bissecção - Bisection


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Linha DE bissecta linha AB em D, linha EF é uma bissectriz perpendicular de AD segmento em C, e linha EF representa a bissectriz interior de AED ângulo recto

Em geometria , bisection é a divisão de algo em duas iguais ou congruentes partes, geralmente por uma linha , que é então chamado de uma bissetriz . Os tipos mais frequentemente considerada de bissectrizes são a bissectriz segmento (uma linha que passa através do ponto médio de um dado segmento) e a bissectriz (uma linha que passa através do vértice de um ângulo, que o divide em dois ângulos iguais).

No espaço tridimensional , bisection geralmente é feito por um plano, também chamado de bissetriz ou dividindo avião .

bissetriz segmento de linha

Mediatriz

Um segmento de linha bissectriz passa através do ponto médio do segmento. Particularmente importante é a perpendicular bissectriz de um segmento, que, de acordo com o seu nome, encontra o segmento em ângulo recto . A bissectriz perpendicular de um segmento também tem a propriedade de que cada um dos seus pontos é equidistante a partir de extremidades do segmento. Portanto, Voronoi diagrama limites consistir em segmentos de tais linhas ou planos.

Em geometria clássica, a bissecção é uma simples régua e compasso construção , cuja possibilidade depende da capacidade de desenhar círculos de raios iguais e diferentes centros. O segmento é dividido em dois por desenho círculos secantes de raios iguais, cujos centros são os pontos de extremidade do segmento e de tal modo que cada círculo passa por um ponto final. A linha determinado pelos pontos de intersecção dos dois círculos é a bissectriz perpendicular do segmento, uma vez que atravessa o segmento no seu centro. Esta construção é, de facto, usado na construção de uma linha perpendicular a uma dada linha num dado ponto: Desenho de um círculo arbitrária, cujo centro é o ponto, que intersecta a linha em mais de dois pontos, e a perpendicular a ser construída é a um bissector do segmento definido por estes dois pontos.

O teorema de Brahmagupta estabelece que se um quadrilátero cíclico é orthodiagonal (isto é, tem perpendiculares diagonais ), em seguida, a perpendicular a um lado do ponto de intersecção das diagonais sempre corta o lado oposto.

Algebricamente, a bissectriz perpendicular de um segmento de linha com pontos de extremidade e é dado pela equação

que afirma que a distância ao quadrado de um ponto sobre a bissectriz de um ponto de extremidade é igual à distância ao quadrado a partir desse ponto para o outro endpoint.

bissetriz

Bissecção de um ângulo utilizando um compasso e régua

Um ângulo bisector divide o ângulo em dois ângulos com iguais medidas. Um ângulo tem apenas uma bissetriz. Cada ponto de uma bissectriz é equidistante dos lados do ângulo.

O interior ou bissectriz interna de um ângulo é a linha, meia-linha , ou segmento de linha que divide um ângulo inferior a 180 ° em dois ângulos iguais. O exterior ou bissectriz externa é a linha que divide o ângulo suplementar (de 180 ° menos o ângulo original), formada por um lado que forma o ângulo original e a extensão do outro lado, em dois ângulos iguais.

Para bissectar um ângulo com régua e bússola , um desenha um círculo cujo centro é o vértice. O círculo encontra o ângulo em dois pontos: um em cada perna. Utilizando cada um destes pontos como um centro, desenhar dois círculos do mesmo tamanho. A intersecção dos círculos (dois pontos) determina uma linha que representa a bissectriz.

A prova do acerto dessa construção é bastante intuitiva, contando com a simetria do problema. A tri-secção de um ângulo (dividindo-o em três partes iguais) não pode ser conseguida com a bússola e régua sozinho (isto foi provado pela primeira vez por Pierre Wantzel ).

Os bissectores internos e externos de um ângulo são perpendiculares . Se o ângulo formado pelas duas linhas dadas como algebricamente e , em seguida, as bissectrizes internos e externos são dadas pelas duas equações

Triângulo

Incircle.svg

Concurrencies e colinearidades

Os bissectriz interior de um triângulo são simultânea num ponto chamado o incentro do triângulo, como pode ser visto no diagrama da direita.

Os bissectores dos dois ângulos exteriores e a bissectriz do outro ângulo interior são concorrentes.

Três pontos de intersecção, cada um de uma bissectriz do ângulo externo com o oposto lado estendido , são colineares (cair na mesma linha que o outro).

Três pontos de intersecção, entre dois deles uma bissectriz do ângulo interior e o lado oposto, e a terceira entre a outra bissectriz exterior e o lado oposto estendido, são colineares.

Bissetriz teorema

Neste diagrama, BD: DC = AB: AC.

O teorema da bissectriz está preocupado com os relativos comprimentos dos dois segmentos que um triângulo de lado é dividido em, por uma linha que bissecta o ângulo oposto. É equivale seus comprimentos relativos aos comprimentos relativos dos dois outros lados do triângulo.

comprimentos

Se os comprimentos dos lados de um triângulo são , a semiperimeter e A é o ângulo do lado oposto , em seguida, o comprimento da bissectriz do ângulo interno A é

ou em termos trigonométricas,

Se a bissectriz interna do ângulo A em triângulo ABC tem comprimento e se este bissectriz divide o lado oposto uma em segmentos de comprimentos de m e n , em seguida

em que b e c são os comprimentos laterais opostas vértices B e C; e o lado oposto A é dividido na proporção b : c .

Se as bissectrizes internos de ângulos A, B, e C têm comprimentos e , em seguida

Não existem dois triângulos não congruentes partilhar o mesmo conjunto de três ângulo interno bissectriz comprimentos.

triângulos inteiros

Existem triângulos inteiros com uma bissetriz racional .

Quadrilátero

Os bissectriz internas de um convexa quadrilátero quer formar um quadrilátero cíclico (isto é, os quatro pontos de intersecção da bissectriz adjacentes são concyclic ), ou eles são simultânea . Neste último caso, o quadrilátero é um quadrilátero tangencial .

losango

Cada diagonal de um losango bissecta ângulos opostos.

quadrilátero Ex-tangencial

O excêntrico de um quadrilátero ex tangencial encontra-se na intersecção dos seis bissectriz. Estas são as bissectrizes internos ângulo em dois ângulos opostos, os vértices bissectriz externos (bisectors suplementares ângulo) nos outros dois ângulos do vértice, e as bissectriz externos nos ângulos formados onde as extensões de lados opostos se cruzam.

Parábola

A tangente a uma parábola , em qualquer ponto bissecta o ângulo entre a linha que une o ponto para o foco e a linha a partir do ponto de e perpendicular à directriz.

Bissectrizes dos lados de um polígono

Triângulo

medianas

Cada um dos três medianas de um triângulo é um segmento de recta passando por um vértice e o ponto médio do lado oposto, de modo que bissecta que lado (embora não em geral perpendicularmente). Os três medianas se cruzam entre si no centróide do triângulo, que é o seu centro de massa , se ele tem uma densidade uniforme; assim, qualquer linha através de um centróide do triângulo e um dos seus vértices corta o lado oposto. O centróide é duas vezes mais perto do ponto médio de qualquer um dos lados, uma vez que é o vértice oposto.

mediatrizes

O interior perpendicular bissectriz de um lado de um triângulo é o segmento, que cai inteiramente sobre e no interior do triângulo, da linha que bissecta perpendicularmente esse lado. Os três bissectrizes perpendiculares de três lados de um triângulo intersectam no circuncentro (o centro do círculo, através dos três vértices). Assim, qualquer linha através circuncentro de um triângulo e perpendicular a um lado que bissecta lado.

Em um triângulo aguda o circumcenter divide as bissectrizes perpendiculares interiores dos dois lados mais curtos em proporções iguais. Em um triângulo obtuso bissectrizes perpendiculares dos dois lados mais curtos (estendido para além das suas faces opostas para o triângulo circuncentro) são divididos pelos seus respectivos lados de intersecção de triângulo em proporções iguais.

Para qualquer triângulo as bissectrizes perpendiculares interiores são dadas por e em que os lados são e a área seja

Quadrilátero

Os dois bimedians de um convexa quadrilátero são os segmentos de linhas que ligam os pontos médios dos lados opostos, portanto, cada bisecting dois lados. Os dois bimedians e o segmento de linha que une os pontos médios das diagonais são concorrentes em um ponto chamado de "vértice centróide" e estão todos cortada por este ponto.

Os quatro "maltitudes" de um quadrilátero convexa são perpendiculares a um lado através do ponto médio do lado oposto, portanto, que atravessa o último lado. Se o quadrilátero é cíclico (inscrito em um círculo), estes maltitudes são simultâneos em (todos se encontram em) um ponto comum chamado de "anticentro".

O teorema de Brahmagupta estabelece que se um quadrilátero cíclico é orthodiagonal (isto é, tem perpendiculares diagonais ), em seguida, a perpendicular a um lado do ponto de intersecção das diagonais sempre corta o lado oposto.

A construção mediatriz forma um quadrilátero das bissectrizes perpendiculares dos lados de um outro quadrilátero.

bisectors área e bisectors perímetro

Triângulo

Há uma infinidade de linhas que bissectam a área de um triângulo . Três deles são as medianas do triângulo (que ligam pontos médios dos lados com os vértices opostos), e estes são concorrentes no do triângulo centróide ; na verdade, eles são os únicos bisectors área que passam pelo centróide. Três outros bisectors área são paralelas aos lados do triângulo; cada uma delas intersecta os outros dois lados, de modo a dividi-los em segmentos com as proporções . Estes seis linhas são concorrentes três de cada vez: para além dos três medianas ser simultânea, qualquer uma mediana é simultânea com duas das bissectrizes área lateral-paralelo.

O envelope da infinidade de bissectrizes área é um deltóide (amplamente definida como uma figura com três vértices ligados por curvas que são côncavas para o exterior do deltóide, fazendo com que os pontos interior um conjunto não-convexo). Os vértices do deltóide são nos pontos médios das medianas; todos os pontos dentro do deltóide estão em três bisectors área diferente, enquanto todos os pontos fora que estão em apenas um. [1] Os lados do deltóide são arcos de hipérboles que são assimptótica para os lados prolongados do triângulo. A relação entre a área do envelope de bisectors área para a área do triângulo é invariante para todos os triângulos, e é igual ou seja 0.019860 ... ou inferior a 2%.

Um talhador de um triângulo é um segmento de recta que corta o perímetro do triângulo e tem um ponto de extremidade no ponto médio de um dos três lados. Os três cutelos concordam em (todos passar através) do centro do círculo Spieker , que é a circunferência inscrita do triângulo medial . Os talhadores são paralelas às bissectriz.

Um divisor de um triângulo é um segmento de recta que tem um ponto de extremidade a um dos três vértices do triângulo e que atravessa o perímetro. Os três divisores concordam no ponto Nagel do triângulo.

Qualquer linha através de um triângulo que divide tanto a área do triângulo e seu perímetro em meia passa por incenter do triângulo (o centro de sua incircle ). Há qualquer um, dois ou três destes para qualquer triângulo. A linha através da incentro bissecta uma da área ou perímetro se e somente se também bissecta o outro.

paralelograma

Qualquer linha que passa pelo ponto médio de um paralelogramo bissecta a área e do perímetro.

Círculo e elipse

Todos os bisectors área e perímetro bisectors de um círculo ou outra elipse passar pelo centro , e quaisquer acordes através do centro bissetriz a área e perímetro. No caso de um círculo que são os diâmetros do círculo.

Bissetrizes de diagonais

paralelograma

As diagonais de um paralelogramo bissetriz entre si.

Quadrilátero

Se um segmento de recta que liga as diagonais de um quadrilátero corta ambas as diagonais, então este segmento de linha (a linha Newton ) é em si cortada pelo centróide vértice.

bisectors Desconto

Um plano que divide duas bordas opostas de um tetraedro em uma dada razão também divide o volume do tetraedro na mesma proporção. Assim, qualquer plano que contém uma bimedian (conector de pontos médios bordos opostos) de um tetraedro bissecta o volume do tetraedro

Referências

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Exterior Bissetriz." De MathWorld - um recurso da Web Wolfram.
  2. ^ Espanha, Barry. Analytical cónicas , Dover Publications, 2007 (orig. 1957).
  3. ^ Uma b c d e Johnson, Roger A., avançada Geometria Euclidiana , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  4. ^ Oxman, Victor. "Na existência de triângulos com dado comprimento de um lado e dois bissectriz adjacentes", Fórum Geometricorum 4, 2004, 215-218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  5. ^ Simons, Stuart. Matemática Diário 93, Março de 2009, 115-116.
  6. ^ Mironescu, P., e Panaitopol, L., "A existência de um triângulo com bissectriz comprimentos fixado", American Mathematical Monthly 101 (1994): 58-60.
  7. ^ Oxman, Victor, "A prova puramente geométrico da singularidade de um triângulo com bissetrizes prescritos", Forum Geometricorum 8 (2008): 197-200.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Quadrilátero". De MathWorld - um recurso da Web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
  9. ^ Um b Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular bissetrizes do triângulo lados", Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
  10. ^ Altshiller-Court, Nathan, Colégio Geometria , Dover Publ., 2007.
  11. ^ Uma b c Dunn, JA, e consideravelmente, JE, "reduzir para metade um triângulo," Mathematical Gazette 56, maio de 1972, 105-108.
  12. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triângulo equalizadores," Matemática Revista 83, abril de 2010, pp. 141-146.
  13. ^ Dunn, JA, e JE consideravelmente, "reduzir para metade um triângulo", Mathematical Gazette 56, maio de 1972, p. 105.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Tetrahedron". De MathWorld - um recurso da Web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
  15. ^ Altshiller-Court, N. "O tetraedro." CH. 4 em Modern Solid Geometry Pure : Chelsea de 1979.

links externos

  • O Bissetriz em corte-a-nó
  • Definição Bissetriz. Referência Math Abrir Com miniaplicativo interativo
  • Definição Bisector Line. Referência Math Abrir Com miniaplicativo interativo
  • Perpendicular Linha Bisector. Com aplicação interativa
  • Instruções animadas para que divide um ângulo e dividindo uma linha Usando uma régua e compasso
  • Weisstein, Eric W. "Linha Mediatriz" . MathWorld .

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