Birrefringência -Birefringence

Um cristal de calcita colocado sobre um papel milimetrado com linhas azuis mostrando a refração dupla
A luz que entra na polarização perpendicular (s) vê um índice efetivo de refração diferente da luz na polarização (p) e, portanto, é refratada em um ângulo diferente.
A luz que entra na polarização s (raio extraordinário, neste exemplo) vê um índice de refração maior do que a luz na polarização p (raio comum), sofrendo maior refração ao entrar e sair do cristal.

A birrefringência é a propriedade óptica de um material com índice de refração que depende da polarização e direção de propagação da luz . Esses materiais opticamente anisotrópicos são considerados birrefringentes (ou birrefrativos ). A birrefringência é frequentemente quantificada como a diferença máxima entre os índices de refração exibidos pelo material. Cristais com estruturas cristalinas não cúbicas são frequentemente birrefringentes, assim como plásticos sob estresse mecânico .

A birrefringência é responsável pelo fenômeno de dupla refração pelo qual um raio de luz, ao incidir sobre um material birrefringente, é dividido por polarização em dois raios que seguem caminhos ligeiramente diferentes. Este efeito foi descrito pela primeira vez pelo cientista dinamarquês Rasmus Bartholin em 1669, que o observou na calcita , um cristal com uma das birrefringências mais fortes. No entanto, foi somente no século 19 que Augustin-Jean Fresnel descreveu o fenômeno em termos de polarização, entendendo a luz como uma onda com componentes de campo em polarização transversal (perpendicular à direção do vetor de onda).

Explicação

Imagem duplamente refratada vista através de um cristal de calcita, vista através de um filtro polarizador rotativo ilustrando os estados de polarização opostos das duas imagens.

Uma descrição matemática da propagação de ondas em um meio birrefringente é apresentada a seguir . Segue uma explicação qualitativa do fenômeno.

Materiais uniaxiais

O tipo mais simples de birrefringência é descrito como uniaxial , o que significa que há uma única direção governando a anisotropia óptica, enquanto todas as direções perpendiculares a ela (ou em um determinado ângulo) são opticamente equivalentes. Assim, a rotação do material em torno desse eixo não altera seu comportamento óptico. Esta direção especial é conhecida como o eixo óptico do material. A luz que se propaga paralelamente ao eixo óptico (cuja polarização é sempre perpendicular ao eixo óptico) é governada por um índice de refração n o (de "ordinário"), independentemente de sua polarização específica. Para raios com qualquer outra direção de propagação, existe uma polarização linear que seria perpendicular ao eixo óptico, e um raio com essa polarização é chamado de raio comum e é governado pelo mesmo valor de índice de refração n o . No entanto, para um raio que se propaga na mesma direção, mas com uma polarização perpendicular à do raio comum, a direção de polarização será parcialmente na direção do eixo óptico, e esse raio extraordinário será governado por uma direção diferente, dependente da direção. índice de refração. Como o índice de refração depende da polarização quando a luz não polarizada entra em um material birrefringente uniaxial, ela é dividida em dois feixes viajando em direções diferentes, um tendo a polarização do raio comum e o outro a polarização do raio extraordinário. O raio comum sempre experimentará um índice de refração de n o , enquanto o índice de refração do raio extraordinário estará entre n o e n e , dependendo da direção do raio conforme descrito pelo elipsóide de índice . A magnitude da diferença é quantificada pela birrefringência:

A propagação (assim como o coeficiente de reflexão ) do raio comum é simplesmente descrito por n o como se não houvesse birrefringência envolvida. No entanto, o raio extraordinário, como o próprio nome sugere, se propaga de maneira diferente de qualquer onda em um material óptico isotrópico. Sua refração (e reflexão) em uma superfície pode ser entendida usando o índice de refração efetivo (um valor entre n o e n e ). No entanto, seu fluxo de potência (dado pelo vetor de Poynting ) não está exatamente na direção do vetor de onda . Isso causa um deslocamento adicional nesse feixe, mesmo quando lançado em incidência normal, como é popularmente observado usando um cristal de calcita como fotografado acima. Girar o cristal de calcita fará com que uma das duas imagens, a do raio extraordinário, gire ligeiramente em torno da do raio comum, que permanece fixo.

Quando a luz se propaga ao longo ou ortogonal ao eixo óptico, tal deslocamento lateral não ocorre. No primeiro caso, ambas as polarizações são perpendiculares ao eixo óptico e veem o mesmo índice de refração efetivo, portanto não há raio extraordinário. No segundo caso, o raio extraordinário se propaga em uma velocidade de fase diferente (correspondente a n e ), mas ainda tem o fluxo de potência na direção do vetor de onda . Um cristal com seu eixo óptico nessa orientação, paralelo à superfície óptica, pode ser utilizado para criar uma placa de onda , na qual não há distorção da imagem, mas uma modificação intencional do estado de polarização da onda incidente. Por exemplo, uma placa de quarto de onda é comumente usada para criar polarização circular a partir de uma fonte linearmente polarizada.

Materiais biaxiais

O caso dos chamados cristais biaxiais é substancialmente mais complexo. Estes são caracterizados por três índices de refração correspondentes a três eixos principais do cristal. Para a maioria das direções dos raios, ambas as polarizações seriam classificadas como raios extraordinários, mas com diferentes índices de refração efetivos. Sendo ondas extraordinárias, no entanto, a direção do fluxo de energia não é idêntica à direção do vetor de onda em nenhum dos casos.

Os dois índices de refração podem ser determinados usando os elipsóides de índice para determinadas direções da polarização. Observe que para cristais biaxiais o índice elipsóide não será um elipsóide de revolução (" esferóide "), mas é descrito por três índices de refração de princípio desigual n α , n β e n γ . Assim, não há eixo em torno do qual uma rotação deixe as propriedades ópticas invariantes (como ocorre com cristais uniaxiais cujo índice elipsóide é um esferóide).

Embora não haja eixo de simetria, existem dois eixos ópticos ou binormais que são definidos como direções ao longo das quais a luz pode se propagar sem birrefringência, ou seja, direções ao longo das quais o comprimento de onda é independente da polarização. Por esta razão, materiais birrefringentes com três índices de refração distintos são chamados de biaxiais . Além disso, existem dois eixos distintos conhecidos como eixos de raios ópticos ou birradiais ao longo dos quais a velocidade de grupo da luz é independente da polarização.

Dupla refração

Quando um feixe de luz arbitrário atinge a superfície de um material birrefringente com incidência não normal, o componente de polarização normal ao eixo óptico (raio comum) e a outra polarização linear (raio extraordinário) serão refratados para caminhos um pouco diferentes. A luz natural, chamada luz não polarizada , consiste em quantidades iguais de energia em quaisquer duas polarizações ortogonais. Mesmo a luz polarizada linearmente tem alguma energia em ambas as polarizações, a menos que esteja alinhada ao longo de um dos dois eixos de birrefringência. De acordo com a lei de refração de Snell, os dois ângulos de refração são governados pelo índice de refração efetivo de cada uma dessas duas polarizações. Isso é visto claramente, por exemplo, no prisma Wollaston que separa a luz que entra em duas polarizações lineares usando prismas compostos de um material birrefringente como a calcita .

Os diferentes ângulos de refração para os dois componentes de polarização são mostrados na figura no topo da página, com o eixo óptico ao longo da superfície (e perpendicular ao plano de incidência ), de modo que o ângulo de refração é diferente para o p polarização (o "raio comum" neste caso, tendo seu vetor elétrico perpendicular ao eixo óptico) e a polarização s (o "raio extraordinário" neste caso, cuja polarização do campo elétrico inclui uma componente na direção do eixo óptico) . Além disso, ocorre uma forma distinta de dupla refração, mesmo com incidência normal, nos casos em que o eixo óptico não está ao longo da superfície refratora (nem exatamente normal a ela); neste caso, a dipolarização elétrica do material birrefringente não é exatamente na direção do campo elétrico da onda para o raio extraordinário. A direção do fluxo de potência (dada pelo vetor de Poynting ) para esta onda não homogênea está em um ângulo finito da direção do vetor de onda resultando em uma separação adicional entre esses feixes. Assim, mesmo no caso de incidência normal, onde se calcularia o ângulo de refração como zero (de acordo com a lei de Snell, independentemente do índice de refração efetivo), a energia do raio extraordinário é propagada em um ângulo. Se sair do cristal por uma face paralela à face de entrada, a direção de ambos os raios será restaurada, mas deixando um deslocamento entre os dois feixes. Isso é comumente observado usando um pedaço de calcita recortado ao longo de sua clivagem natural, colocado sobre um papel com escrita, como nas fotografias acima. Pelo contrário, as placas de onda especificamente têm seu eixo óptico ao longo da superfície da placa, de modo que, com incidência (aproximadamente) normal, não haverá deslocamento na imagem da luz de qualquer polarização, simplesmente um deslocamento de fase relativo entre as duas ondas de luz.

Terminologia

Comparação da birrefringência positiva e negativa. Na birrefringência negativa (1), a polarização paralela (p) ao eixo óptico A é o raio rápido (F) enquanto a polarização perpendicular (s) é o raio lento (S). Na birrefringência positiva (2), é o inverso.

Grande parte do trabalho envolvendo polarização precedeu a compreensão da luz como uma onda eletromagnética transversal , e isso afetou algumas terminologias em uso. Materiais isotrópicos têm simetria em todas as direções e o índice de refração é o mesmo para qualquer direção de polarização. Um material anisotrópico é chamado de "birrefringente" porque geralmente irá refratar um único raio de entrada em duas direções, que agora entendemos corresponder às duas polarizações diferentes. Isto é verdade para um material uniaxial ou biaxial.

Em um material uniaxial, um raio se comporta de acordo com a lei normal de refração (correspondente ao índice de refração comum), de modo que um raio incidente com incidência normal permanece normal à superfície de refração. No entanto, como explicado acima, a outra polarização pode se desviar da incidência normal, o que não pode ser descrito usando a lei da refração. Este ficou assim conhecido como o raio extraordinário . Os termos "ordinário" e "extraordinário" ainda são aplicados aos componentes de polarização perpendiculares e não perpendiculares ao eixo óptico, respectivamente, mesmo nos casos em que nenhuma refração dupla está envolvida.

Um material é denominado uniaxial quando possui uma única direção de simetria em seu comportamento óptico, que denominamos de eixo óptico. Também é o eixo de simetria do elipsóide índice (um esferóide neste caso). O índice elipsóide poderia ainda ser descrito de acordo com os índices de refração, n α , n β e n γ , ao longo de três eixos coordenados, porém neste caso dois são iguais. Então, se n α = n β correspondendo aos eixos xey , então o índice extraordinário é n γ correspondente ao eixo z , que também é chamado de eixo óptico neste caso.

No entanto, materiais em que todos os três índices de refração são diferentes são chamados de biaxiais e a origem deste termo é mais complicada e frequentemente mal compreendida. Em um cristal uniaxial, diferentes componentes de polarização de um feixe viajarão em diferentes velocidades de fase, exceto para raios na direção do que chamamos de eixo óptico. Assim, o eixo óptico tem a propriedade particular de que os raios nessa direção não exibem birrefringência, com todas as polarizações em tal feixe experimentando o mesmo índice de refração. É muito diferente quando os três principais índices de refração são todos diferentes; então um raio de entrada em qualquer uma dessas direções principais ainda encontrará dois índices de refração diferentes. Mas acontece que existem duas direções especiais (em um ângulo para todos os 3 eixos) onde os índices de refração para diferentes polarizações são novamente iguais. Por esta razão, esses cristais foram designados como biaxiais , com os dois "eixos" neste caso referindo-se às direções dos raios em que a propagação não sofre birrefringência.

Raios rápidos e lentos

Em um material birrefringente, uma onda consiste em dois componentes de polarização que geralmente são governados por diferentes índices de refração efetivos. O chamado raio lento é o componente para o qual o material apresenta maior índice de refração efetivo (menor velocidade de fase), enquanto o raio rápido é aquele com menor índice de refração efetivo. Quando um feixe incide sobre tal material do ar (ou qualquer material com um índice de refração mais baixo), o raio lento é refratado mais em direção ao normal do que o raio rápido. Na figura no topo da página, pode-se observar que o raio refratado com polarização s (com sua vibração elétrica na direção do eixo óptico, portanto o raio extraordinário) é o raio lento neste caso.

Usando uma placa delgada desse material em incidência normal, implementar-se-ia uma placa de onda . Neste caso, essencialmente não há separação espacial entre as polarizações, porém, a fase da onda na polarização paralela (o raio lento) será retardada em relação à polarização perpendicular. Essas direções são conhecidas como eixo lento e eixo rápido da placa de onda.

Positivo ou negativo

A birrefringência uniaxial é classificada como positiva quando o índice de refração extraordinário n e é maior que o índice ordinário n o . Birrefringência negativa significa que Δ n = n en o é menor que zero. Em outras palavras, a polarização da onda rápida (ou lenta) é perpendicular ao eixo óptico quando a birrefringência do cristal é positiva (ou negativa, respectivamente). No caso de cristais biaxiais, todos os três eixos principais têm índices de refração diferentes, portanto, essa designação não se aplica. Mas para qualquer direção de raio definida pode-se também designar as polarizações de raios rápidas e lentas.

Fontes de birrefringência óptica

Vista sob a Sky Pool, Londres com franjas coloridas devido à birrefringência de tensão da clarabóia parcialmente polarizada através de um polarizador circular

Embora a fonte mais conhecida de birrefringência seja a entrada de luz em um cristal anisotrópico, ela pode resultar em materiais opticamente isotrópicos de algumas maneiras:

Materiais birrefringentes comuns

Ensanduichado entre polarizadores cruzados, talheres de poliestireno transparente exibem birrefringência dependente do comprimento de onda

Os materiais birrefringentes mais bem caracterizados são os cristais . Devido às suas estruturas cristalinas específicas, seus índices de refração são bem definidos. Dependendo da simetria de uma estrutura cristalina (conforme determinado por um dos 32 grupos de pontos cristalográficos possíveis ), os cristais nesse grupo podem ser forçados a ser isotrópicos (não birrefringentes), ter simetria uniaxial ou nenhum, caso em que é um cristal biaxial. As estruturas cristalinas que permitem a birrefringência uniaxial e biaxial são observadas nas duas tabelas abaixo, listando os dois ou três principais índices de refração (no comprimento de onda de 590 nm) de alguns cristais mais conhecidos.

Além da birrefringência induzida sob estresse, muitos plásticos obtêm birrefringência permanente durante a fabricação devido a tensões que são "congeladas" devido a forças mecânicas presentes quando o plástico é moldado ou extrudado. Por exemplo, o celofane comum é birrefringente. Os polarizadores são usados ​​rotineiramente para detectar estresse, aplicado ou congelado, em plásticos como poliestireno e policarbonato .

A fibra de algodão é birrefringente devido aos altos níveis de material celulósico na parede celular secundária da fibra, que é direcionalmente alinhada com as fibras de algodão.

A microscopia de luz polarizada é comumente usada em tecidos biológicos, pois muitos materiais biológicos são birrefringentes linear ou circularmente. O colágeno, encontrado em cartilagens, tendões, ossos, córneas e várias outras áreas do corpo, é birrefringente e comumente estudado com microscopia de luz polarizada. Algumas proteínas também são birrefringentes, exibindo birrefringência de forma.

As imperfeições de fabricação inevitáveis ​​na fibra óptica levam à birrefringência, que é uma das causas do alargamento de pulso nas comunicações de fibra óptica . Tais imperfeições podem ser geométricas (falta de simetria circular), ou devido a tensões laterais desiguais aplicadas à fibra óptica. A birrefringência é introduzida intencionalmente (por exemplo, tornando a seção transversal elíptica) para produzir fibras ópticas que mantêm a polarização . A birrefringência pode ser induzida (ou corrigida!) nas fibras ópticas através da sua dobra, o que causa anisotropia na forma e tensão, dado o eixo em torno do qual é dobrada e o raio de curvatura.

Além da anisotropia na polarizabilidade elétrica que temos discutido, a anisotropia na permeabilidade magnética pode ser uma fonte de birrefringência. No entanto, em frequências ópticas, não há polarizabilidade magnética mensurável ( μ = μ 0 ) de materiais naturais, portanto, esta não é uma fonte real de birrefringência em comprimentos de onda ópticos.

Medição

Birrefringência e outros efeitos ópticos baseados em polarização (como rotação óptica e dicroísmo linear ou circular ) podem ser observados medindo qualquer mudança na polarização da luz que passa pelo material. Essas medidas são conhecidas como polarimetria . Microscópios de luz polarizada, que contêm dois polarizadores que estão a 90° um do outro em cada lado da amostra, são usados ​​para visualizar a birrefringência, pois a luz que não foi afetada pela birrefringência permanece em uma polarização que é totalmente rejeitada pelo segundo polarizador ("analisador"). A adição de placas de quarto de onda permite o exame usando luz circularmente polarizada. A determinação da mudança no estado de polarização usando tal aparelho é a base da elipsometria , pela qual as propriedades ópticas das superfícies especulares podem ser medidas por reflexão.

As medições de birrefringência foram feitas com sistemas de fase modulada para examinar o comportamento do fluxo transiente de fluidos. A birrefringência das bicamadas lipídicas pode ser medida usando interferometria de dupla polarização . Isso fornece uma medida do grau de ordem dentro dessas camadas de fluido e como essa ordem é interrompida quando a camada interage com outras biomoléculas.

Formulários

Visor refletivo de cristal líquido nemático torcido . A luz refletida pela superfície (6) (ou proveniente de uma luz de fundo ) é polarizada horizontalmente (5) e passa pelo modulador de cristal líquido (3) ensanduichado entre camadas transparentes (2, 4) contendo eletrodos. A luz polarizada horizontalmente é bloqueada pelo polarizador orientado verticalmente (1), exceto onde sua polarização foi girada pelo cristal líquido (3), aparecendo brilhante para o observador.

A birrefringência é usada em muitos dispositivos ópticos. As telas de cristal líquido , o tipo mais comum de tela plana , fazem com que seus pixels se tornem mais claros ou mais escuros por meio da rotação da polarização (birrefringência circular) da luz polarizada linearmente vista através de um polarizador de folha na superfície da tela. Da mesma forma, os moduladores de luz modulam a intensidade da luz através da birrefringência eletricamente induzida da luz polarizada seguida por um polarizador. O filtro Lyot é um filtro espectral de banda estreita especializado que emprega a dependência do comprimento de onda da birrefringência. Waveplates são folhas finas birrefringentes amplamente utilizadas em certos equipamentos ópticos para modificar o estado de polarização da luz que passa por eles.

A birrefringência também desempenha um papel importante na geração de segunda harmônica e outros componentes ópticos não lineares , pois os cristais usados ​​para esse fim são quase sempre birrefringentes. Ao ajustar o ângulo de incidência, o índice de refração efetivo do raio extraordinário pode ser ajustado para obter a correspondência de fase , necessária para a operação eficiente desses dispositivos.

Remédio

A birrefringência é utilizada em diagnósticos médicos. Um acessório poderoso usado com microscópios ópticos é um par de filtros de polarização cruzada. A luz da fonte é polarizada na direção x depois de passar pelo primeiro polarizador, mas acima da amostra há um polarizador (o chamado analisador ) orientado na direção y . Portanto, nenhuma luz da fonte será aceita pelo analisador e o campo aparecerá escuro. No entanto, áreas da amostra que possuem birrefringência geralmente acoplam parte da luz x -polarizada na polarização y ; essas áreas aparecerão brilhantes contra o fundo escuro. Modificações neste princípio básico podem diferenciar entre birrefringência positiva e negativa.

Cristais de gota e pseudogota vistos sob um microscópio com um compensador vermelho, que retarda a luz vermelha em uma orientação (rotulado "eixo da luz polarizada"). Os cristais de urato ( imagem à esquerda ) na gota aparecem em amarelo quando seu eixo longo é paralelo ao eixo de transmissão lenta do compensador vermelho e aparecem em azul quando perpendiculares. As cores opostas são vistas na doença de deposição de cristais de dihidrato de pirofosfato de cálcio (pseudogota, imagem à direita ): azul quando paralelo e amarelo quando perpendicular.

Por exemplo, a aspiração por agulha de fluido de uma articulação gotosa revelará cristais de urato monossódico negativamente birrefringentes. Os cristais de pirofosfato de cálcio , em contraste, mostram birrefringência positiva fraca. Os cristais de urato aparecem em amarelo e os cristais de pirofosfato de cálcio aparecem em azul quando seus eixos longos estão alinhados paralelamente ao de um filtro compensador vermelho, ou um cristal de birrefringência conhecida é adicionado à amostra para comparação.

A birrefringência pode ser observada em placas amilóides , como as encontradas nos cérebros de pacientes de Alzheimer quando coradas com um corante como o Vermelho Congo. Proteínas modificadas, como cadeias leves de imunoglobulinas , acumulam-se anormalmente entre as células, formando fibrilas. Múltiplas dobras dessas fibras se alinham e assumem uma conformação de folha beta plissada . O corante vermelho do Congo se intercala entre as dobras e, quando observado sob luz polarizada, causa birrefringência.

Na oftalmologia , a triagem binocular da birrefringência retiniana das fibras de Henle (axônios fotorreceptores que saem radialmente da fóvea) fornece uma detecção confiável de estrabismo e possivelmente também de ambliopia anisometrópica . Em indivíduos saudáveis, o retardo máximo induzido pela camada de fibra de Henle é de aproximadamente 22 graus a 840 nm. Além disso, a polarimetria a laser de varredura utiliza a birrefringência da camada de fibra do nervo óptico para quantificar indiretamente sua espessura, o que é útil na avaliação e monitoramento do glaucoma . Medidas de tomografia de coerência óptica sensíveis à polarização obtidas de indivíduos humanos saudáveis ​​demonstraram uma mudança na birrefringência da camada de fibras nervosas da retina em função da localização ao redor da cabeça do nervo óptico. A mesma tecnologia foi aplicada recentemente na retina humana viva para quantificar as propriedades de polarização das paredes dos vasos perto do nervo óptico.

As características de birrefringência nas cabeças dos espermatozoides permitem a seleção de espermatozoides para injeção intracitoplasmática de espermatozoides . Da mesma forma, a imagem de zona usa birrefringência em oócitos para selecionar aqueles com maiores chances de gravidez bem-sucedida. A birrefringência de partículas biopsiadas de nódulos pulmonares indica silicose .

Dermatologistas usam dermatoscópios para visualizar lesões de pele. Os dermoscópios usam luz polarizada, permitindo ao usuário visualizar estruturas cristalinas correspondentes ao colágeno dérmico na pele. Essas estruturas podem aparecer como linhas brancas brilhantes ou formas de rosetas e são visíveis apenas na dermatoscopia polarizada .

Birrefringência induzida por estresse

Sólidos isotrópicos não apresentam birrefringência. No entanto, quando estão sob estresse mecânico , ocorre birrefringência. A tensão pode ser aplicada externamente ou é "congelada" depois que uma peça de plástico birrefringente é resfriada após sua fabricação usando moldagem por injeção . Quando tal amostra é colocada entre dois polarizadores cruzados, padrões de cores podem ser observados, porque a polarização de um raio de luz é girada após passar por um material birrefringente e a quantidade de rotação depende do comprimento de onda. O método experimental chamado fotoelasticidade usado para analisar a distribuição de tensões em sólidos é baseado no mesmo princípio. Houve pesquisas recentes sobre o uso de birrefringência induzida por estresse em uma placa de vidro para gerar um vórtice óptico e feixes Poincare completos (feixes ópticos que têm todos os estados de polarização possíveis em uma seção transversal).

Outros casos de birrefringência

Rutilo birrefringente observado em diferentes polarizações usando um polarizador rotativo (ou analisador )

A birrefringência é observada em materiais elásticos anisotrópicos . Nesses materiais, as duas polarizações se dividem de acordo com seus índices de refração efetivos, que também são sensíveis ao estresse.

O estudo da birrefringência em ondas de cisalhamento que viajam pela Terra sólida (o núcleo líquido da Terra não suporta ondas de cisalhamento) é amplamente utilizado em sismologia .

A birrefringência é amplamente utilizada em mineralogia para identificar rochas, minerais e pedras preciosas.

Teoria

Superfície dos vetores k permitidos para uma frequência fixa para um cristal biaxial (ver eq. 7 ).

Em um meio isotrópico (incluindo espaço livre) o chamado deslocamento elétrico ( D ) é apenas proporcional ao campo elétrico ( E ) de acordo com D = ɛ E onde a permissividade do material ε é apenas um escalar (e igual a n 2 ε 0 onde n é o índice de refração ). No entanto, em um material anisotrópico exibindo birrefringência, a relação entre D e E deve agora ser descrita usando uma equação tensorial :

 

 

 

 

( 1 )

onde ε é agora um tensor de permissividade 3 × 3. Assumimos linearidade e sem permeabilidade magnética no meio: μ = μ 0 . O campo elétrico de uma onda plana de frequência angular ω pode ser escrito na forma geral:

 

 

 

 

( 2 )

onde r é o vetor de posição, t é o tempo e E 0 é um vetor que descreve o campo elétrico em r = 0 , t = 0 . Então encontraremos os possíveis vetores de onda k . Combinando as equações de Maxwell para ∇ × E e ∇ × H , podemos eliminar H = 1/μ 0B para obter:

 

 

 

 

( 3a )

Sem cargas livres, a equação de Maxwell para a divergência de D desaparece:

 

 

 

 

( 3b )

Podemos aplicar a identidade vetorial ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A ao lado esquerdo da eq. 3a , e use a dependência espacial em que cada diferenciação em x (por exemplo) resulta na multiplicação por ik x para encontrar:

 

 

 

 

( 3c )

O lado direito da eq. 3a pode ser expresso em termos de E através da aplicação do tensor de permissividade ε e notando que a diferenciação no tempo resulta na multiplicação por , eq. 3a então se torna:

 

 

 

 

( 4a )

Aplicando a regra de diferenciação à eq. 3b encontramos:

 

 

 

 

( 4b )

Eq. 4b indica que D é ortogonal à direção do vetor de onda k , embora isso não seja mais verdade para E como seria o caso em um meio isotrópico. Eq. 4b não será necessário para as etapas adicionais na seguinte derivação.

Encontrar os valores permitidos de k para um dado ω é feito mais facilmente usando coordenadas cartesianas com os eixos x , y e z escolhidos nas direções dos eixos de simetria do cristal (ou simplesmente escolhendo z na direção do eixo óptico de um cristal uniaxial), resultando em uma matriz diagonal para o tensor de permissividade ε :

 

 

 

 

( 4c )

onde os valores diagonais são quadrados dos índices de refração para polarizações ao longo dos três eixos principais x , y e z . Com ε nesta forma, e substituindo na velocidade da luz c usando c 2 =1/μ 0 ε 0, o componente x da equação vetorial eq. 4a torna -se

 

 

 

 

( 5a )

onde E x , E y , E z são as componentes de E (em qualquer posição dada no espaço e no tempo) e k x , k y , k z são as componentes de k . Reorganizando, podemos escrever (e similarmente para os componentes y e z da eq. 4a )

 

 

 

 

( 5b )

 

 

 

 

( 5c )

 

 

 

 

( 5d )

Este é um conjunto de equações lineares em E x , E y , E z , de modo que pode ter uma solução não trivial (ou seja, uma diferente de E = 0 ) desde que o seguinte determinante seja zero:

 

 

 

 

( 6 )

Avaliando o determinante da eq. 6 , e reorganizando os termos de acordo com as potências de , os termos constantes se cancelam. Depois de eliminar o fator comum dos termos restantes, obtemos

 

 

 

 

( 7 )

No caso de um material uniaxial, escolhendo o eixo óptico na direção z de modo que n x = n y = n o e n z = n e , essa expressão pode ser fatorada em

 

 

 

 

( 8 )

Definindo qualquer um dos fatores na eq. 8 a zero definirá uma superfície elipsoidal no espaço de vetores de onda k que são permitidos para um dado ω . O primeiro fator sendo zero define uma esfera; esta é a solução para os chamados raios ordinários, nos quais o índice de refração efetivo é exatamente n o independente da direção de k . A segunda define um esferóide simétrico em torno do eixo z . Esta solução corresponde aos chamados raios extraordinários em que o índice de refração efetivo está entre n o e n e , dependendo da direção de k . Portanto, para qualquer direção de propagação arbitrária (exceto na direção do eixo óptico), dois vetores de onda k distintos são permitidos correspondentes às polarizações dos raios ordinário e extraordinário.

Para um material biaxial, uma condição semelhante, mas mais complicada, nas duas ondas pode ser descrita; o lugar geométrico dos k vetores permitidos (a superfície do vetor de onda ) é uma superfície de duas folhas de 4º grau, de modo que em uma determinada direção há geralmente dois vetores k permitidos (e seus opostos). Por inspeção pode-se ver que a eq. 6 é geralmente satisfeito para dois valores positivos de ω . Ou, para uma frequência óptica especificada ω e direção normal às frentes de ondak/| k |, é satisfeito para dois números de onda (ou constantes de propagação) | k | (e, portanto, índices de refração efetivos) correspondentes à propagação de duas polarizações lineares nessa direção.

Quando essas duas constantes de propagação são iguais, o índice de refração efetivo é independente da polarização e, consequentemente, não há birrefringência encontrada por uma onda viajando naquela direção específica. Para um cristal uniaxial, este é o eixo óptico, a direção ± z de acordo com a construção acima. Mas quando todos os três índices de refração (ou permissividades), n x , n y e n z são distintos, pode-se mostrar que existem exatamente duas dessas direções, onde as duas folhas da superfície do vetor de onda se tocam; essas direções não são nada óbvias e não se situam ao longo de nenhum dos três eixos principais ( x , y , z de acordo com a convenção acima). Historicamente, isso explica o uso do termo "biaxial" para tais cristais, pois a existência de exatamente duas dessas direções especiais (consideradas "eixos") foi descoberta bem antes de a polarização e a birrefringência serem compreendidas fisicamente. No entanto, essas duas direções especiais geralmente não são de interesse particular; cristais biaxiais são bastante especificados por seus três índices de refração correspondentes aos três eixos de simetria.

Um estado geral de polarização lançado no meio sempre pode ser decomposto em duas ondas, uma em cada uma dessas duas polarizações, que então se propagarão com diferentes números de onda | k | . Aplicando a fase diferente de propagação a essas duas ondas em uma distância de propagação especificada resultará em um estado de polarização líquida geralmente diferente naquele ponto; este é o princípio da placa de onda, por exemplo. No entanto, com uma placa de onda, não há deslocamento espacial entre os dois raios, pois seus k vetores ainda estão na mesma direção. Isso é verdade quando cada uma das duas polarizações é normal ao eixo óptico (o raio ordinário) ou paralela a ele (o raio extraordinário).

No caso mais geral, há uma diferença não apenas na magnitude, mas na direção dos dois raios. Por exemplo, a fotografia através de um cristal de calcita (topo da página) mostra uma imagem deslocada nas duas polarizações; isso se deve ao fato de o eixo óptico não ser nem paralelo nem normal à superfície do cristal. E mesmo quando o eixo óptico é paralelo à superfície, isso ocorrerá para ondas lançadas com incidência não normal (conforme representado na figura explicativa). Nesses casos, os dois k vetores podem ser encontrados resolvendo a eq. 6 restringido pela condição de contorno que requer que os componentes dos vetores k das duas ondas transmitidas , e o vetor k da onda incidente, conforme projetado na superfície da interface, sejam todos idênticos. Para um cristal uniaxial, verificar-se-á que não há um deslocamento espacial para o raio comum (daí seu nome) que irá refratar como se o material fosse não birrefringente com um índice igual aos dois eixos que não são o eixo óptico . Para um cristal biaxial, nenhum raio é considerado "comum" nem geralmente é refratado de acordo com um índice de refração igual a um dos eixos principais.

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

  • M. Born e E. Wolf, 2002, Princípios de Óptica , 7ª Ed., Cambridge University Press, 1999 (reimpresso com correções, 2002).
  • A. Fresnel, 1827, "Mémoire sur la double réfraction", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , vol. VII (para 1824, impresso em 1827), pp. 45–176 ; reimpresso como "Second mémoire..." em Fresnel, 1866-1870, vol. 2, pp. 479-596 ; traduzido por AW Hobson como "Memoir on double refraction" , em R. Taylor (ed.), Scientific Memoirs , vol. V (Londres: Taylor & Francis, 1852), pp. 238–333. (Os números das páginas citadas são da tradução.)
  • A. Fresnel (ed. H. de Sénarmont, E. Verdet e L. Fresnel), 1866–70, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel (3 volumes), Paris: Imprimerie Impériale; volume 1 (1866) , vol. 2 (1868) , vol. 3 (1870) .

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