definidas sobre os números racionais são modulares , o que estende os resultados # 2 e # 3 para todas as curvas elípticas sobre os racionais, e mostra que as funções L de todos curvas elípticas sobre Q são definidas em s = 1.
6. Bhargava & Shankar (2015) provaram que a classificação média do grupo Mordell-Weil de uma curva elíptica sobre Q é limitada acima por 7/6. Combinando isso com o teorema da paridade p de Nekovář (2009) e Dokchitser & Dokchitser (2010) e com a prova da conjectura principal da teoria de Iwasawa para GL (2) por Skinner & Urban (2014) , eles concluem que uma proporção positiva de curvas elípticas sobre Q têm posto analítico zero e, portanto, por Kolyvagin (1989) , satisfazem a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer.

Nada foi provado para curvas com classificação maior que 1, embora haja ampla evidência numérica para a verdade da conjectura.

Consequências

Muito parecido com a hipótese de Riemann , esta conjectura tem várias consequências, incluindo as duas seguintes:

• Seja n um número inteiro livre de quadrados ímpar . Assumindo a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, n é a área de um triângulo retângulo com comprimentos laterais racionais (um número congruente ) se e somente se o número de tripletos de inteiros ( x , y , z ) satisfazendo 2 x ² + y ² + 8 z ² = n é duas vezes o número de trios que satisfazem 2 x ² + y ² + 32 z ² = n . Esta afirmação, devido ao teorema de Tunnell ( Tunnell 1983 ), está relacionada ao fato de que n é um número congruente se e somente se a curva elíptica y ² = x ³ - n ² x tem um ponto racional de ordem infinita (assim, sob a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, sua função L tem um zero em 1 ). O interesse nesta afirmação é que a condição é facilmente verificada.
• Em uma direção diferente, certos métodos analíticos permitem uma estimativa da ordem de zero no centro da faixa crítica de famílias de funções L. Admitindo a conjectura BSD, essas estimativas correspondem a informações sobre a classificação das famílias de curvas elípticas em questão. Por exemplo: suponha a hipótese generalizada de Riemann e a conjectura BSD, a classificação média das curvas dada por y ² = x ³ + ax + b é menor que 2 .

Notas

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Swinnerton-Dyer Conjecture" . MathWorld .
• "Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer" . PlanetMath .
• A conjectura de The Birch e Swinnerton-Dyer : uma entrevista com o professor Henri Darmon por Agnes F. Beaudry
• O que é a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer? palestra de Manjul Bhargava (setembro de 2016) proferida durante a Clay Research Conference realizada na Universidade de Oxford