Gráfico de títulos - Bond graph

Um sistema simples de massa-mola-amortecedor e sua forma de gráfico de ligação equivalente

Um gráfico de ligação é uma representação gráfica de um sistema físico dinâmico . Ele permite a conversão do sistema em uma representação de espaço de estado . É semelhante a um diagrama de blocos ou gráfico de fluxo de sinal , com a principal diferença de que os arcos nos gráficos de ligação representam a troca bidirecional de energia física , enquanto aqueles em diagramas de bloco e gráficos de fluxo de sinal representam o fluxo unidirecional de informações. Os gráficos de ligação são de domínio multienergia (por exemplo, mecânico, elétrico, hidráulico, etc.) e neutro de domínio. Isso significa que um gráfico de títulos pode incorporar vários domínios perfeitamente.

O gráfico de vínculo é composto pelos "vínculos" que unem os elementos "porta única", "porta dupla" e "porta múltipla" (veja detalhes abaixo). Cada ligação representa o fluxo instantâneo de energia ( dE / dt ) ou potência . O fluxo em cada ligação é denotado por um par de variáveis ​​chamadas variáveis ​​de potência, semelhantes às variáveis ​​conjugadas , cujo produto é a potência instantânea da ligação. As variáveis ​​de potência são divididas em duas partes: fluxo e esforço. Por exemplo, para a ligação de um sistema elétrico, o fluxo é a corrente, enquanto o esforço é a tensão. Multiplicando a corrente e a tensão neste exemplo, você pode obter a potência instantânea da ligação.

Uma ligação tem duas outras características descritas brevemente aqui e discutidas em mais detalhes abaixo. Uma é a convenção de sinais de "meia seta". Isso define a direção assumida do fluxo de energia positiva. Tal como acontece com os diagramas de circuitos elétricos e diagramas de corpo livre, a escolha da direção positiva é arbitrária, com a ressalva de que o analista deve ser consistente com a definição escolhida. A outra característica é a "causalidade". Esta é uma barra vertical colocada em apenas uma extremidade da ligação. Não é arbitrário. Conforme descrito abaixo, existem regras para atribuir a causalidade adequada a uma determinada porta e regras para a precedência entre as portas. A causalidade explica a relação matemática entre esforço e fluxo. As posições das causalidades mostram quais das variáveis ​​de poder são dependentes e quais são independentes.

Se a dinâmica do sistema físico a ser modelado operar em escalas de tempo amplamente variáveis, comportamentos rápidos em tempo contínuo podem ser modelados como fenômenos instantâneos usando um gráfico de ligação híbrida . Os gráficos de títulos foram inventados por Henry Paynter .

Sistemas para gráfico de títulos

Muitos sistemas podem ser expressos em termos usados ​​no gráfico de títulos. Esses termos estão expressos na tabela abaixo.

Convenções para a tabela abaixo:

  •   é a potência ativa ;
  •   é um objeto de matriz ;
  •   é um objeto vetorial ;
  •   é o hermitiano de x; é o conjugado complexo da transposta de x. Se x for um escalar, então o hermitiano é o mesmo que o conjugado complexo;
  •   é a notação de Euler para diferenciação, onde:
  • Fator Vergente:
Fluxo generalizado Deslocamento generalizado Esforço generalizado Momento generalizado Potência generalizada (em watt para sistemas de energia) Energia generalizada (em joule para sistemas de energia)
Nome
Descrição Derivada do tempo de deslocamento Uma qualidade relacionada ao comportamento estático. A energia por unidade de deslocamento Tempo integral de esforço Transformação de energia de uma forma para outra Quantidade conservada em sistemas fechados
Elementos
Nome Hyperance Hyperrigitance Rigitância de Conformidade Resistência Inertância (ou ) Abrahance Magnance
Propriedades Elemento dissipador de potência Elemento de armazenamento de carga

(Variável de estado: deslocamento)

(Variável Costate: esforço)

Elemento dissipador de potência Elemento de armazenamento de momento

(Variável de estado: momentum)

(Variável Costate: fluxo)

Elemento dissipador de potência Elemento dissipador de potência
Comportamento quantitativo Para sistemas de 1 dimensão (linear):

Para sistemas unidimensionais:

Impedância:

Energia potencial para sistemas de dimensão N:

Energia potencial:

Potencial de coenergia :

Para sistemas unidimensionais:

Impedância:

Propriedade: Se é dependente de , de modo que é expresso como , uma segunda porta emerge, na qual:

Para sistemas de 1 dimensão (linear):

Potência para resistências não lineares unidimensionais ( é o esforço desenvolvido pelo elemento):

Poder Rayleigh:

Rayleigh Power para resistências não lineares:

Esforço Rayleigh:

Para sistemas de dimensão N:

Para sistemas unidimensionais:

Impedância:

Energia cinética para sistemas de dimensão N:

Energia cinética:

Coenergia cinética:

Para sistemas unidimensionais:

Impedância:

Propriedade: Se é dependente de , de modo que é expresso como , uma segunda porta emerge, na qual:

Para sistemas de 1 dimensão (linear):

Para sistemas unidimensionais:

Impedância

Para sistemas de 1 dimensão (linear)

Para sistemas unidimensionais

Impedância

Giradores
Gyrator compatível Resistive Gyrator Girador inerte
Comportamento quantitativo Equações:

A energia fluindo para fora não é a mesma que a energia fluindo para dentro:

Propriedade : Se é dependente de , de modo que é expresso como , uma terceira porta emerge, na qual:

Equações:

A energia fluindo para fora é a mesma que a energia fluindo para dentro:

Equações:

A energia fluindo para fora não é a mesma que a energia fluindo para dentro:

Propriedade: Se é dependente de , de modo que é expresso como , uma terceira porta emerge, na qual:

Isso é verificado em máquinas de indução .

Comportamento generalizado Energia de fontes ativas de esforço:

Lagrangiano :

Hamiltoniano :

Esforço Hamiltoniano:

Esforço Lagrangiano:

Esforço Passivo:

Equação de potência:

Equação de esforço:

Equação de Lagrange:

Equação Hamiltoniana:

Se é a coenergia, é a energia, é a variável de estado e é a variável de custo,

Para elementos lineares:

Sistema de potência mecânica longitudinal
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Pounce / Pop : Flounce / Crackle : Jounce / Snap : Idiota
: Aceleração : Velocidade (fluxo) : Deslocamento (Deslocamento) : Ausência
: Ausência : Abseleração : Abserk
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Yank : Força (esforço) : Momento linear (Momentum)
Elementos passivos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I) Abrahance (A) Magnância (M)
Primavera

Amortecedor

  • : Parâmetro de amortecimento
Massa

  • : Missa
Força Abraham-Lorentz

Força de reação à radiação magnética

Cantilever

Resistência à radiação do ciclotron

Flutuador prismático em um amplo corpo d'água

  • : Densidade do líquido
  • : Área
  • : Aceleração gravitacional
Fricção viscosa

  • : Parâmetro de atrito viscoso
Elastic Rod

  • : Módulo de Young
  • : Área
  • : Comprimento da haste
Inverso da Mobilidade Cinética

  • : Mobilidade Cinética
Lei da gravitação de Newton

  • : Constante gravitacional
  • : Massa do corpo 1
  • : Massa do corpo 2
Geometria interagindo com o ar (por exemplo, arrasto )

  • : Área de contato
  • : Coeficiente de geometria aerodinâmica
  • : Densidade do fluido
Lei de Coulomb

  • : Permissividade
  • : Carga do corpo 1
  • : Carga do corpo 2
Amortecedor Absquare

  • : Parâmetro amortecedor absquare
Força Casimir

Fricção a seco

  • : Coeficiente de atrito cinético
  • : Força normal
Lei Biot-Savart

  • : Permeabilidade
  • : Corrente no fio 1
  • : Corrente no fio 2
  • : Comprimento dos fios
Fluido de pressão de pistão dentro de uma câmara adiabática

  • : Área do pistão
  • : Pressão inicial dentro
  • : Posição inicial do pistão
  • : Coeficiente de Poisson
Sistema de potência mecânica angular
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Angular Jerk : Aceleração angular
: Velocidade angular (fluxo) : Deslocamento angular (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Rotatum : Torque (esforço)
: Momentum Angular (Momentum)
Elementos passivos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I)
Inverso da constante angular da mola

  • : Constante Angular da Mola
Amortecimento angular

  • : Constante de amortecimento
Momento de inércia de massa

Modelo

  • : Momento de inércia de massa
Rod Torsion

  • : Módulo de cisalhamento
  • : Momento polar da área
  • : Comprimento da haste
Governador (por exemplo, usado em caixas de música)

  • : Constante do governador
Momento de flexão (cantilever)

  • : Módulo de jovem
  • : Segundo momento da área
  • : Comprimento do feixe
Campo de força paralelo

  • : Ângulo (sentido anti-horário positivo) entre o eixo polar e o campo de força
  • : Ângulo atual do objeto (por exemplo, pêndulo)
Sistema de energia elétrica
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Inércia Elétrica : Corrente elétrica (fluxo) : Carga elétrica (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Distensão : Tensão (esforço) : Ligação de Fluxo (Momentum)
Elementos
Hyperance (H) Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I) Abrahance (A)
Resistor Negativo Dependente de Frequência (FDNR)

Capacitor Linear

  • : Permissividade
  • : Fator Vergente
Resistor Linear

  • : Resistividade
  • : Fator Vergente
  • : Coeficiente térmico
  • : Temperatura atual
  • : Temperatura de referência
Indutor Linear (solenóide)

  • : Permeabilidade
  • : Número de voltas
  • : Área
  • : Comprimento
Condutância negativa dependente de frequência (FDNC)

Modelo

Diodo

  • : Fator de Idealidade
  • : Tensão Térmica
  • : Corrente de fuga
Toróide

  • : Permeabilidade
  • : Número de voltas
  • : Área da seção transversal
  • : Raio toróide até a linha central
Intra-Gyrator Inter-Gyrator
Gyrator compatível Resistive Gyrator Girador inerte
Dispositivo de efeito Hall

  • : Coeficiente de Hall
  • : Campo de indução magnética vertical
  • : Espessura vertical
Motor de indução

  • : Ângulo elétrico
  • : Tensão na barra do rotor
  • : Tensão na barra do estator
  • : Fluxo através da barra do estator
  • : Fluxo através da barra do rotor
Motor DC

  • : Torque eletromagnético
  • : Velocidade angular do eixo
  • : Corrente de campo
  • : Corrente de armadura
Faraday Gyrator

  • : Força
  • : Velocidade da haste
  • : Tensão da haste
  • : Campo de indução magnética
  • : Comprimento da haste
Faraday Disk

  • : Campo de indução magnética
  • : Raio do disco
Intra-transformador Inter-transformador
Transformador elétrico ( apenas para sinais AC )

Sistema de energia hidráulica / pneumática
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Taxa de fluxo volumétrico (fluxo) : Volume (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Pressão (esforço) : Momento do fluido (Momentum)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I)
Elasticidade do tubo

  • : Raio Nominal do Tubo
  • : Volume do tubo (sem estresse)
  • : Espessura da parede
  • : Módulo de Young
Esponja darcy

  • : Viscosidade dinamica
  • : Permeabilidade
  • : Fator Vergente
Inércia de fluido em tubos

  • : Densidade do fluido
  • : Fator Vergente
Fluido compressível (aproximação)

  • : Volume do tubo (sem estresse)
  • : Módulo em Massa
  • : Densidade do gás na pressão de referência
  • : Velocidade do som
Válvula

  • : Coeficiente de descarga
  • : Densidade do fluido
  • : Menor área para passagem de fluido
Tanque com área

  • : Altura em relação ao solo
  • : Altura da entrada
  • : Densidade do fluido
  • : Escala da curva (dimensão da área)
  • : Correção de dimensão
  • : Parâmetro de curva
  • : Aceleração da gravidade

Caso (caso prismático)

Caixa (caixa de diodo atual)

Resistência Poiseuille para cilindros

  • : Viscosidade dinamica
  • : Comprimento do tubo
  • : Raio do tubo
Câmara Isotérmica

  • : Constante de câmara
Resistência à Turbulência

  • : Parâmetro empírico
Fluido Compressível

  • : Módulo em Massa
Bocal

  • : Densidade do fluido
  • : Área de Outlet
  • : Área de entrada
Bexiga Adiabática

  • : Pressão de Referência
  • : Volume de Referência
  • : Coeficiente de Poisson
Válvula de retenção

  • : Constante empírica
  • : Fluxo absoluto de polarização reversa
Sistema de energia capacitor-girador
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Fluxo Magnético (Deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Força magnetomotriz (Momentum)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I)
Permeance ( )

  • : Permeabilidade
  • : Fator Vergente
Impedância Magnética Complexa ( )

Indutância Magnética Complexa ( )

Sistema de potência gravitacional
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Loop de corrente gravitacional (fluxo) : Carga Gravitacional (Deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Tensão gravitacional (esforço) : Momentum Gravitacional (Momentum)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I)
Capacitância Gravitacional

Modelo

Resistência Orbital Gravitacional

Modelo

Indutância Gravitacional

Modelo

Sistema de densidade de potência volumétrica de campo elétrico
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Densidade atual (fluxo) : Campo de deslocamento elétrico (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Campo Elétrico (Esforço) : Vetor de Potencial Magnético (Momentum)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância de densidade de potência volumétrica ( )
Permissividade Elétrica

Modelo

Resistividade elétrica

Modelo

Permeabilidade magnética
Sistema de densidade de potência volumétrica de campo magnético
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Densidade de fluxo magnético (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Força do campo magnético (esforço)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância de densidade de potência volumétrica ( )
Permeabilidade magnética para circuitos magnéticos

Modelo

Sistema de densidade de potência volumétrica gravitoelétrica
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Fluxo de Massa (Fluxo) : Fluxo de massa acumulado (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Aceleração da gravidade (esforço)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância de densidade de potência volumétrica ( )
Permissividade Gravitacional

Modelo

Permeabilidade Gravitacional
Sistema de densidade de potência volumétrica gravitomagnética
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Campo Gravitomagnético (Deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Força do campo gravitomagnético (esforço)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância de densidade de potência volumétrica ( )
Permeabilidade Gravitacional

Sistema de energia térmica-temperatura
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Taxa de calor (fluxo) : Calor total (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Temperatura (esforço)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância (I)
Calor isobárico

  • : Densidade de massa do objeto
  • : Volume do objeto
  • : Capacidade de calor específico de pressão
Resistência de condução

  • : Condutividade térmica
  • : Fator Vergente
Calor isocórico

  • : Capacitância de calor de volume constante
Resistência à Convecção

  • : Coeficiente de convecção
  • : Área de interface
Calor isotérmico

  • : Constante universal de gás
  • : Número de moles
  • : Volume final
  • : Volume inicial
Lei Stefan-Boltzmann

  • : Emissividade
  • : Constante de Stefan-Boltzmann
  • : Área de interface
Sistema de densidade de potência volumétrica de mecânica contínua
Variáveis ​​relacionadas ao fluxo : Taxa de deformação (fluxo) : Tensão (deslocamento)
Variáveis ​​relacionadas ao esforço : Estresse (esforço)
Elementos
Conformidade (C) Resistência (R) Inertância de densidade de potência volumétrica ( )
Inverso de rigidez

Modelo

Viscosidade

Modelo

Inertância de densidade de energia: densidade do material

Outros sistemas
  • Sistema de energia termodinâmica (o fluxo é a taxa de entropia e o esforço é a temperatura)
  • Sistema de energia eletroquímica (fluxo é atividade química e esforço é potencial químico)
  • Sistema de energia termoquímica (o fluxo é a taxa de massa e o esforço é a entalpia específica de massa)
  • Sistema de taxa de câmbio macroeconomia (o deslocamento é uma mercadoria e o esforço é o preço por mercadoria)
  • Sistema de taxa de câmbio de microeconomia (deslocamento é a população e o esforço é o PIB per capita)

Tetraedro de estado

Tetraedro de estado

O tetraedro de estado é um tetraedro que mostra graficamente a conversão entre esforço e fluxo. A imagem adjacente mostra o tetraedro em sua forma generalizada. O tetraedro pode ser modificado dependendo do domínio de energia.

Usando o tetraedro de estado, pode-se encontrar uma relação matemática entre quaisquer variáveis ​​do tetraedro. Isso é feito seguindo as setas ao redor do diagrama e multiplicando quaisquer constantes ao longo do caminho. Por exemplo, se você quiser encontrar a relação entre o fluxo generalizado e o deslocamento generalizado, deve começar em f (t) e, em seguida, integrá-lo para obter q (t) . Mais exemplos de equações podem ser vistos abaixo.

Relação entre deslocamento generalizado e fluxo generalizado.

Relação entre fluxo generalizado e esforço generalizado.

Relação entre fluxo generalizado e momentum generalizado.

Relação entre momentum generalizado e esforço generalizado.

Relação entre fluxo generalizado e esforço generalizado, envolvendo a constante C.

Todas as relações matemáticas permanecem as mesmas ao mudar de domínio de energia, apenas os símbolos mudam. Isso pode ser visto com os exemplos a seguir.

Relação entre deslocamento e velocidade.

Relação entre corrente e tensão, também conhecida como lei de Ohm .

Relação entre força e deslocamento, também conhecida como lei de Hooke . O sinal negativo é eliminado nesta equação porque o sinal é fatorado na forma como a seta está apontando no gráfico do título.

Para sistemas de energia, a fórmula para a frequência de ressonância é a seguinte:

Para sistemas de densidade de potência, a fórmula para a velocidade da onda de ressonância é a seguinte:

Componentes

Se um motor é conectado a uma roda por meio de um eixo, a potência está sendo transmitida no domínio mecânico rotacional, ou seja, o esforço e o fluxo são torque (τ) e velocidade angular (ω) respectivamente. Um gráfico de títulos de palavras é o primeiro passo em direção a um gráfico de títulos, no qual as palavras definem os componentes. Como um gráfico de títulos de palavras, este sistema seria semelhante a:

Uma meia seta é usada para fornecer uma convenção de sinal, portanto, se o motor estiver funcionando quando τ e ω forem positivos, o diagrama será desenhado:

Este sistema também pode ser representado em um método mais geral. Isso envolve a mudança do uso de palavras para símbolos que representam os mesmos itens. Esses símbolos são baseados na forma generalizada, conforme explicado acima. Como o motor está aplicando um torque à roda, isso será representado como uma fonte de esforço para o sistema. A roda pode ser apresentada por uma impedância no sistema. Além disso, os símbolos de torque e velocidade angular são eliminados e substituídos pelos símbolos generalizados para esforço e fluxo. Embora não seja necessário no exemplo, é comum numerar os títulos, para acompanhar nas equações. O diagrama simplificado pode ser visto a seguir.

Como o esforço está sempre acima do fluxo no vínculo, também é possível abandonar completamente os símbolos de esforço e fluxo, sem perder nenhuma informação relevante. No entanto, o número do vínculo não deve ser descartado. O exemplo pode ser visto a seguir.

O número do título será importante posteriormente, ao converter do gráfico de títulos para as equações de espaço de estado.

Associação de elementos

Associação de série

Suponha que um elemento tenha o seguinte comportamento:

onde é uma função genérica (pode até diferenciar / integrar sua entrada) e é a constante do elemento. Então, suponha que em uma junção 1 você tenha muitos desse tipo de elemento. Então, a tensão total na junção é:

Associação paralela

Suponha que um elemento tenha o seguinte comportamento:

onde é uma função genérica (pode até diferenciar / integrar sua entrada) e é a constante do elemento. Então, suponha que em uma junção 0 você tenha muitos desse tipo de elemento. Então é válido:

Elementos de porta única

Elementos de porta única são elementos em um gráfico de vínculo que podem ter apenas uma porta.

Fontes e sumidouros

Fontes são elementos que representam a entrada de um sistema. Eles irão inserir esforço ou fluir para um sistema. Eles são denotados por um "S" maiúsculo com um "e" minúsculo ou "f" para esforço ou fluxo, respectivamente. As fontes sempre terão a seta apontando para longe do elemento. Exemplos de fontes incluem: motores (fonte de esforço, torque), fontes de tensão (fonte de esforço) e fontes de corrente (fonte de fluxo).

onde J indica uma junção.

Pias são elementos que representam a saída de um sistema. Eles são representados da mesma forma que as fontes, mas têm a seta apontando para o elemento em vez de para longe dele.

Inércia

Os elementos de inércia são denotados por um "I" maiúsculo e sempre têm energia fluindo para eles. Elementos de inércia são elementos que armazenam energia. Mais comumente, são massas para sistemas mecânicos e indutores para sistemas elétricos.

Resistência

Os elementos de resistência são indicados por um "R" maiúsculo e sempre têm energia fluindo para eles. Elementos de resistência são elementos que dissipam energia. Mais comumente, são um amortecedor, para sistemas mecânicos, e resistores, para sistemas elétricos.

Conformidade

Os elementos de conformidade são denotados por um "C" maiúsculo e sempre têm energia fluindo para eles. Elementos de conformidade são elementos que armazenam energia potencial. Mais comumente, são molas para sistemas mecânicos e capacitores para sistemas elétricos.

Elementos de duas portas

Esses elementos possuem duas portas. Eles são usados ​​para alterar a alimentação entre ou dentro de um sistema. Ao converter de um para o outro, nenhuma energia é perdida durante a transferência. Os elementos possuem uma constante que será fornecida com eles. A constante é chamada de constante do transformador ou constante do girador, dependendo de qual elemento está sendo usado. Essas constantes geralmente serão exibidas como uma proporção abaixo do elemento.

Transformador

Um transformador aplica uma relação entre fluxo de entrada e saída de esforço e esforço de saída. Os exemplos incluem um transformador elétrico ideal ou uma alavanca .

Denotado

onde or denota o módulo do transformador. Isso significa

e

Girador

Um girador aplica uma relação entre o fluxo no esforço para fora e o esforço no fluxo para fora. Um exemplo de girador é um motor DC, que converte a tensão (esforço elétrico) em velocidade angular (fluxo mecânico angular).

significa que

e

Elementos multiportas

As junções, ao contrário dos outros elementos, podem ter qualquer número de portas de entrada ou saída. As junções dividem a energia em suas portas. Existem duas junções distintas, a junção 0 e a junção 1, que diferem apenas em como o esforço e o fluxo são transportados. A mesma junção em série pode ser combinada, mas diferentes junções em série não.

0-junções

As junções 0 se comportam de modo que todos os valores de esforço (e sua integral / derivada de tempo) são iguais nas ligações, mas a soma dos valores de fluxo em é igual à soma dos valores de fluxo de saída, ou equivalentemente, todos os fluxos somam zero. Em um circuito elétrico, a junção 0 é um nó e representa uma tensão compartilhada por todos os componentes naquele nó. Em um circuito mecânico, a junção 0 é uma junção entre os componentes e representa uma força compartilhada por todos os componentes conectados a ela.

Um exemplo é mostrado abaixo.

Equações resultantes:

1-junções

As junções 1 se comportam de forma oposta às junções 0. As junções 1 se comportam de forma que todos os valores de fluxo (e sua integral / derivada de tempo) são iguais entre as ligações, mas a soma dos valores de esforço em é igual à soma dos valores de esforço, ou equivalentemente, todos os esforços somam zero. Em um circuito elétrico, a junção 1 representa uma conexão em série entre os componentes. Em um circuito mecânico, a junção 1 representa uma velocidade compartilhada por todos os componentes conectados a ela.

Um exemplo é mostrado abaixo.

Equações resultantes:

Causalidade

Os gráficos de títulos têm uma noção de causalidade, indicando qual lado de um vínculo determina o esforço instantâneo e qual determina o fluxo instantâneo. Ao formular as equações dinâmicas que descrevem o sistema, a causalidade define, para cada elemento de modelagem, qual variável é dependente e qual é independente. Ao propagar a causalidade graficamente de um elemento de modelagem para outro, a análise de modelos em grande escala torna-se mais fácil. A conclusão da atribuição causal em um modelo de gráfico de ligação permitirá a detecção da situação de modelagem onde existe um loop algébrico; essa é a situação em que uma variável é definida recursivamente como uma função de si mesma.

Como exemplo de causalidade, considere um capacitor em série com uma bateria. Não é fisicamente possível carregar um capacitor instantaneamente, então qualquer coisa conectada em paralelo com um capacitor terá necessariamente a mesma voltagem (variável de esforço) que através do capacitor. Da mesma forma, um indutor não pode mudar o fluxo instantaneamente e, portanto, qualquer componente em série com um indutor terá necessariamente o mesmo fluxo que o indutor. Como os capacitores e indutores são dispositivos passivos, eles não podem manter sua respectiva voltagem e fluxo indefinidamente - os componentes aos quais eles estão conectados afetarão sua respectiva voltagem e fluxo, mas apenas indiretamente, afetando sua corrente e voltagem, respectivamente.

Nota: A causalidade é uma relação simétrica. Quando um lado "causa" esforço, o outro lado "causa" fluxo.

Na notação do gráfico de ligação, um golpe causal pode ser adicionado a uma extremidade da ligação de força para indicar que a extremidade oposta está definindo o esforço. Considere um motor de torque constante acionando uma roda, ou seja, uma fonte de esforço ( SE ). Isso seria desenhado da seguinte forma:

Simetricamente, o lado com o curso causal (neste caso a roda) define o fluxo para a ligação.

A causalidade resulta em restrições de compatibilidade. Claramente, apenas uma extremidade de um vínculo de força pode definir o esforço e, portanto, apenas uma extremidade de um vínculo pode ter um golpe causal. Além disso, os dois componentes passivos com comportamento dependente do tempo, I e C , podem ter apenas um tipo de causalidade: um componente I determina o fluxo; um componente C define o esforço. Portanto, a partir de uma junção, J , a orientação causal preferida é a seguinte:

A razão pela qual este é o método preferido para esses elementos pode ser analisada mais detalhadamente se você considerar as equações que eles forneceriam mostradas pelo tetraedro de estado.

As equações resultantes envolvem a integral da variável independente de potência. Isso é preferível ao resultado de haver causalidade no sentido contrário, o que resulta em derivado. As equações podem ser vistas a seguir.

É possível que um gráfico de ligação tenha uma barra causal em um desses elementos de maneira não preferencial. Nesse caso, um "conflito causal" teria ocorrido naquele vínculo. Os resultados de um conflito causal são vistos apenas ao escrever as equações de espaço de estado para o gráfico. É explicado com mais detalhes nessa seção.

Um resistor não tem comportamento dependente do tempo: aplique uma tensão e obtenha um fluxo instantaneamente, ou aplique um fluxo e obtenha uma tensão instantaneamente, portanto, um resistor pode estar em qualquer uma das extremidades de uma ligação causal:

Fontes de fluxo ( SF ) definem fluxo, fontes de esforço ( SE ) definem esforço. Os transformadores são passivos, não dissipam nem armazenam energia, então a causalidade passa por eles:

Um girador transforma o fluxo em esforço e o esforço em fluxo, portanto, se o fluxo é causado de um lado, o esforço é causado do outro lado e vice-versa:

Junções

Em uma junção 0, os esforços são iguais; em uma junção, os fluxos são iguais. Assim, com ligações causais, apenas uma ligação pode causar o esforço em uma junção 0 e apenas uma pode causar o fluxo em uma junção 1. Assim, se a causalidade de uma ligação de uma junção é conhecida, a causalidade das outras também é conhecida. Esse vínculo é chamado de 'vínculo forte'

Determinando causalidade

Para determinar a causalidade de um gráfico de títulos, certas etapas devem ser seguidas. Essas etapas são:

  1. Desenhe Barras Causais de Origem
  2. Desenhe causalidade preferida para ligações C e I
  3. Desenhe barras causais para junções 0 e 1, transformadores e giradores
  4. Desenhar barras causais de ligação R
  5. Se ocorrer um conflito causal, mude o vínculo C ou I para diferenciação

Um passo a passo das etapas é mostrado abaixo.

O primeiro passo é traçar causalidade para as fontes, sobre as quais existe apenas uma. Isso resulta no gráfico abaixo.

A próxima etapa é traçar a causalidade preferida para as ligações C.

Em seguida, aplique a causalidade para as junções 0 e 1, transformadores e giradores.

No entanto, há um problema com a junção 0 à esquerda. A junção 0 tem duas barras causais na junção, mas a junção 0 quer uma e apenas uma na junção. Isso foi causado por estar na causalidade preferida. A única maneira de consertar isso é inverter a barra causal. Isso resulta em um conflito causal, a versão corrigida do gráfico está abaixo, com o representando o conflito causal.

Conversão de outros sistemas

Uma das principais vantagens de usar gráficos de títulos é que, uma vez que você tenha um gráfico de títulos, não importa o domínio de energia original. Abaixo estão algumas das etapas a serem aplicadas ao converter do domínio da energia para um gráfico de ligação.

Eletromagnética

As etapas para resolver um problema eletromagnético como um gráfico de ligação são as seguintes:

  1. Coloque uma junção 0 em cada nó
  2. Inserir fontes, ligações R, I, C, TR e GY com 1 junções
  3. Terra (ambos os lados se um transformador ou girador estiver presente)
  4. Atribuir direção do fluxo de energia
  5. Simplificar

Essas etapas são mostradas com mais clareza nos exemplos abaixo.

Mecânica linear

As etapas para resolver um problema de mecânica linear como um gráfico de ligação são as seguintes:

  1. Coloque 1 junções para cada velocidade distinta (geralmente em uma massa)
  2. Insira ligações R e C em suas próprias junções 0 entre as 1 junções onde atuam
  3. Insira Sources e ligações I nas 1 junções onde atuam
  4. Atribuir direção do fluxo de energia
  5. Simplificar

Essas etapas são mostradas com mais clareza nos exemplos abaixo.

Simplificando

A etapa de simplificação é a mesma, independentemente se o sistema era eletromagnético ou mecânico linear. As etapas são:

  1. Remova o vínculo de potência zero (devido ao solo ou velocidade zero)
  2. Remova as junções 0 e 1 com menos de três ligações
  3. Simplifique o poder paralelo
  4. Combine 0 junções em série
  5. Combine 1 junções em série

Essas etapas são mostradas com mais clareza nos exemplos abaixo.

Poder paralelo

Potência paralela é quando a potência funciona em paralelo em um gráfico de títulos. Um exemplo de potência paralela é mostrado abaixo.

Bond-graph-parallel-power-example.png

A potência paralela pode ser simplificada, lembrando a relação entre esforço e fluxo para as junções 0 e 1. Para resolver a potência paralela, primeiro você desejará anotar todas as equações das junções. Para o exemplo fornecido, as equações podem ser vistas abaixo. (Por favor, anote o número de ligação que a variável esforço / fluxo representa).

Ao manipular essas equações, você pode organizá-las de forma que possa encontrar um conjunto equivalente de junções 0 e 1 para descrever a potência paralela.

Por exemplo, porque e você pode substituir as variáveis ​​na equação resultando em e desde

, agora sabemos disso . Esta relação de igualdade de duas variáveis ​​de esforço pode ser explicada por uma junção 0. Manipulando outras equações, você pode encontrar aquela que descreve a relação de uma junção 1. Depois de determinar as relações de que precisa, você pode redesenhar a seção de alimentação paralela com as novas junções. O resultado para o exemplo de show é visto abaixo.

Bond-graph-parallel-power-solved.png

Exemplos

Sistema elétrico simples

Um circuito elétrico simples que consiste em uma fonte de tensão, resistor e capacitor em série.

Simple-RC-circuit.png

A primeira etapa é desenhar 0-junctions em todos os nós. O resultado está apresentado abaixo.

A próxima etapa é adicionar todos os elementos que atuam em sua própria junção 1. O resultado está abaixo.

O próximo passo é escolher um terreno. O aterramento é simplesmente uma junção 0 que será considerada sem tensão. Para este caso, o terreno será escolhido para ser o cruzamento 0 esquerdo inferior, que está sublinhado acima. A próxima etapa é desenhar todas as setas para o gráfico de títulos. As setas nas junções devem apontar para o solo (seguindo um caminho semelhante ao da corrente). Para os elementos de resistência, inércia e complacência, as setas sempre apontam para os elementos. O resultado do desenho das setas pode ser visto abaixo, com a junção 0 marcada com uma estrela como base.

Simple-RC-Circuit-bond-graph-1.png

Agora que temos o gráfico de Bond, podemos iniciar o processo de simplificação. A primeira etapa é remover todos os nós do solo. Ambas as junções 0 inferiores podem ser removidas, porque ambas estão aterradas. O resultado está apresentado abaixo.

Simple-RC-Circuit-bond-graph-2.png

Em seguida, as junções com menos de três ligações podem ser removidas. Isso ocorre porque o fluxo e o esforço passam por essas junções sem serem modificados, de modo que podem ser removidos para permitir que desenhemos menos. O resultado pode ser visto a seguir.

Simple-RC-Circuit-bond-graph-3.png

A etapa final é aplicar causalidade ao gráfico de títulos. A aplicação da causalidade foi explicada acima. O gráfico final do título é mostrado abaixo.

Simple-RC-Circuit-bond-graph-4.png

Sistema elétrico avançado

Um sistema elétrico mais avançado com uma fonte de corrente, resistores, capacitores e um transformador

Transformer-rc-circuit.png

Seguir as etapas com este circuito resultará no gráfico de títulos abaixo, antes de ser simplificado. Os nós marcados com a estrela denotam o solo.

Transformer-bond-graph-1.png

Simplificar o gráfico de títulos resultará na imagem abaixo.

Transformer-bond-graph-2.png

Por fim, a aplicação da causalidade resultará no gráfico de títulos abaixo. O vínculo com a estrela denota um conflito causal.

Transformer-bond-graph-3.png

Mecânica linear simples

Um sistema mecânico linear simples, consistindo de uma massa em uma mola que é fixada a uma parede. A massa tem alguma força sendo aplicada a ela. Uma imagem do sistema é mostrada abaixo.

Simple-linear-mech-corrected.png

Para um sistema mecânico, o primeiro passo é colocar uma junção 1 em cada velocidade distinta, neste caso existem duas velocidades distintas, a massa e a parede. Geralmente é útil rotular as junções 1 para referência. O resultado está abaixo.

A próxima etapa é desenhar as ligações R e C em suas próprias junções 0 entre as junções 1 onde atuam. Para este exemplo, há apenas uma dessas ligações, a ligação C para a mola. Ele atua entre a junção 1 que representa a massa e a junção 1 que representa a parede. O resultado está abaixo.

Em seguida, você deseja adicionar as fontes e as ligações I na junção 1 onde atuam. Há uma fonte, a fonte de esforço (força) e uma ligação, a massa da massa ambas agindo na junção 1 da massa. O resultado está apresentado abaixo.

Em seguida, você deseja atribuir o fluxo de energia. Como nos exemplos elétricos, a energia deve fluir em direção ao solo, neste caso, a junção 1 da parede. As exceções são R, C ou I bond, que sempre apontam para o elemento. O gráfico de títulos resultante está abaixo.

Simple-linear-mech-bond-graph-1.png

Agora que o gráfico de títulos foi gerado, ele pode ser simplificado. Como a parede é aterrada (tem velocidade zero), você pode remover essa junção. Como tal, a junção 0 da ligação C também pode ser removida porque terá menos de três ligações. O gráfico simplificado do título pode ser visto a seguir.

Simple-linear-mech-bond-graph-2.png

A última etapa é aplicar a causalidade, o gráfico final do vínculo pode ser visto abaixo.

Simple-linear-mech-bond-graph-3.png

Mecânica linear avançada

Um sistema mecânico linear mais avançado pode ser visto abaixo.

Advanced-linear-mech.png

Assim como no exemplo acima, o primeiro passo é fazer 1-junções em cada uma das velocidades distantes. Neste exemplo, existem três velocidades distantes, Massa 1, Massa 2 e a parede. Em seguida, você conecta todos os vínculos e atribui o fluxo de energia. O vínculo pode ser visto abaixo.

Advanced-linear-mech-bond-graph-1.png

Em seguida, você inicia o processo de simplificação do gráfico de ligação, removendo a junção 1 da parede e removendo junções com menos de três ligações. O gráfico do título pode ser visto a seguir.

Advanced-linear-Mechanical-Bond-graph-2.png

Existe uma potência paralela no gráfico de títulos. A resolução de energia paralela foi explicada acima. O resultado da resolução pode ser visto a seguir.

Advanced-linear-mech-bond-graph-3.png

Por fim, aplique a causalidade, o gráfico final do vínculo pode ser visto abaixo.

Advanced-linear-mech-bond-graph-4.png

Equações de estado

Uma vez que um gráfico de ligação está completo, ele pode ser utilizado para gerar as equações de representação em espaço de estado do sistema. A representação em espaço de estado é especialmente poderosa, pois permite que um sistema diferencial complexo de múltiplas ordens seja resolvido como um sistema de equações de primeira ordem. A forma geral da equação de estado é

onde é uma matriz de coluna das variáveis ​​de estado ou as incógnitas do sistema. é a derivada de tempo das variáveis ​​de estado. é uma matriz de coluna das entradas do sistema. E e são matrizes de constantes baseadas no sistema. As variáveis ​​de estado de um sistema são e os valores para cada ligação C e I sem um conflito causal. Cada vínculo I recebe um tempo, cada vínculo C recebe um .

Por exemplo, se você tiver o seguinte gráfico de títulos

Estado-equação-vínculo-gráfico-1.png

você teria o seguinte , e matrizes:

As matrizes de e são resolvidas determinando a relação das variáveis ​​de estado e seus respectivos elementos, conforme descrito no tetraedro de estado. O primeiro passo para resolver as equações de estado é listar todas as equações governantes para o gráfico de títulos. A tabela abaixo mostra a relação entre os títulos e suas equações governantes.

Tipo de elemento Nome do título Vínculo com causalidade Equações governamentais)
Elementos de porta única Fonte / Sink, S
Resistência, R:

Energia Dissipada

Inertância, eu:

Energia cinética

Conformidade, C:

Energia potencial

Elementos de porta dupla Transformer, TR

Gyrator, GY

Elementos multiportas 0 junção Um e somente um

barra causal na junção

1 junção um e apenas um causal

barra longe da junção

"♦" denota causalidade preferida.

Para o exemplo fornecido,

Estado-equação-vínculo-gráfico-1.png

as equações governantes são as seguintes.

Essas equações podem ser manipuladas para gerar as equações de estado. Para este exemplo, você está tentando encontrar equações que relacionam e em termos de , e .

Para começar, você deve se lembrar do tetraedro de estado que, começando com a equação 2, você pode reorganizá-lo de forma que . pode ser substituída pela equação 4, enquanto na equação 4, pode ser substituída por devido à equação 3, que pode então ser substituída pela equação 5. pode da mesma forma ser substituída usando a equação 7, na qual pode ser substituída por que pode então ser substituída por equação 10. Seguindo estes substituídos produz a primeira equação de estado que é mostrada abaixo.

A segunda equação de estado também pode ser resolvida, lembrando isso . A segunda equação de estado é mostrada abaixo.

Ambas as equações podem ser reorganizadas em forma de matriz. O resultado está abaixo.

Neste ponto, as equações podem ser tratadas como qualquer outro problema de representação em espaço de estado .

Conferências internacionais sobre modelagem de gráfico de títulos (ECMS e ICBGM)

Uma bibliografia sobre modelagem de gráfico de títulos pode ser extraída das seguintes conferências:

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos

  • Simscape Official MATLAB / Simulink add-on library para programação gráfica de títulos
  • BG V.2.1 Freeware Biblioteca complementar MATLAB / Simulink para programação de gráfico de títulos gráficos