Método Holm-Bonferroni - Holm–Bonferroni method

Em estatística , o método Holm-Bonferroni , também chamado de método Holm ou método Bonferroni-Holm , é usado para neutralizar o problema de comparações múltiplas . Destina-se a controlar a taxa de erro familiar e oferece um teste simples uniformemente mais poderoso do que a correção de Bonferroni . Recebeu o nome de Sture Holm , que codificou o método, e de Carlo Emilio Bonferroni .

Motivação

Ao considerar várias hipóteses, surge o problema da multiplicidade : quanto mais hipóteses são verificadas, maior é a probabilidade de obter erros do Tipo I ( falsos positivos ). O método Holm-Bonferroni é uma das muitas abordagens para controlar a taxa de erro familiar (probabilidade de que um ou mais erros Tipo I ocorram) ajustando os critérios de rejeição para cada uma das hipóteses individuais.

Formulação

O método é o seguinte:

• Suponha que você tenha valores de p, classificados na ordem do menor para o maior , e suas hipóteses correspondentes . Você deseja que a taxa de erro familiar não seja superior a um determinado nível de significância pré-especificado .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {m}}$${\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {m}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$
• É ? Em caso afirmativo, rejeite e continue para a próxima etapa, caso contrário, SAIA.${\ displaystyle P_ {1} <\ alpha / m}$${\ displaystyle H_ {1}}$
• É ? Em caso afirmativo, rejeite também e continue para a próxima etapa, caso contrário, SAIA.${\ displaystyle P_ {2} <\ alpha / (m-1)}$${\ displaystyle H_ {2}}$
• E assim por diante: para cada valor P, teste se . Em caso afirmativo, rejeite e continue a examinar os valores de P maiores, caso contrário, SAIA.${\ displaystyle P_ {k} <{\ frac {\ alpha} {m + 1-k}}}$${\ displaystyle H_ {k}}$

Este método garante que a taxa de erro familiar . ${\ displaystyle \ leq \ alpha}$

Justificativa

A correção de Bonferroni simples rejeita apenas as hipóteses nulas com valor p menor que , a fim de garantir que o risco de rejeitar uma ou mais hipóteses nulas verdadeiras (ou seja, de cometer um ou mais erros do tipo I) é no máximo . O custo dessa proteção contra erros do tipo I é um risco aumentado de não rejeitar uma ou mais hipóteses nulas falsas (ou seja, de cometer um ou mais erros do tipo II). ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {m}}}$${\ displaystyle \ alpha}$

O método Holm-Bonferroni também controla a taxa máxima de erro familiar , mas com um aumento menor do risco de erro tipo II do que o método clássico de Bonferroni. O método Holm-Bonferroni classifica os valores- p do mais baixo para o mais alto e os compara com os níveis alfa nominais de a (respectivamente), ou seja, os valores . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {m}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {m}}, {\ frac {\ alpha} {m-1}}, \ ldots, {\ frac {\ alpha} {2}}, {\ frac {\ alpha } {1}}}$

• O índice identifica o primeiro valor p que não é baixo o suficiente para validar a rejeição. Portanto, as hipóteses nulas são rejeitadas, enquanto as hipóteses nulas não são rejeitadas.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H _ {(1)}, \ ldots, H _ {(k-1)}}$${\ displaystyle H _ {(k)}, ..., H _ {(m)}}$
• Se nenhum valor de p for baixo o suficiente para rejeição, nenhuma hipótese nula será rejeitada.${\ displaystyle k = 1}$
• Se nenhum índice for encontrado, todos os valores- p foram baixos o suficiente para rejeição, portanto, todas as hipóteses nulas são rejeitadas (nenhuma é aceita).${\ displaystyle k}$

Prova

Holm – Bonferroni controla a FWER da seguinte maneira. Let Ser uma família de hipóteses, e ser os p-valores ordenados. Let Ser o conjunto de índices correspondentes às (desconhecidas) hipóteses nulas verdadeiras, tendo membros. ${\ displaystyle H _ {(1)} \ ldots H _ {(m)}}$${\ displaystyle P _ {(1)} \ leq P _ {(2)} \ leq \ cdots \ leq P _ {(m)}}$${\ displaystyle I_ {0}}$${\ displaystyle m_ {0}}$

Vamos supor que rejeitamos erroneamente uma hipótese verdadeira. Temos que provar que a probabilidade desse evento é no máximo . Seja a primeira hipótese verdadeira rejeitada (primeiro na ordem dada pelo teste de Bonferroni-Holm). Então, são rejeitadas todas as hipóteses falsas e . A partir daí, obtemos (1). Uma vez que é rejeitado, temos por definição do teste. Usando (1), o lado direito é no máximo . Assim, se rejeitarmos erroneamente uma hipótese verdadeira, deve haver uma hipótese verdadeira com valor P no máximo . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle H _ {(1)}, \ ldots, H _ {(h-1)}}$${\ displaystyle h-1 \ leq m-m_ {0}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {m-h + 1}} \ leq {\ frac {1} {m_ {0}}}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle P _ {(h)} \ leq {\ frac {\ alpha} {m-h + 1}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {m_ {0}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {m_ {0}}}}$

Portanto, vamos definir a variável aleatória . Qualquer que seja o conjunto (desconhecido) de hipóteses verdadeiras , nós temos (pelas desigualdades de Bonferroni ). Portanto, a probabilidade de rejeitar uma hipótese verdadeira é no máximo . ${\ displaystyle A = \ left \ {P_ {i} \ leq {\ frac {\ alpha} {m_ {0}}} {\ text {for}} i \ in I_ {0} \ right \}}$${\ displaystyle I_ {0}}$${\ displaystyle \ Pr (A) \ leq \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

Prova alternativa

O método de Holm-Bonferroni pode ser visto como um procedimento de teste fechado , com o método de Bonferroni aplicado localmente em cada uma das interseções de hipóteses nulas. Como tal, ele controla a taxa de erro familiar para todas as k hipóteses no nível α no sentido forte. Cada interseção é testada usando o teste simples de Bonferroni.

É um procedimento de atalho, pois praticamente o número de comparações a serem feitas é igual ou menor, enquanto o número de todas as interseções de hipóteses nulas a serem testadas é da ordem . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 2 ^ {m}}$

O princípio de fechamento afirma que uma hipótese em uma família de hipóteses é rejeitada - enquanto controla a taxa de erro familiar de - se e somente se todas as subfamílias das interseções com são controladas no nível de taxa de erro familiar de . ${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {m}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle H_ {i}}$${\ displaystyle \ alpha}$

No procedimento de Holm-Bonferroni, primeiro testamos . Se não for rejeitada, então a interseção de todas as hipóteses nulas também não é rejeitada, de modo que existe pelo menos uma hipótese de interseção para cada uma das hipóteses elementares que não é rejeitada, portanto, não rejeitamos nenhuma das hipóteses elementares. ${\ displaystyle H _ {(1)}}$${\ displaystyle \ bigcap \ nolimits _ {i = 1} ^ {m} H_ {i}}$${\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {m}}$

Se for rejeitado no nível , todas as subfamílias de interseção que o contêm também serão rejeitadas, portanto, será rejeitado. Isso ocorre porque é o menor em cada uma das subfamílias de interseção e o tamanho das subfamílias é maior , de modo que o limite de Bonferroni é maior que . ${\ displaystyle H _ {(1)}}$${\ displaystyle \ alpha / m}$${\ displaystyle H _ {(1)}}$${\ displaystyle P _ {(1)}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ alpha / m}$

O mesmo raciocínio se aplica . No entanto, uma vez que já rejeitado, é suficiente rejeitar todas as subfamílias de interseção de fora . Uma vez que detém todas as interseções que contém são rejeitadas. ${\ displaystyle H _ {(2)}}$${\ displaystyle H _ {(1)}}$${\ displaystyle H _ {(2)}}$${\ displaystyle H _ {(1)}}$${\ displaystyle P _ {(2)} \ leq \ alpha / (m-1)}$${\ displaystyle H _ {(2)}}$

O mesmo se aplica a cada um . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq m}$

Exemplo

Considere quatro hipóteses nulas com valores de p não ajustados , , e , para ser testado ao nível de significância . Como o procedimento é reduzido, primeiro testamos , que tem o menor valor p . O valor p é comparado , a hipótese nula é rejeitada e passamos para a próxima. Uma vez que rejeitamos também e continuamos. A próxima hipótese não é rejeitada desde então . Nós paramos de testar e concluir que e são rejeitadas e e não são rejeitadas enquanto controla a taxa de erro família-wise ao nível . Observe que, embora se aplique, não é rejeitado. Isso ocorre porque o procedimento de teste para quando ocorre uma falha na rejeição. ${\ displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {4}}$${\ displaystyle p_ {1} = 0,01}$${\ displaystyle p_ {2} = 0,04}$${\ displaystyle p_ {3} = 0,03}$${\ displaystyle p_ {4} = 0,005}$${\ displaystyle \ alpha = 0,05}$${\ displaystyle H_ {4} = H _ {(1)}}$${\ displaystyle p_ {4} = p _ {(1)} = 0,005}$${\ displaystyle \ alpha /4=0.0125}$${\ displaystyle p_ {1} = p _ {(2)} = 0,01 <0,0167 = \ alpha / 3}$${\ displaystyle H_ {1} = H _ {(2)}}$${\ displaystyle H_ {3}}$${\ displaystyle p_ {3} = p _ {(3)} = 0,03> 0,025 = \ alpha / 2}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {4}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {3}}$${\ displaystyle \ alpha = 0,05}$${\ displaystyle p_ {2} = p _ {(4)} = 0,04 <0,05 = \ alpha}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Extensões

Método Holm-Šidák

Quando os testes de hipótese não são negativamente dependentes, é possível substituí-los por: ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {m}}, {\ frac {\ alpha} {m-1}}, \ ldots, {\ frac {\ alpha} {1}}}$

${\ displaystyle 1- (1- \ alpha) ^ {1 / m}, 1- (1- \ alpha) ^ {1 / (m-1)}, \ ldots, 1- (1- \ alpha) ^ { 1}}$

resultando em um teste um pouco mais poderoso.

Versão ponderada

Sejam os valores p não ajustados ordenados. Deixe , corresponda a . Rejeitar enquanto ${\ displaystyle P _ {(1)}, \ ldots, P _ {(m)}}$${\ displaystyle H _ {(i)}}$${\ displaystyle 0 \ leq w _ {(i)}}$${\ displaystyle P _ {(i)}}$${\ displaystyle H _ {(i)}}$

${\ displaystyle P _ {(j)} \ leq {\ frac {w _ {(j)}} {\ sum _ {k = j} ^ {m} w _ {(k)}}} \ alpha, \ quad j = 1, \ ldots, i}$

Valores p ajustados

Os ajustados p -Valores para o método de Holm-Bonferroni são:

${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {(i)} = \ max _ {j \ leq i} \ left \ {(m-j + 1) p _ {(j)} \ right \} _ {1 }, {\ text {onde}} \ {x \} _ {1} \ equiv \ min (x, 1).}$

No exemplo anterior, os ajustados p -Valores são , , e . Apenas hipóteses e são rejeitadas no nível . ${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {1} = 0,03}$${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {2} = 0,06}$${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {3} = 0,06}$${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {4} = 0,02}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {4}}$${\ displaystyle \ alpha = 0,05}$

Valores- p ajustados semelhantes para o método Holm-Šidák podem ser definidos recursivamente como , onde . Devido à desigualdade para , o método Holm-Šidák será mais poderoso do que o método Holm-Bonferroni. ${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {(i)} = \ max \ left \ {{\ widetilde {p}} _ {(i-1)}, 1- (1-p _ {(i)} ) ^ {m-i + 1} \ right \}}$${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {(1)} = 1- (1-p _ {(1)}) ^ {m}}$${\ displaystyle 1- (1- \ alpha) ^ {1 / n} <\ alpha / n}$${\ displaystyle n \ geq 2}$

Os valores p ajustados ponderados são:

${\ displaystyle {\ widetilde {p}} _ {(i)} = \ max _ {j \ leq i} \ left \ {{\ frac {\ sum _ {k = j} ^ {m} {w _ {( k)}}} {w _ {(j)}}} p _ {(j)} \ right \} _ {1}, {\ text {where}} \ {x \} _ {1} \ equiv \ min ( x, 1).}$

Uma hipótese é rejeitada no nível α se e somente se seu valor p ajustado for menor que α. No exemplo anterior, usando pesos iguais, os valores p ajustados são 0,03, 0,06, 0,06 e 0,02. Esta é outra maneira de ver que usando α = 0,05, apenas as hipóteses um e quatro são rejeitadas por este procedimento.

Alternativas e uso

O método Holm-Bonferroni é "uniformemente" mais poderoso do que a correção de Bonferroni clássica , o que significa que é sempre pelo menos tão poderoso.

Existem outros métodos para controlar a taxa de erro familiar que são mais poderosos do que Holm-Bonferroni. Por exemplo, no procedimento de Hochberg , a rejeição de é feita após encontrar o índice máximo tal que . Assim, o procedimento de Hochberg é uniformemente mais poderoso do que o procedimento de Holm. No entanto, o procedimento de Hochberg requer que as hipóteses sejam independentes ou estejam sob certas formas de dependência positiva, enquanto Holm-Bonferroni pode ser aplicado sem tais suposições. Um procedimento de intensificação semelhante é o procedimento de Hommel, que é uniformemente mais poderoso do que o procedimento de Hochberg. ${\ displaystyle H _ {(1)} \ ldots H _ {(k)}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P _ {(k)} \ leq {\ frac {\ alpha} {m + 1-k}}}$

Nomeação

Carlo Emilio Bonferroni não participou da invenção do método aqui descrito. Holm originalmente chamou o método de "teste de Bonferroni sequencialmente rejeitado", e só depois de algum tempo ele se tornou conhecido como Holm-Bonferroni. Os motivos de Holm para nomear seu método após Bonferroni são explicados no artigo original: "O uso da desigualdade de Boole dentro da teoria de inferência múltipla é normalmente chamado de técnica de Bonferroni, e por esta razão chamaremos nosso teste de teste de Bonferroni sequencialmente rejeitado."

Referências