Teorema do ideal primo booleano - Boolean prime ideal theorem

Em matemática , o teorema do ideal primo Booleano afirma que os ideais em uma álgebra booleana podem ser estendidos aos ideais primos . Uma variação dessa afirmação para filtros em conjuntos é conhecida como lema do ultrafiltro . Outros teoremas são obtidos considerando diferentes estruturas matemáticas com noções apropriadas de ideais, por exemplo, anéis e ideais primos (da teoria dos anéis), ou redes distributivas e ideais máximos (da teoria da ordem ). Este artigo enfoca os teoremas ideais primários da teoria da ordem.

Embora os vários teoremas ideais primários possam parecer simples e intuitivos, eles não podem ser deduzidos em geral dos axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha (abreviado ZF). Em vez disso, algumas das afirmações acabam sendo equivalentes ao axioma de escolha (AC), enquanto outras - o teorema do ideal primo Booleano, por exemplo - representam uma propriedade que é estritamente mais fraca do que AC. É devido a esse status intermediário entre ZF e ZF + AC (ZFC) que o teorema ideal primo Booleano é freqüentemente considerado um axioma da teoria dos conjuntos. As abreviações BPI ou PIT (para álgebras booleanas) às vezes são usadas para se referir a este axioma adicional.

Teoremas ideais primários

Um ideal de pedido é um conjunto inferior direcionado (não vazio) . Se o conjunto parcialmente ordenado considerado (poset) tiver suprema binário (também conhecido como junções ), como fazem os posets neste artigo, isso é caracterizado de forma equivalente como um conjunto inferior não vazio I que é fechado para suprema binário (ou seja, implica ) . Um I ideal é primo se seu complemento teórico do conjunto no poset for um filtro (isto é, implica ou ). Os ideais são adequados se não forem iguais a todo o poset.

Historicamente, a primeira afirmação relacionada a teoremas ideais primos posteriores referia-se, na verdade, a filtros - subconjuntos que são ideais com respeito à ordem dual . O lema do ultrafiltro afirma que cada filtro em um conjunto está contido em algum filtro máximo (adequado) - um ultrafiltro . Lembre-se de que os filtros em conjuntos são filtros próprios da álgebra booleana de seu conjunto de poderes . Nesse caso especial, os filtros máximos (ou seja, filtros que não são subconjuntos estritos de nenhum filtro adequado) e os filtros principais (ou seja, os filtros que, com cada união dos subconjuntos X e Y contêm também X ou Y ), coincidem. O dual dessa declaração, portanto, assegura que todo ideal de um conjunto de poderes está contido em um ideal primário.

A afirmação acima levou a vários teoremas ideais primos generalizados, cada um dos quais existe em uma forma forte e fraca. Teoremas de ideais primos fracos afirmam que toda álgebra não trivial de uma determinada classe tem pelo menos um ideal primo. Em contraste, teoremas de ideais primos fortes requerem que todo ideal separado de um determinado filtro possa ser estendido a um ideal primo que ainda esteja separado desse filtro. No caso de álgebras que não são posets, usam-se diferentes subestruturas em vez de filtros. Muitas formas desses teoremas são realmente conhecidas como equivalentes, de modo que a afirmação de que "PIT" é válida é geralmente considerada a afirmação de que a afirmação correspondente para álgebras booleanas (BPI) é válida.

Outra variação de teoremas semelhantes é obtida substituindo cada ocorrência do ideal primo pelo ideal máximo . Os teoremas ideais máximos (MIT) correspondentes são freqüentemente - embora nem sempre - mais fortes do que seus equivalentes PIT.

Teorema do ideal primo booleano

O teorema do ideal primo booleano é o teorema do ideal primo forte para álgebras booleanas. Assim, a declaração formal é:

Seja B uma álgebra booleana, seja I um ideal e seja F um filtro de B , de modo que I e F são disjuntos . Então eu está contido em um ideal nobre da B que está separado de F .

O teorema do ideal primário fraco para álgebras booleanas simplesmente afirma:

Toda álgebra booleana contém um ideal primário.

Chamamos essas declarações de BPI fraco e forte . Os dois são equivalentes, pois o BPI forte implica claramente o BPI fraco, e a implicação reversa pode ser alcançada usando o BPI fraco para encontrar ideais primos na álgebra de quociente apropriada.

O BPI pode ser expresso de várias maneiras. Para este propósito, lembre-se do seguinte teorema:

Para qualquer I ideal de uma álgebra booleana B , os seguintes são equivalentes:

  • I é um ideal primordial.
  • I é um ideal máxima, isto é, para qualquer ideal adequada J , se eu está contido no J , em seguida, I = J .
  • Para cada elemento a de B , I contém exatamente um de { a , ¬ a }.

Este teorema é um fato bem conhecido para álgebras booleanas. Seu dual estabelece a equivalência de filtros prime e ultrafiltros. Observe que a última propriedade é de fato autodual - apenas a suposição anterior de que I é um ideal fornece a caracterização completa. Todas as implicações dentro deste teorema podem ser provadas em ZF.

Assim, o seguinte (forte) teorema ideal máximo (MIT) para álgebras booleanas é equivalente a BPI:

Seja B uma álgebra booleana, seja I um ideal e seja F um filtro de B , de modo que I e F são disjuntos. Então eu está contido em alguns máxima ideal de B que está separado de F .

Note-se que um requer maximalidade "global", e não apenas maximalidade no que diz respeito a ser disjuntos de F . No entanto, esta variação produz outra caracterização equivalente do BPI:

Seja B uma álgebra booleana, seja I um ideal e seja F um filtro de B , de modo que I e F são disjuntos. Então eu está contido em algum ideal de B que é máxima entre todos os ideais disjuntos de F .

O fato de que esta afirmação é equivalente a BPI é facilmente estabelecido observando o seguinte teorema: Para qualquer rede distributiva L , se um ideal I é máximo entre todos os ideais de L que são disjuntos a um dado filtro F , então I é um ideal primo . A prova dessa afirmação (que pode ser realizada novamente na teoria dos conjuntos ZF) está incluída no artigo sobre ideais. Uma vez que qualquer álgebra booleana é uma rede distributiva, isso mostra a implicação desejada.

Todas as afirmações acima agora são facilmente vistas como equivalentes. Indo ainda mais longe, pode-se explorar o fato de que as ordens duais das álgebras booleanas são exatamente as próprias álgebras booleanas. Portanto, ao tomar os duais equivalentes de todas as afirmações anteriores, termina-se com uma série de teoremas que se aplicam igualmente às álgebras booleanas, mas onde toda ocorrência de ideal é substituída por filtro . É importante notar que para o caso especial onde a álgebra booleana em consideração é um conjunto de poderes com a ordenação de subconjunto , o "teorema do filtro máximo" é chamado de lema do ultrafiltro.

Resumindo, para as álgebras booleanas, o MIT fraco e forte, o PIT fraco e forte e essas declarações com filtros no lugar de ideais são todos equivalentes. Sabe-se que todas essas afirmações são consequências do Axioma da Escolha , AC , (a prova fácil faz uso do lema de Zorn ), mas não podem ser provadas em ZF (teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem AC ), se ZF for consistente . No entanto, o BPI é estritamente mais fraco do que o axioma da escolha, embora a prova dessa afirmação, devido a JD Halpern e Azriel Lévy, seja bastante não trivial.

Outros teoremas ideais primários

As propriedades prototípicas que foram discutidas para álgebras booleanas na seção acima podem ser facilmente modificadas para incluir redes mais gerais , como redes distributivas ou álgebras de Heyting . No entanto, nesses casos, os ideais máximos são diferentes dos ideais primários, e a relação entre PITs e MITs não é óbvia.

De fato, verifica-se que os MITs para redes distributivas e mesmo para álgebras de Heyting são equivalentes ao axioma de escolha. Por outro lado, sabe-se que o PIT forte para redes distributivas é equivalente ao BPI (ou seja, ao MIT e PIT para álgebras booleanas). Portanto, esta afirmação é estritamente mais fraca do que o axioma da escolha. Além disso, observe que as álgebras de Heyting não são autoduais e, portanto, o uso de filtros no lugar de ideais produz diferentes teoremas neste cenário. Talvez surpreendentemente, o MIT para os duais de álgebras de Heyting não é mais forte do que o BPI, o que está em nítido contraste com o MIT acima mencionado para álgebras de Heyting.

Finalmente, os teoremas ideais primos também existem para outras álgebras abstratas (não teóricas da ordem). Por exemplo, o MIT para anéis implica o axioma de escolha. Essa situação requer a substituição do termo teórico da ordem "filtro" por outros conceitos - para anéis, um "subconjunto multiplicativamente fechado" é apropriado.

O lema do ultrafiltro

Artigo principal: Lema do Ultrafiltro
Veja também: Topologia teórica de conjuntos

Um filtro em um conjunto X é uma coleção não vazia de subconjuntos não vazios de X que é fechada sob interseção finita e sob superconjunto. Um ultrafiltro é um filtro máximo. Os estados ultrafiltro Lema que cada filtro sobre um conjunto X é um subconjunto de um ultrafiltro em X . Um ultrafiltro que não contém conjuntos finitos é chamado de "não principal". O lema do ultrafiltro, e em particular a existência de ultrafiltros não principais (considere o filtro de todos os conjuntos com complementos finitos), pode ser provado usando o lema de Zorn .

O lema do ultrafiltro é equivalente ao teorema ideal primo Booleano, com a equivalência demonstrável na teoria dos conjuntos ZF sem o axioma de escolha. A ideia por trás da prova é que os subconjuntos de qualquer conjunto formam uma álgebra booleana parcialmente ordenada por inclusão, e qualquer álgebra booleana é representável como uma álgebra de conjuntos pelo teorema de representação de Stone .

Se o conjunto X for finito, então o lema do ultrafiltro pode ser provado a partir dos axiomas ZF. Isso não é mais verdade para conjuntos infinitos; um axioma adicional deve ser assumido. O lema de Zorn , o axioma da escolha e o teorema de Tychonoff podem ser usados ​​para provar o lema do ultrafiltro. O lema do ultrafiltro é estritamente mais fraco do que o axioma de escolha.

O lema do ultrafiltro tem muitas aplicações em topologia . O lema do ultrafiltro pode ser usado para provar o teorema de Hahn-Banach e o teorema da subbase de Alexander .

Formulários

Intuitivamente, o teorema do ideal primo Booleano afirma que existem ideais primos "suficientes" em uma álgebra booleana no sentido de que podemos estender todo ideal a um máximo. Isso é de importância prática para provar o teorema de representação de Stone para álgebras booleanas , um caso especial de dualidade de Stone , em que equipamos o conjunto de todos os ideais primos com uma determinada topologia e podemos de fato recuperar a álgebra booleana original ( até o isomorfismo ). dados. Além disso, verifica-se que nas aplicações pode-se escolher livremente trabalhar com ideais primos ou com filtros primos, porque cada ideal determina unicamente um filtro: o conjunto de todos os complementos booleanos de seus elementos. Ambas as abordagens são encontradas na literatura.

Muitos outros teoremas de topologia geral, que frequentemente se diz que dependem do axioma da escolha, são de fato equivalentes ao BPI. Por exemplo, o teorema de que um produto de espaços compactos de Hausdorff é compacto é equivalente a ele. Se deixarmos "Hausdorff" de fora, obteremos um teorema equivalente ao axioma completo da escolha.

Na teoria dos grafos , o teorema de Bruijn – Erdős é outro equivalente ao BPI. Ele afirma que, se um dado gráfico infinito requer pelo menos algum número finito k em qualquer coloração de gráfico , então ele tem um subgrafo finito que também requer k .

Uma aplicação não muito conhecida do teorema do ideal primo Booleano é a existência de um conjunto não mensurável (o exemplo geralmente dado é o conjunto de Vitali , que requer o axioma de escolha). A partir disso e do fato de que o BPI é estritamente mais fraco do que o axioma de escolha, segue-se que a existência de conjuntos não mensuráveis ​​é estritamente mais fraca do que o axioma de escolha.

Na álgebra linear, o teorema ideal primo booleano pode ser usado para provar que quaisquer duas bases de um determinado espaço vetorial têm a mesma cardinalidade .

Veja também

Notas

Referências

Uma introdução fácil de ler, mostrando a equivalência de PIT para álgebras booleanas e redes distributivas.
A teoria neste livro freqüentemente requer princípios de escolha. As notas em vários capítulos discutem a relação geral dos teoremas para PIT e MIT para várias estruturas (embora principalmente reticulados) e dão indicações para literatura futura.
Discute o status do lema do ultrafiltro.
Fornece muitas declarações equivalentes para o BPI, incluindo teoremas ideais primários para outras estruturas algébricas. PITs são considerados instâncias especiais de lemas de separação.