Raio de Bohr - Bohr radius

Raio de Bohr
Símbolo	a 0 ou r Bohr
Nomeado após	Niels Bohr
Valores aproximados (até três dígitos significativos)
Unidades SI	5,29 × 10 −11 m
unidades imperial / EUA	2,08 × 10 −9 pol.
unidades naturais	3,27 × 10 24 ℓ P

O raio de Bohr ( a ₀ ) é uma constante física , aproximadamente igual à distância mais provável entre o núcleo e o elétron em um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental . Tem o nome de Niels Bohr , devido ao seu papel no modelo de Bohr de um átomo. Seu valor é5,291 772 109 03 (80) × 10 ⁻¹¹ m .

Definição e valor

O raio de Bohr é definido como

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {m _ {\ text {e}} e ^ {2}}} = {\ frac {\ psilon _ {0} h ^ {2}} {\ pi m _ {\ text {e}} e ^ {2}}} = {\ frac {\ hbar} {m _ {\ text {e}} c \ alpha} },}

Onde

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ é a permissividade do espaço livre ,
${\ displaystyle \ hbar}$ é a constante de Planck reduzida ,
${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$ é a massa do elétron ,
${\ displaystyle e}$ é a carga elementar ,
${\ displaystyle c}$ é a velocidade da luz no vácuo, e
${\ displaystyle \ alpha}$ é a constante de estrutura fina .

O valor CODATA do raio de Bohr (em unidades SI ) é5,291 772 109 03 (80) × 10 ⁻¹¹ m .

História

No modelo de Bohr para a estrutura atômica , apresentado por Niels Bohr em 1913, os elétrons orbitam um núcleo central sob atração eletrostática. A derivação original postulou que os elétrons têm momento angular orbital em múltiplos inteiros da constante de Planck reduzida, que combinou com sucesso a observação de níveis de energia discretos em espectros de emissão, juntamente com a previsão de um raio fixo para cada um desses níveis. No átomo mais simples, o hidrogênio , um único elétron orbita o núcleo, e sua menor órbita possível, com a menor energia, tem um raio orbital quase igual ao raio de Bohr. (Não é exatamente o raio de Bohr devido ao efeito de massa reduzido . Eles diferem em cerca de 0,05%.)

O modelo de Bohr do átomo foi substituído por uma nuvem de probabilidade de elétrons obedecendo à equação de Schrödinger publicada em 1926. Isso é ainda mais complicado pelos efeitos de spin e vácuo quântico para produzir estrutura fina e estrutura hiperfina . No entanto, a fórmula do raio de Bohr permanece central nos cálculos da física atômica , devido à sua relação simples com constantes fundamentais (é por isso que é definida usando a massa real do elétron ao invés da massa reduzida, como mencionado acima). Como tal, tornou-se a unidade de comprimento em unidades atômicas .

Na teoria da mecânica quântica de Schrödinger do átomo de hidrogênio, o raio de Bohr representa o valor mais provável da coordenada radial da posição do elétron e, portanto, a distância mais provável do elétron do núcleo.

Unidades relacionadas

O raio de Bohr do elétron é um de um trio de unidades de comprimento relacionadas, os outros dois sendo o comprimento de onda Compton do elétron e o raio do elétron clássico . O raio de Bohr é construído a partir da massa do elétron , da constante de Planck e da carga do elétron . O comprimento de onda de Compton é construído a partir de , e a velocidade da luz . O raio clássico do elétron é construído a partir de , e . Qualquer um desses três comprimentos pode ser escrito em termos de qualquer outro usando a constante de estrutura fina : ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}} = \ alpha {\ frac {\ lambda _ {\ mathrm {e}}} {2 \ pi}} = \ alpha ^ {2} a_ {0}.}

O raio de Bohr é cerca de 19.000 vezes maior do que o raio do elétron clássico (ou seja, a escala comum dos átomos é angstrom , enquanto a escala das partículas é femtômetro ). O comprimento de onda Compton do elétron é cerca de 20 vezes menor que o raio de Bohr, e o raio clássico do elétron é cerca de 1000 vezes menor que o comprimento de onda Compton do elétron.

Átomo de hidrogênio e sistemas semelhantes

O raio de Bohr incluindo o efeito da massa reduzida no átomo de hidrogênio é dado por

{\ displaystyle \ a_ {0} ^ {*} \ = {\ frac {m _ {\ text {e}}} {\ mu}} a_ {0},}

onde é a massa reduzida do sistema elétron-próton ( sendo a massa do próton). O uso de massa reduzida é uma generalização do problema clássico de dois corpos quando estamos fora da aproximação de que a massa do corpo orbital é desprezível em comparação com a massa do corpo orbitado. Como a massa reduzida do sistema elétron-próton é um pouco menor que a massa do elétron, o raio de Bohr "reduzido" é ligeiramente maior do que o raio de Bohr ( metros). ${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {e} m_ {p}} {m_ {e} + m_ {p}}}}$ ${\ displaystyle m_ {p}}$ ${\ displaystyle a_ {0} ^ {*} \ aproximadamente 1.00054 \, a_ {0} \ aproximadamente 5,2946541 \ vezes 10 ^ {- 11}}$

Este resultado pode ser generalizado para outros sistemas, como positrônio (um elétron orbitando um pósitron ) e muônio (um elétron orbitando um anti-múon ) usando a massa reduzida do sistema e considerando a possível mudança na carga. Normalmente, as relações do modelo de Bohr (raio, energia, etc.) podem ser facilmente modificadas para esses sistemas exóticos (até a ordem mais baixa) simplesmente substituindo a massa do elétron pela massa reduzida do sistema (bem como ajustando a carga quando apropriado) . Por exemplo, o raio do positrônio é aproximadamente , uma vez que a massa reduzida do sistema positrônio é a metade da massa do elétron ( ). ${\ displaystyle 2 \, a_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {{\ text {e}} ^ {-}, {\ text {e}} ^ {+}} = m _ {\ text {e}} / 2}$

Um átomo semelhante ao hidrogênio terá um raio de Bohr que escala principalmente como , com o número de prótons no núcleo. Enquanto isso, a massa reduzida ( ) só se aproxima melhor no limite da massa nuclear crescente. Esses resultados estão resumidos na equação ${\ displaystyle r_ {Z} = a_ {0} / Z}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$

{\ displaystyle r_ {Z, \ mu} \ = {\ frac {m_ {e}} {\ mu}} {\ frac {a_ {0}} {Z}}.}

Uma tabela de relacionamentos aproximados é fornecida abaixo.

Sistema	Raio
Hidrogênio	${\ displaystyle 1.00054 \, a_ {0}}$
Positrônio	${\ displaystyle 2a_ {0}}$
Muonium	${\ displaystyle 1.0048 \, a_ {0}}$
He ⁺	${\ displaystyle a_ {0} / 2}$
Li ²⁺	${\ displaystyle a_ {0} / 3}$

Veja também

Referências

links externos

Escalas de comprimento em física: o raio de Bohr

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