Teorema de Bloch - Bloch's theorem

Isosuperfície do módulo quadrado de um estado de Bloch em uma rede de silício
Linha sólida: um esquema da parte real de um estado Bloch típico em uma dimensão. A linha pontilhada é do fator e i k · r . Os círculos de luz representam átomos.

Na física da matéria condensada , o teorema de Bloch afirma que as soluções para a equação de Schrödinger em um potencial periódico tomam a forma de uma onda plana modulada por uma função periódica . Matematicamente, eles são escritos:

Função Bloch

onde é a posição, é a função de onda , é uma função periódica com a mesma periodicidade do cristal, o vetor de onda é o vetor de momento do cristal , é o número de Euler e é a unidade imaginária .

As funções dessa forma são conhecidas como funções de Bloch ou estados de Bloch e servem como uma base adequada para as funções de onda ou estados dos elétrons em sólidos cristalinos .

Nomeado em homenagem ao físico suíço Felix Bloch , a descrição dos elétrons em termos de funções de Bloch, denominados elétrons de Bloch (ou menos frequentemente Ondas de Bloch ), fundamenta o conceito de estruturas de banda eletrônica .

Esses autoestados são escritos com subscritos como , onde está um índice discreto, chamado índice de banda , que está presente porque há muitas funções de onda diferentes com o mesmo (cada um tem um componente periódico diferente ). Dentro de uma banda (ou seja, para fixo ), varia continuamente com , assim como sua energia. Além disso, é único apenas até um vetor de rede recíproca constante , ou ,. Portanto, o vetor de onda pode ser restrito à primeira zona de Brillouin da rede recíproca sem perda de generalidade .

Aplicações e consequências

Aplicabilidade

O exemplo mais comum do teorema de Bloch é a descrição de elétrons em um cristal, especialmente na caracterização das propriedades eletrônicas do cristal, como a estrutura de banda eletrônica . No entanto, uma descrição de onda de Bloch se aplica mais geralmente a qualquer fenômeno semelhante a onda em um meio periódico. Por exemplo, uma estrutura dielétrica periódica no eletromagnetismo leva a cristais fotônicos e um meio acústico periódico leva a cristais fonônicos . Geralmente é tratada nas várias formas da teoria dinâmica da difração .

Vetor de onda

Uma função de onda de Bloch (parte inferior) pode ser dividida no produto de uma função periódica (parte superior) e uma onda plana (centro). O lado esquerdo e o lado direito representam o mesmo estado de Bloch dividido de duas maneiras diferentes, envolvendo o vetor de onda k 1 (esquerda) ou k 2 (direita). A diferença ( k 1 - k 2 ) é um vetor de rede recíproco . Em todas as parcelas, o azul é a parte real e o vermelho é a parte imaginária.

Suponha que um elétron esteja em um estado de Bloch

onde u é periódico com a mesma periodicidade que a rede cristalina. O estado quântico real do elétron é inteiramente determinado por , não por k ou u diretamente. Isso é importante porque k e u não são únicos. Especificamente, se pode ser escrito como acima usando k , também pode ser escrito usando ( k + K ), onde K é qualquer vetor de rede recíproco (veja a figura à direita). Portanto, vetores de onda que diferem por um vetor de rede recíproco são equivalentes, no sentido de que caracterizam o mesmo conjunto de estados de Bloch.

A primeira zona de Brillouin é um conjunto restrito de valores de k com a propriedade de que nenhum deles é equivalente, embora todo k possível seja equivalente a um (e apenas um) vetor na primeira zona de Brillouin. Portanto, se restringirmos k à primeira zona de Brillouin, cada estado de Bloch terá um k único . Portanto, a primeira zona de Brillouin é freqüentemente usada para representar todos os estados de Bloch sem redundância, por exemplo, em uma estrutura de banda , e é usada pela mesma razão em muitos cálculos.

Quando k é multiplicado pela constante de Planck reduzida , é igual ao momento do cristal do elétron . Relacionado a isso, a velocidade de grupo de um elétron pode ser calculada com base em como a energia de um estado de Bloch varia com k ; para obter mais detalhes, consulte o momento do cristal .

Exemplo detalhado

Para um exemplo detalhado no qual as consequências do teorema de Bloch são trabalhadas em uma situação específica, consulte o artigo: Partícula em uma rede unidimensional (potencial periódico) .

Teorema de Bloch

O teorema de Bloch é o seguinte:

Para elétrons em um cristal perfeito, há uma base de funções de onda com as propriedades:

  • Cada uma dessas funções de onda é um estado próprio de energia
  • Cada uma dessas funções de onda é um estado de Bloch, o que significa que esta função de onda pode ser escrita na forma


onde u tem a mesma periodicidade que a estrutura atômica do cristal.

Prova de teorema

Prova com periodicidade de rede  -

Preliminares: simetrias de cristal, rede e rede recíproca

A propriedade definidora de um cristal é a simetria translacional, o que significa que se o cristal for deslocado em uma quantidade apropriada, ele acabará com todos os seus átomos nos mesmos lugares. (Um cristal de tamanho finito não pode ter simetria translacional perfeita, mas é uma aproximação útil.)

Um cristal tridimensional tem três vetores de rede primitivos a 1 , a 2 , a 3 . Se o cristal é deslocado por qualquer um desses três vetores, ou uma combinação deles da forma

onde n i são três inteiros, então os átomos terminam no mesmo conjunto de localizações em que começaram.

Outro ingrediente útil na prova são os vetores de rede recíprocos . Esses são três vetores b 1 , b 2 , b 3 (com unidades de comprimento inverso), com a propriedade de que a i · b i = 2π, mas a i · b j = 0 quando ij . (Para a fórmula para b i , consulte o vetor de rede recíproca .)

Lema sobre operadores de tradução

Vamos denotar um operador de tradução que muda cada função de onda pela quantidade n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 (como acima, n j são inteiros). O seguinte fato é útil para a prova do teorema de Bloch:

Lema: Se uma função de onda é um estado próprio de todos os operadores de tradução (simultaneamente), então é um estado de Bloch.

Prova: suponha que temos uma função de onda que é um autoestado de todos os operadores de tradução. Como um caso especial disso,

para j = 1, 2, 3, onde C j são três números (os autovalores ) que não dependem de r . É útil escrever os números C j de uma forma diferente, escolhendo três números θ 1 , θ 2 , θ 3 com e 2 πiθ j = C j :

Novamente, os θ j são três números que não dependem de r . Defina k = θ 1 b 1 + θ 2 b 2 + θ 3 b 3 , onde b j são os vetores de rede recíprocos (veja acima). Finalmente, defina

Então

.

Isso prova que u tem a periodicidade da rede. Desde então , isso prova que o estado é um estado de Bloch.

Prova

Finalmente, estamos prontos para a prova principal do teorema de Bloch, que é a seguinte.

Como acima, vamos denotar um operador de tradução que muda cada função de onda na quantidade n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , onde n i são inteiros. Como o cristal tem simetria translacional, esse operador comuta com o operador hamiltoniano . Além disso, cada um desses operadores de tradução comuta um com o outro. Portanto, há uma base própria simultânea do operador hamiltoniano e de todos os operadores possíveis . Essa base é o que procuramos. As funções de onda nesta base são autoestados de energia (porque são autoestados do hamiltoniano) e também são estados de Bloch (porque são autoestados dos operadores de tradução; consulte o Lema acima).

Outra prova

Prova com operadores  -

Nós definimos o operador de tradução

Usamos a hipótese de um potencial médio periódico

e a aproximação de elétrons independentes com um hamiltoniano

Dado que o hamiltoniano é invariante para traduções, ele deve comutar com o operador de tradução

e os dois operadores devem ter um conjunto comum de autofunções. Portanto, começamos a olhar para as funções próprias do operador de tradução:

Dado é um operador aditivo

Se substituirmos aqui a equação do valor próprio e mergulharmos ambos os lados , teremos

Isso é verdade para

Onde

se usarmos a condição de normalização sobre uma única célula primitiva de volume V

e portanto

e onde

Finalmente

O que é verdade para uma onda bloch, ou seja, com

Prova da teoria do grupo

Prova com Teoria de Caráter  -

Todas as traduções são unitárias e abelianas . As traduções podem ser escritas em termos de vetores unitários

Podemos pensar neles como operadores de deslocamento

Onde

A comutatividade dos operadores dá três subgrupos cíclicos comutantes (visto que podem ser gerados por apenas um elemento) que são infinitos, unidimensionais e abelianos. Todas as representações irredutíveis de grupos Abelianos são unidimensionais.

Dado que são unidimensionais, a representação da matriz e o caráter são os mesmos. O personagem é a representação sobre os números complexos do grupo ou também o traço da representação que neste caso é uma matriz unidimensional. Todos esses subgrupos, por serem cíclicos, possuem caracteres que são raízes de unidade apropriadas . Na verdade, eles têm um gerador que deve obedecer e , portanto, o personagem . Observe que isso é direto no caso do grupo cíclico finito, mas no caso do infinito contável do grupo cíclico infinito (isto é, o grupo de tradução aqui) há um limite para onde o caractere permanece finito.

Dado que o personagem é uma raiz de unidade, para cada subgrupo o personagem pode ser escrito como

Se introduzirmos a condição de limite de Born-von Karman no potencial:

Onde L é uma periodicidade macroscópica na direção que também pode ser vista como um múltiplo de onde

Isso substituindo na equação de Schrödinger independente do tempo por um hamiltoniano efetivo simples

induz uma periodicidade com a função de onda:

E para cada dimensão um operador de tradução com um período L

A partir daqui, podemos ver que também o caractere deve ser invariante por uma tradução de :

e da última equação obtemos para cada dimensão uma condição periódica:

onde é um inteiro e

O vetor de onda identifica a representação irredutível da mesma maneira que , e é um comprimento periódico macroscópico do cristal na direção . Nesse contexto, o vetor de onda serve como um número quântico para o operador de tradução.

Podemos generalizar isso para 3 dimensões

e a fórmula genérica para a função de onda torna-se:

ou seja, especializando-o para uma tradução

e provamos o teorema de Bloch.

Além dos aspectos técnicos da teoria dos grupos, essa prova é interessante porque fica claro como generalizar o teorema de Bloch para grupos que não são apenas traduções.

Isso é normalmente feito para grupos espaciais que são uma combinação de uma tradução e um grupo de pontos e é usado para calcular a estrutura de banda, espectro e calores específicos de cristais, dada uma simetria de grupo de cristal específico como FCC ou BCC e, eventualmente, uma base extra .

Nesta prova também é possível notar como é fundamental que o grupo de pontos extras seja impulsionado por uma simetria no potencial efetivo, mas deve comutar com o Hamiltoniano.

Na versão generalizada do teorema de Bloch, a transformada de Fourier, ou seja, a expansão da função de onda, é generalizada a partir de uma transformada de Fourier discreta que é aplicável apenas para grupos cíclicos e, portanto, traduções em uma expansão de caractere da função de onda de onde os caracteres são fornecidos o grupo específico de pontos finitos .

Também aqui é possível ver como os personagens (como os invariantes das representações irredutíveis) podem ser tratados como os blocos de construção fundamentais em vez das próprias representações irredutíveis.

Velocidade e massa efetiva dos elétrons de Bloch

Se aplicarmos a equação de Schrödinger independente do tempo à função de onda de Bloch, obtemos

com condições de limite

Dado que isso é definido em um volume finito, esperamos uma família infinita de autovalores, aqui está um parâmetro do hamiltoniano e, portanto, chegamos a uma "família contínua" de autovalores dependente do parâmetro contínuo e, portanto, do conceito básico de banda eletrônica estrutura

Prova  -

Nós permanecemos com

Isso mostra como o momento efetivo pode ser visto como composto por duas partes

Um momento padrão e um momento cristalino . Mais precisamente, o momento do cristal não é um momento, mas representa o momento da mesma forma que o momento eletromagnético no acoplamento mínimo e como parte de uma transformação canônica do momento.

Para a velocidade efetiva, podemos derivar

velocidade média de um elétron em bloco

Prova  -

Avaliamos as derivadas e, dado que são os coeficientes da expansão seguinte em q, onde q é considerado pequeno em relação a k

Dados são autovalores de Podemos considerar o seguinte problema de perturbação em q:

A teoria da perturbação de segunda ordem diz que:

Para calcular a ordem linear em q

Onde as integrações são sobre uma célula primitiva ou o cristal inteiro, dado se o integral:

é normalizado na célula ou no cristal.

Podemos simplificar sobre qe permanecer com

E podemos reinserir as funções de onda completas

E para a massa efetiva

teorema da massa efetiva

Prova  -

O termo de segunda ordem

De novo com

E se livrar e temos o teorema

A quantidade à direita multiplicada por um fator é chamada de tensor de massa efetivo e podemos usá-la para escrever uma equação semiclássica para um portador de carga em uma banda

Equação de movimento semiclássica de segunda ordem para um portador de carga em uma banda

Onde está uma aceleração . Esta equação está em estreita analogia com o tipo de aproximação de onda De Broglie

Equação semi-clássica de primeira ordem de movimento para elétrons em uma banda

Como uma interpretação intuitiva, as duas últimas equações se assemelham formalmente e estão em uma analogia semiclássica com a equação de newton em uma força de Lorentz externa .

História e equações relacionadas

O conceito de estado de Bloch foi desenvolvido por Felix Bloch em 1928, para descrever a condução de elétrons em sólidos cristalinos. A mesma matemática subjacente, no entanto, também foi descoberta independentemente várias vezes: por George William Hill (1877), Gaston Floquet (1883) e Alexander Lyapunov (1892). Como resultado, uma variedade de nomenclaturas são comuns: aplicada a equações diferenciais ordinárias , é chamada de teoria de Floquet (ou ocasionalmente o teorema de Lyapunov – Floquet ). A forma geral de uma equação potencial periódica unidimensional é a equação de Hill :

onde f (t) é um potencial periódico. Equações unidimensionais periódicas específicas incluem o modelo de Kronig – Penney e a equação de Mathieu .

Matematicamente, o teorema de Bloch é interpretado em termos de caracteres unitários de um grupo de rede e é aplicado à geometria espectral .

Veja também

Referências

Leitura adicional