Esfera de Bloch - Bloch sphere

Esfera de bloch

Em mecânica quântica e computação , a esfera de Bloch é uma representação geométrica do espaço de estado puro de um sistema mecânico quântico de dois níveis ( qubit ), em homenagem ao físico Felix Bloch .

A mecânica quântica é matematicamente formulada no espaço de Hilbert ou no espaço de Hilbert projetivo . Os estados puros de um sistema quântico correspondem aos subespaços unidimensionais do espaço de Hilbert correspondente (ou os "pontos" do espaço de Hilbert projetivo). Para um espaço de Hilbert bidimensional, o espaço de todos esses estados é a linha projetiva complexa. Esta é a esfera de Bloch, também conhecida pelos matemáticos como esfera de Riemann . ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}.}$

A esfera de Bloch é uma esfera unitária de 2 , com pontos antípodas correspondendo a um par de vetores de estado mutuamente ortogonais. Os pólos norte e sul da esfera de Bloch são tipicamente escolhidos para corresponder aos vetores de base padrão e , respectivamente, que por sua vez podem corresponder, por exemplo, aos estados de spin- up e spin- down de um elétron. Essa escolha é arbitrária, no entanto. Os pontos na superfície da esfera correspondem aos estados puros do sistema, enquanto os pontos internos correspondem aos estados mistos . A esfera de Bloch pode ser generalizada para um sistema quântico de nível n , mas a visualização é menos útil. ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Por razões históricas, em óptica, a esfera de Bloch também é conhecida como esfera de Poincaré e representa especificamente diferentes tipos de polarizações . Seis tipos de polarização comuns existem e são chamados de vetores de Jones . Na verdade, Henri Poincaré foi o primeiro a sugerir o uso desse tipo de representação geométrica no final do século 19, como uma representação tridimensional dos parâmetros de Stokes .

A métrica natural na esfera Bloch é a métrica Fubini-Study . O mapeamento da unidade 3-esfera no espaço de estado bidimensional para a esfera de Bloch é a fibração de Hopf , com cada raio de espinores mapeando para um ponto na esfera de Bloch. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Definição

Dada uma base ortonormal, qualquer estado puro de um sistema quântico de dois níveis pode ser escrito como uma superposição dos vetores de base e , onde o coeficiente de (ou contribuição de) cada um dos dois vetores de base é um número complexo . Isso significa que o estado é descrito por quatro números reais. No entanto, apenas a fase relativa entre os coeficientes dos dois vetores de base tem algum significado físico (a fase do sistema quântico não é diretamente mensurável ), de modo que há redundância nesta descrição. Podemos considerar o coeficiente de como real e não negativo. Isso permite que o estado seja descrito por apenas três números reais, dando origem às três dimensões da esfera de Bloch. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

Também sabemos pela mecânica quântica que a probabilidade total do sistema deve ser uma:

${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}$, ou de forma equivalente .${\ displaystyle {\ big \ |} | \ psi \ rangle {\ big \ |} ^ {2} = 1}$

Dada essa restrição, podemos escrever usando a seguinte representação: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, e ^ {i \ phi} \ sin \ left (\ theta / 2 \ right) | 1 \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) \, \ sin \ left (\ theta / 2 \ right ) | 1 \ rangle}$, onde e .${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$${\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 \ pi}$

A representação é sempre única, porque, embora o valor de não seja único, quando é um dos vetores Ket (ver notação Bra-Ket ) ou , o ponto representado por e é único. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Os parâmetros e , reinterpretados em coordenadas esféricas como respectivamente a colatitude em relação ao eixo z e a longitude em relação ao eixo x , especificam um ponto ${\ displaystyle \ theta \,}$${\ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) = (u, v, w)}$

na esfera unitária em . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Para estados mistos , considera-se o operador de densidade . Qualquer operador densidade bidimensional ρ pode ser expandido utilizando a identidade I e o hermitiano , traceless Pauli matrizes , ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ rho & = {\ frac {1} {2}} \ left (I + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ frac {a_ {x}} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatriz}} + {\ frac {a_ {y}} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} + {\ frac {a_ {z}} { 2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \\ & = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 + a_ {z} & a_ {x } -ia_ {y} \\ a_ {x} + ia_ {y} & 1-a_ {z} \ end {pmatriz}} \ end {alinhado}}}$,

onde é chamado de vetor Bloch . ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$

É esse vetor que indica o ponto dentro da esfera que corresponde a um determinado estado misto. Especificamente, como característica básica do vetor de Pauli , os autovalores de ρ são . Os operadores de densidade devem ser semidefinidos positivos, portanto, segue-se isso . ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (1 \ pm | {\ vec {a}} | \ right)}$${\ displaystyle \ left | {\ vec {a}} \ right | \ leq 1}$

Para estados puros, então, tem-se

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ rho ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ left | {\ vec {a}} \ right | ^ {2} \ right) = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left | {\ vec {a}} \ right | = 1 ~,}$

em conformidade com o acima.

Como consequência, a superfície da esfera de Bloch representa todos os estados puros de um sistema quântico bidimensional, enquanto o interior corresponde a todos os estados mistos.

u , v , w representação

O vetor Bloch pode ser representado da seguinte forma, com referência ao operador de densidade : ${\ displaystyle {\ vec {a}} = (u, v, w)}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle u = \ rho _ {10} + \ rho _ {01} = 2 \ operatorname {Re} (\ rho _ {01})}$

${\ displaystyle v = i (\ rho _ {01} - \ rho _ {10}) = 2 \ operatorname {Im} (\ rho _ {10})}$

${\ displaystyle w = \ rho _ {00} - \ rho _ {11}}$

Onde

${\ displaystyle \ rho = {\ begin {pmatrix} \ rho _ {00} & \ rho _ {01} \\\ rho _ {10} & \ rho _ {11} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatriz} 1 + w & u-iv \\ u + iv & 1-w \ end {pmatriz}}.}$

Essa base é frequentemente usada na teoria do laser , onde é conhecida como inversão de população . Nesta base, os números são as expectativas das três matrizes de Pauli , permitindo identificar as três coordenadas com os eixos xy e z. ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle u, v, w}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$

Estados puros

Considere um sistema de mecânica quântica de nível n . Este sistema é descrito por um espaço de Hilbert n- dimensional H _n . O espaço de estado puro é, por definição, o conjunto de raios unidimensionais de H _n .

Teorema . Seja U ( n ) o grupo de Lie de matrizes unitárias de tamanho n . Então, o espaço de estado puro de H _n pode ser identificado com o espaço de coset compacto

${\ displaystyle \ operatorname {U} (n) / (\ operatorname {U} (n-1) \ times \ operatorname {U} (1)).}$

Para comprovar esse fato, observe que existe uma ação grupal natural de U ( n ) sobre o conjunto de estados de H _n . Esta ação é contínua e transitiva nos estados puros. Para qualquer estado , o grupo de isotropia de , (definido como o conjunto de elementos de U ( n ) de modo que ) é isomórfico ao grupo de produtos ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle \ operatorname {U} (n-1) \ times \ operatorname {U} (1).}$

Em termos de álgebra linear, isso pode ser justificado da seguinte maneira. Qualquer um de U ( n ) que deixa invariante deve ter como um autovetor . Uma vez que o autovalor correspondente deve ser um número complexo de módulo 1, isso dá o fator U (1) do grupo de isotropia. A outra parte do grupo de isotropia é parametrizada pelas matrizes unitárias no complemento ortogonal de , que é isomorfo a U ( n - 1). Disto, a afirmação do teorema segue de fatos básicos sobre ações de grupo transitivas de grupos compactos. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

O fato importante a notar acima é que o grupo unitário atua transitivamente em estados puros.

Agora, a dimensão (real) de U ( n ) é n ² . Isso é fácil de ver, pois o mapa exponencial

${\ displaystyle A \ mapsto e ^ {iA}}$

é um homeomorfismo local do espaço de matrizes complexas auto-adjuntas para U ( n ). O espaço de matrizes complexas auto-adjuntas tem dimensão real n ² .

Corolário . A dimensão real do espaço de estado puro de H _n é 2 n - 2.

Na verdade,

${\ displaystyle n ^ {2} - \ left ((n-1) ^ {2} +1 \ right) = 2n-2. \ quad}$

Vamos aplicar isso ao considerar a dimensão real de um m registo quantum qubit. O espaço de Hilbert correspondente tem dimensão de 2 ^m .

Corolário . A dimensão real do espaço de estado puro de um registrador quântico m - qubit é 2 ^{m +1} - 2.

Traçando estados de dois espinores puros por meio de projeção estereográfica

Esfera de Bloch centrada na origem de . Um par de pontos nele, e foram escolhidos como base. Matematicamente, eles são ortogonais, embora graficamente o ângulo entre eles seja π. Em aqueles pontos têm coordenadas (0,0,1) e (0,0, -1). Um spinor arbitrário na esfera de Bloch é representável como uma combinação linear única dos dois spinors básicos, com coeficientes sendo um par de números complexos; chame-os de α e β . Deixe sua proporção ser , que também é um número complexo . Considere o plano z  = 0, o plano equatorial da esfera, por assim dizer, como um plano complexo e que o ponto u é plotado nele como . Projete o ponto u estereograficamente na esfera de Bloch longe do Pólo Sul - por assim dizer - (0,0, -1). A projeção está em um ponto marcado na esfera como .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ left | \ uparrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ left | \ nearrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle u = {\ beta \ over \ alpha}}$${\ displaystyle u_ {x} + iu_ {y}}$${\ displaystyle (u_ {x}, u_ {y}, 0)}$${\ displaystyle \ left | \ nearrow \ right \ rangle}$

Dado um estado puro

${\ displaystyle \ alpha \ left | \ uparrow \ right \ rangle + \ beta \ left | \ downarrow \ right \ rangle = \ left | \ nearrow \ right \ rangle}$

onde e são números complexos que são normalizados para que ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle | \ alpha | ^ {2} + | \ beta | ^ {2} = \ alpha ^ {*} \ alpha + \ beta ^ {*} \ beta = 1}$

e tal que e , ou seja, tal que e formam uma base e têm representações diametralmente opostas na esfera de Bloch, então deixe ${\ displaystyle \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0}$${\ displaystyle \ langle \ downarrow | \ downarrow \ rangle = \ langle \ uparrow | \ uparrow \ rangle = 1}$${\ displaystyle \ left | \ uparrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$

${\ displaystyle u = {\ beta \ over \ alpha} = {\ alpha ^ {*} \ beta \ over \ alpha ^ {*} \ alpha} = {\ alpha ^ {*} \ beta \ over | \ alpha | ^ {2}} = u_ {x} + iu_ {y}}$

ser sua proporção.

Se a esfera de Bloch é pensada como estando embutida com seu centro na origem e com raio um, então o plano z  = 0 (que cruza a esfera de Bloch em um grande círculo; o equador da esfera, por assim dizer) pode ser pensado de como um diagrama de Argand . Trace o ponto u neste plano - de modo que nele haja coordenadas . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (u_ {x}, u_ {y}, 0)}$

Desenhe uma linha reta passando por u e pelo ponto na esfera que representa . (Deixe (0,0,1) representar e (0,0, −1) representar .) Esta linha intercepta a esfera em outro ponto . (A única excepção é quando , isto é, quando e .) Chamada este ponto P . O ponto u no plano z = 0 é a projeção estereográfica do ponto P na esfera de Bloch. O vetor com cauda na origem e ponta em P é a direção no espaço 3-D correspondente ao espinor . As coordenadas de P são ${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ uparrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle u = \ infty}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle \ beta \ neq 0}$${\ displaystyle \ left | \ nearrow \ right \ rangle}$

${\ displaystyle P_ {x} = {2u_ {x} \ over 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}}$

${\ displaystyle P_ {y} = {2u_ {y} \ over 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}}$

${\ displaystyle P_ {z} = {1-u_ {x} ^ {2} -u_ {y} ^ {2} \ over 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}} }$.

Nota: matematicamente, a esfera de Bloch para um estado de dois espinores pode ser considerada uma esfera de Riemann ou um complexo espaço de Hilbert bidimensional projetivo , denotável como . O complexo espaço de Hilbert bidimensional (do qual é uma projeção) é um espaço de representação de SO (3) . ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ mathbf {H} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} \ mathbf {H} ^ {2}}$

Operadores de densidade

As formulações da mecânica quântica em termos de estados puros são adequadas para sistemas isolados; em geral, os sistemas de mecânica quântica precisam ser descritos em termos de operadores de densidade . A esfera de Bloch parametriza não apenas estados puros, mas estados mistos para sistemas de 2 níveis. O operador de densidade que descreve o estado misto de um sistema quântico de 2 níveis (qubit) corresponde a um ponto dentro da esfera de Bloch com as seguintes coordenadas:

${\ displaystyle \ left (\ sum p_ {i} x_ {i}, \ sum p_ {i} y_ {i}, \ sum p_ {i} z_ {i} \ right),}$

onde é a probabilidade dos estados individuais dentro do conjunto e são as coordenadas dos estados individuais (na superfície da esfera de Bloch). O conjunto de todos os pontos dentro e dentro da esfera de Bloch é conhecido como bola de Bloch.${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}}$

Para estados de dimensões superiores, há dificuldade em estender isso para estados mistos. A descrição topológica é complicada pelo fato de que o grupo unitário não atua transitivamente sobre os operadores de densidade. Além disso, as órbitas são extremamente diversas, como segue a partir da seguinte observação:

Teorema . Suponha que A seja um operador de densidade em um sistema de mecânica quântica de nível n cujos autovalores distintos são μ ₁ , ..., μ _k com multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Então, o grupo de operadores unitários V tal que VAV * = A é isomórfico (como um grupo de Lie) para

${\ displaystyle \ operatorname {U} (n_ {1}) \ times \ cdots \ times \ operatorname {U} (n_ {k}).}$

Em particular, a órbita de A é isomórfica a

${\ displaystyle \ operatorname {U} (n) / \ left (\ operatorname {U} (n_ {1}) \ times \ cdots \ times \ operatorname {U} (n_ {k}) \ right).}$

É possível generalizar a construção da bola de Bloch para dimensões maiores que 2, mas a geometria de tal "corpo de Bloch" é mais complicada do que a de uma bola.

Rotações

Uma vantagem útil da representação da esfera de Bloch é que a evolução do estado qubit pode ser descrita por rotações da esfera de Bloch. A explicação mais concisa para porque isso ocorre é que a álgebra de mentira para o grupo de matrizes unitárias e hermitianas é isomórfica para a álgebra de mentira do grupo de rotações tridimensionais . ${\ displaystyle SU (2)}$${\ displaystyle SO (3)}$

Operadores de rotação sobre a base Bloch

As rotações da esfera de Bloch sobre os eixos cartesianos na base de Bloch são dadas por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R_ {x} (\ theta) & = e ^ {(- i \ theta X / 2)} = \ cos (\ theta / 2) Ii \ sin (\ theta / 2) X = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta / 2 & -i \ sin \ theta / 2 \\ - i \ sin \ theta / 2 & \ cos \ theta / 2 \ end {bmatrix}} \\ R_ {y} (\ theta) & = e ^ {(- i \ theta Y / 2)} = \ cos (\ theta / 2) Ii \ sin (\ theta / 2) Y = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta / 2 & - \ sin \ theta / 2 \\\ sin \ theta / 2 & \ cos \ theta / 2 \ end {bmatriz}} \\ R_ {z} (\ theta) & = e ^ {(- i \ theta Z / 2)} = \ cos (\ theta / 2) Ii \ sin (\ theta / 2) Z = {\ begin {bmatrix} e ^ {- i \ theta / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {i \ theta / 2 } \ end {bmatrix}} \ end {alinhado}}}$

Rotações em torno de um eixo geral

Se for um vetor unitário real em três dimensões, a rotação da esfera de Bloch em torno deste eixo é dada por: ${\ displaystyle {\ hat {n}} = (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})}$

${\ displaystyle R _ {\ hat {n}} (\ theta) = \ exp \ left (-i \ theta {\ hat {n}} \ cdot {\ frac {1} {2}} {\ vec {\ sigma }}\direito)}$

Uma coisa interessante a notar é que esta expressão é idêntica, sob reclassificação, à fórmula de Euler estendida para quatérnios .

${\ displaystyle \ mathbf {q} = e ^ {{\ frac {1} {2}} \ theta (u_ {x} \ mathbf {i} + u_ {y} \ mathbf {j} + u_ {z} \ mathbf {k})} = \ cos {\ frac {\ theta} {2}} + (u_ {x} \ mathbf {i} + u_ {y} \ mathbf {j} + u_ {z} \ mathbf {k }) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}$

Derivação do gerador de rotação Bloch

Ballentine apresenta uma derivação intuitiva para a transformação unitária infinitesimal. Isso é importante para entender por que as rotações das esferas de Bloch são exponenciais de combinações lineares de matrizes de Pauli . Portanto, um breve tratamento sobre isso é dado aqui. Uma descrição mais completa em um contexto de mecânica quântica pode ser encontrada aqui .

Considere uma família de operadores unitários que representam uma rotação em torno de algum eixo. Como a rotação tem um grau de liberdade, o operador atua em um campo de escalares de modo que: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle U (0) = I}$

${\ displaystyle U (s_ {1} + s_ {2}) = U (s_ {1}) U (s_ {2})}$

Onde ${\ displaystyle 0, s_ {1}, s_ {2}, \ in S}$

Definimos o unitário infinitesimal como a expansão de Taylor truncada na segunda ordem.

${\ displaystyle U (s) = I + {\ frac {dU} {dS}} {\ Bigg |} _ {s = 0} s + O \ left (s ^ {2} \ right)}$

Pela condição unitária:

${\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = I}$

Portanto

${\ displaystyle U ^ {\ dagger} U = I + s \ left ({\ frac {dU} {dS}} + {\ frac {dU ^ {\ dagger}} {ds}} \ right) + O \ left (s ^ {2} \ right) = I}$

Para que essa igualdade seja verdadeira (assumindo que seja insignificante), exigimos ${\ displaystyle O \ left (s ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {dU} {dS}} + {\ frac {dU ^ {\ dagger}} {ds}} = 0}$.

Isso resulta em uma solução da forma:

${\ displaystyle {\ frac {dU} {ds}} = iK}$

Onde está uma transformação hermitiana unitária, e é chamado de gerador da família unitária. ${\ displaystyle K}$

Portanto:

${\ displaystyle U (s) = e ^ {iKs}}$

Como as matrizes de Pauli são matrizes hermitianas unitárias e têm autovetores correspondentes à base de Bloch , podemos ver naturalmente como uma rotação da esfera de Bloch em torno de um eixo arbitrário é descrita por ${\ displaystyle (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$${\ displaystyle ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$${\ displaystyle {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle R _ {\ hat {n}} (\ theta) = \ exp (-i \ theta {\ hat {n}} \ cdot {\ vec {\ sigma}} / 2)}$

Com o gerador de rotação fornecido por ${\ displaystyle K = {\ hat {n}} \ cdot {\ vec {\ sigma}} / 2}$

Veja também

• Transição atômica de elétrons
• Espaço girovetor
• Esfera de Poincaré (óptica)
• Versors
• Implementações específicas da esfera de Bloch são enumeradas no artigo qubit .

Referências