Rigidez de nascença - Born rigidity

A rigidez nata é um conceito da relatividade especial . É uma resposta à questão do que, na relatividade especial, corresponde ao corpo rígido da mecânica clássica não relativística .

O conceito foi introduzido por Max Born (1909), que deu uma descrição detalhada do caso de aceleração adequada constante que ele chamou de movimento hiperbólico . Quando autores subsequentes, como Paul Ehrenfest (1909) tentaram incorporar movimentos rotacionais também, ficou claro que a rigidez de Born é um sentido muito restritivo de rigidez, levando ao teorema de Herglotz-Noether , de acordo com o qual existem severas restrições à rigidez de Born movimentos rígidos. Foi formulado por Gustav Herglotz (1909, que classificou todas as formas de movimentos rotacionais) e de forma menos geral por Fritz Noether (1909). Como resultado, Born (1910) e outros deram definições alternativas e menos restritivas de rigidez.

Definição

A rigidez nascida é satisfeita se a distância ortogonal do espaço-tempo entre curvas infinitesimalmente separadas ou linhas de mundo for constante, ou de forma equivalente, se o comprimento do corpo rígido em quadros inerciais co-móveis momentâneos medido por hastes de medição padrão (ou seja, o comprimento adequado ) é constante e é portanto, sujeito à contração de Lorentz em quadros relativamente móveis. A rigidez natural é uma restrição ao movimento de um corpo estendido, obtida pela aplicação cuidadosa de forças em diferentes partes do corpo. Um corpo rígido em si mesmo violaria a relatividade especial, pois sua velocidade de som seria infinita.

Uma classificação de todos os movimentos rígidos de Born possíveis pode ser obtida usando o teorema de Herglotz-Noether. Este teorema afirma que todos os movimentos rígidos de Born irrotacionais ( classe A ) consistem em hiperplanos movendo-se rigidamente no espaço-tempo, enquanto qualquer movimento rígido de Born rotacional ( classe B ) deve ser movimentos isométricos de Killing . Isso implica que um corpo rígido nascido tem apenas três graus de liberdade . Assim, um corpo pode ser trazido do repouso de uma forma rígida de Born para qualquer movimento de translação , mas não pode ser trazido de uma forma rígida de Born do repouso para o movimento de rotação.

Tensões e rigidez de nascença

Foi demonstrado por Herglotz (1911) que uma teoria relativística da elasticidade pode ser baseada no pressuposto de que tensões surgem quando a condição de rigidez de Born é quebrada.

Um exemplo de quebra da rigidez de Born é o paradoxo de Ehrenfest : Mesmo que o estado de movimento circular uniforme de um corpo esteja entre os movimentos rígidos de Born permitidos da classe B , um corpo não pode ser trazido de qualquer outro estado de movimento para um movimento circular uniforme sem quebrar a condição de rigidez de Born durante a fase em que o corpo sofre várias acelerações. Mas se essa fase terminar e a aceleração centrípeta se tornar constante, o corpo pode estar girando uniformemente de acordo com a rigidez de Born. Da mesma forma, se agora está em movimento circular uniforme, este estado não pode ser mudado sem quebrar novamente a rigidez nascida do corpo.

Outro exemplo é o paradoxo da nave espacial de Bell : Se os pontos finais de um corpo são acelerados com acelerações adequadas constantes na direção retilínea, então o ponto final líder deve ter uma aceleração adequada mais baixa para deixar o comprimento adequado constante para que a rigidez de Born seja satisfeita. Ele também exibirá uma contração de Lorentz crescente em um referencial inercial externo, ou seja, no referencial externo os pontos finais do corpo não estão acelerando simultaneamente. No entanto, se um perfil de aceleração diferente for escolhido pelo qual os pontos finais do corpo são simultaneamente acelerados com a mesma aceleração adequada como visto na estrutura inercial externa, sua rigidez de Born será quebrada, porque o comprimento constante na estrutura externa implica em aumentar o comprimento adequado em uma moldura móvel devido à relatividade da simultaneidade. Nesse caso, um fio frágil estendido entre dois foguetes sofrerá tensões (chamadas de tensões Herglotz-Dewan-Beran) e, conseqüentemente, se quebrará.

Movimentos rígidos nascidos

Uma classificação de movimentos rígidos de Born permitidos, em particular de rotação, no espaço-tempo plano de Minkowski foi dada por Herglotz, que também foi estudada por Friedrich Kottler (1912, 1914), Georges Lemaître (1924), Adriaan Fokker (1940), George Salzmann & Abraham H. Taub (1954). Herglotz apontou que um continuum está se movendo como um corpo rígido quando as linhas de mundo de seus pontos são curvas equidistantes em . As linhas de mundo resultantes podem ser divididas em duas classes: ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$

Classe A: movimentos irrotacionais

Herglotz definiu esta classe em termos de curvas equidistantes que são as trajetórias ortogonais de uma família de hiperplanos , que também podem ser vistas como soluções de uma equação de Riccati (isso foi chamado de "movimento plano" por Salzmann & Taub ou "movimento rígido irrotacional" por Boyer). Ele concluiu que o movimento de tal corpo é completamente determinado pelo movimento de um de seus pontos.

A métrica geral para esses movimentos irrotacionais foi dada por Herglotz, cujo trabalho foi resumido com notação simplificada por Lemaître (1924). Também a métrica de Fermi na forma dada por Christian Møller (1952) para quadros rígidos com movimento arbitrário da origem foi identificada como a "métrica mais geral para movimento rígido irrotacional na relatividade especial". Em geral, foi mostrado que o movimento irrotacional de Born corresponde àquelas congruências de Fermi das quais qualquer linha de mundo pode ser usada como linha de base (congruência de Fermi homogênea).

Herglotz 1909	${\ displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, dc) - \ Theta ^ {2} d \ vartheta ^ {2}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {align} & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + \ phi ^ {2} dt ^ {2} \\ & \ quad \ left (\ phi = lx + my + nz + p \ right) \ end {alinhado}}}$
Møller 1952	${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \ left [1 + {\ frac {g _ {\ kappa } x ^ {\ kappa}} {c ^ {2}}} \ direita] ^ {2}}$

Já Born (1909) apontou que um corpo rígido em movimento translacional possui uma extensão espacial máxima dependendo de sua aceleração, dada pela relação , onde está a própria aceleração e é o raio de uma esfera na qual o corpo está localizado, logo a quanto maior a aceleração adequada, menor será a extensão máxima do corpo rígido. O caso especial de movimento translacional com aceleração adequada constante é conhecido como movimento hiperbólico , com a linha do mundo ${\ displaystyle b <c ^ {2} / R}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R}$

Nascido em 1909	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x = -q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi \\ & \ quad \ left (p = {\ frac {dx} {d \ tau}}, \ quad q = - {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ sqrt {1 + p ^ { 2} / c ^ {2}}} \ direita) \ end {alinhado}}}$
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x ', \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}}}$
Sommerfeld 1910	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & x = r \ cos \ varphi, \ quad y = y ', \ quad z = z', \ quad l = r \ sin \ varphi \\ & \ quad \ left (l = ict, \ quad \ varphi = i \ psi \ right) \ end {alinhado}}}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} \ end {alinhado}}}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = b \ cosh u, \ quad ct = b \ sinh u}$

Classe B: movimentos isométricos rotacionais

Herglotz definiu esta classe em termos de curvas equidistantes que são as trajetórias de um grupo de movimento de um parâmetro (isso foi chamado de "movimento de grupo" por Salzmann & Taub e foi identificado com movimento Killing isométrico por Felix Pirani & Gareth Williams (1962)). Ele ressaltou que eles consistem em linhas de mundo cujas três curvaturas são constantes (conhecidas como curvatura , torção e hipertensão), formando uma hélice . Linhas de mundo de curvaturas constantes no espaço-tempo plano também foram estudadas por Kottler (1912), Petrův (1964), John Lighton Synge (1967, que as chamou de hélices do tempo no espaço-tempo plano), ou Letaw (1981, que as chamou de linhas de mundo estacionárias) como o soluções das fórmulas Frenet – Serret .

Herglotz separou posteriormente a classe B usando quatro grupos de um parâmetro de transformações de Lorentz (loxodrômica, elíptica, hiperbólica, parabólica) em analogia aos movimentos hiperbólicos (isto é, automorfismos isométricos de um espaço hiperbólico) , e apontou que o movimento hiperbólico de Born (que decorre do grupo hiperbólico com na notação de Herglotz e Kottler, na notação de Lemaître, na notação de Synge; veja a tabela a seguir) é o único movimento rígido nascido que pertence às classes A e B. ${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle q = 0}$

Grupo loxodrômico (combinação de movimento hiperbólico e rotação uniforme)
Herglotz 1909	${\ displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ lambda \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ lambda \ vartheta}, \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ') e ^ {- \ vartheta}}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = -c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} -a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {alinhado} }}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z \ cosh t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$
Grupo elíptico (rotação uniforme)
Herglotz 1909	${\ displaystyle x + iy = (x '+ iy') e ^ {i \ vartheta}, \ quad x-iy = (x'-iy ') e ^ {- i \ vartheta}, \ quad z = z' , \ quad t = t '+ \ delta \ vartheta}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x ^ {(1)} = a \ cos \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(2)} = a \ sin \ lambda \ left (u-u_ {0} \ right), \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)}, \ quad x ^ {(4)} = iu \\ & ds ^ { 2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (1-a ^ {2} \ lambda ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {alinhado}} }$
de Sitter 1916	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ theta '= \ theta - \ omega ct, \ \ left (d \ sigma ^ {\ prime 2} = dr ^ {\ prime 2} + r ^ {\ prime 2} d \ theta ^ {\ prime 2} + dz ^ {\ prime 2} \ right) \\ & ds ^ {2} = - d \ sigma ^ {\ prime 2} -2r ^ {\ prime 2} \ omega \ d \ theta 'cdt + \ left (1-r ^ {\ prime 2} \ omega ^ {2} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ xi = x \ cos \ lambda ty \ sin \ lambda t, \ quad \ eta = x \ sin \ lambda t + y \ cos \ lambda t, \ quad \ zeta = z , \ quad \ tau = t \\ & ds ^ {2} = - dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda r ^ {2} d \ theta \ dt + \ left (1- \ lambda ^ {2} r ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = q \ omega ^ {- 1} \ sin \ omega s, \ quad y = -q \ omega ^ {- 1} \ cos \ omega s, \ quad z = 0, \ quad t = sr}$
Grupo hiperbólico (movimento hiperbólico mais translação espacial)
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x '+ \ alpha \ vartheta, \ quad y = y', \ quad tz = (t'-z ') e ^ {\ vartheta}, \ quad t + z = (t' + z ' ) e ^ {- \ vartheta}}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {align} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + \ alpha u, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2) )}, \ quad x ^ {(3)} = b \ cos iu, \ quad x ^ {(4)} = b \ sin iu \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (b ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) (du) ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ xi = x + \ lambda t, \ quad \ eta = y, \ quad \ zeta = z \ cosh t, \ quad \ tau = z \ sinh t \\ & ds ^ {2 } = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} -2 \ lambda dx \ dt + \ left (z ^ {2} - \ lambda ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = sq, \ quad y = 0, \ quad z = r \ chi ^ {- 1} \ cosh \ chi s, \ quad t = r \ chi ^ {- 1} \ sinh \ chi s}$
Grupo parabólico (descrevendo uma parábola semicúbica )
Herglotz 1909	${\ displaystyle x = x_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ delta \ vartheta ^ {2}, \ quad y = y_ {0} + \ beta \ vartheta, \ quad z = z_ {0 } + x_ {0} \ vartheta + {\ frac {1} {6}} \ delta \ vartheta ^ {3}, \ quad tz = \ delta \ vartheta}$
Kottler 1912, 1914	${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x ^ {(1)} = x_ {0} ^ {(1)} + {\ frac {1} {2}} \ alpha u ^ {2}, \ quad x ^ {(2)} = x_ {0} ^ {(2)}, \ quad x ^ {(3)} = x_ {0} ^ {(3)} + x_ {0} ^ {(1)} u + { \ frac {1} {6}} \ alpha u ^ {3}, \ quad x ^ {(4)} = ix ^ {(3)} + i \ alpha u \\ & ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left (\ alpha ^ {2} + 2x_ {0} ^ {(1)} \ right) (du) ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Lemaître 1924	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ xi = x + {\ frac {1} {2}} \ lambda t ^ {2}, \ quad \ eta = y + \ mu t, \ quad \ zeta = z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3}, \ quad \ tau = \ lambda t + z + xt + {\ frac {1} {6}} \ lambda t ^ {3} \\ & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -2 \ mu \ dy \ dt + 2 \ lambda \ dz \ dt + \ left (2 \ lambda x + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \ right) dt ^ {2} \ end {alinhado}}}$
Synge 1967	${\ displaystyle x = {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}, \ quad y = 0, \ quad z = {\ frac {1} {2}} bs ^ {2 }, \ quad t = s + {\ frac {1} {6}} b ^ {2} s ^ {3}}$

Relatividade geral

As tentativas de estender o conceito de rigidez de Born à relatividade geral foram feitas por Salzmann & Taub (1954), C. Beresford Rayner (1959), Pirani & Williams (1962), Robert H. Boyer (1964). Foi mostrado que o teorema de Herglotz-Noether não está completamente satisfeito, porque quadros rotativos rígidos ou congruências são possíveis, os quais não representam movimentos isométricos de Killing.

Alternativas

Vários substitutos mais fracos também foram propostos como condições de rigidez, como por Noether (1909) ou o próprio Born (1910).

Uma alternativa moderna foi dada por Epp, Mann & McGrath. Em contraste com a congruência rígida de Born comum que consiste na "história de um conjunto de pontos de preenchimento de volume espacial", eles recuperam os seis graus de liberdade da mecânica clássica usando uma estrutura rígida quase-local, definindo uma congruência em termos da "história do conjunto de pontos na superfície delimitando um volume espacial ".

Referências

Bibliografia

• Born, Max (1909a), "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [Tradução do Wikisource: A Teoria do Elétron Rígido na Cinemática do Princípio da Relatividade ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, bibcode : 1909AnP ... 335 .... 1B , doi : 10.1002 / andp.19093351102
• Born, Max (1909b), "Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [Tradução do Wikisource: Concerning the Dynamics of the Electron in the Kinematics of the Principle of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814-817
• Born, Max (1910), "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [Tradução do Wikisource: On the Kinematics of the Rigid Body in the System of the Principle of Relativity ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161-179
• Ehrenfest, Paul (1909), "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie"  [Tradução do Wikisource: Rotação Uniforme de Corpos Rígidos e a Teoria da Relatividade ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ ... 10..918E
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Tradução do Wikisource: em corpos que devem ser designados como "rígidos" do ponto de vista do princípio da relatividade ], Annalen der Physik , 336 (2): 393-415, bibcode : 1910AnP ... 336..393H , doi : 10.1002 / andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie" , Annalen der Physik , 341 (13): 493-533, Bibcode : 1911AnP ... 341..493H , doi : 10.1002 / andp. 19113411303 ; Tradução para o inglês de David Delphenich: Sobre a mecânica dos corpos deformáveis ​​do ponto de vista da teoria da relatividade .
• Noether, Fritz (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie" . Annalen der Physik . 336 (5): 919–944. Bibcode : 1910AnP ... 336..919N . doi : 10.1002 / andp.19103360504 .
• Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [Tradução do Wikisource: On the Theory of Relativity II: Four-dimensional Vector Analysis ]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Bibcode : 1910AnP ... 338..649S . doi : 10.1002 / andp.19103381402 .
• Kottler, Friedrich (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [Tradução do Wikisource: Nas linhas do espaço-tempo de um mundo Minkowski ]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659–1759. hdl : 2027 / mdp.39015051107277 .
• Kottler, Friedrich (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung" . Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Bibcode : 1914AnP ... 349..701K . doi : 10.1002 / andp.19143491303 .
• Kottler, Friedrich (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips" . Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Bibcode : 1914AnP ... 350..481K . doi : 10.1002 / andp.19143502003 .
• De Sitter, W. (1916). "Sobre a teoria da gravitação de Einstein e suas consequências astronômicas. Segundo artigo" . Avisos mensais da Royal Astronomical Society . 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093 / mnras / 77.2.155 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539-776

Em inglês: Pauli, W. (1981) [1921]. Teoria da Relatividade . Teorias Fundamentais da Física . 165 . Publicações de Dover. ISBN   0-486-64152-X .

• Lemaître, G. (1924), "O movimento de um sólido rígido de acordo com o princípio da relatividade", Philosophical Magazine , Series 6, 48 (283): 164-176, doi : 10.1080 / 14786442408634478
• Fokker, AD (1949), "On the space-time geometry of a moving rigid body", Reviews of Modern Physics , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP ... 21..406F , doi : 10.1103 / RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. A teoria da relatividade . Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G., & Taub, AH (1954), "Born-type rigid motion in relativity", Physical Review , 95 (6): 1659-1669, Bibcode : 1954PhRv ... 95.1659S , doi : 10.1103 / PhysRev. 95,1659 CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )
• Rayner, CB (1959), "Le corps rigide en relativité générale" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1-15
• Pirani, FAE, & Williams, G. (1962), "Rigid motion in a gravitational field" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1-16 CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )
• Petrův, V. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen" . Aplikace Matematiky . 9 (4): 239–240.
• Boyer, RH (1965), "Rigid frames in general relativity", Proceedings of the Royal Society of London A , 28 (1394): 343-355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098 / rspa.1965.0025 , S2CID   120278621
• Synge, JL (1967) [1966]. "Hélices semelhantes ao tempo no espaço-tempo plano". Proceedings da Academia Real Irish, Seção A . 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Grøn, Ø. (1981), "Covariant formulação da lei de Hooke", American Journal of Physics , 49 (1): 28-30, Bibcode : 1981AmJPh..49 ... 28G , doi : 10.1119 / 1.12623
• Letaw, JR (1981). "Linhas estacionárias do mundo e a excitação a vácuo de detectores não inerciais". Physical Review D . 23 (8): 1709–1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103 / PhysRevD.23.1709 .
• Bel, L. (1995) [1993], "Born's group and Generalized isometries", Relativity in General: Proceedings of the Relativity Meeting'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• Giulini, Domenico (2008). "A rica estrutura do espaço de Minkowski". Espaço-tempo de Minkowski: cem anos depois . Teorias Fundamentais da Física . 165 . Springer. p. 83. arXiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN   978-90-481-3474-8 .
• Epp, RJ, Mann, RB, & McGrath, PL (2009), "Rigid motion revisited: rigid quasilocal frames", Classical and Quantum Gravity , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 26/3/035015 , S2CID   118856653 CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )

links externos

• Rigidez, aceleração e inércia nascidas em mathpages.com
• O disco rotativo rígido na relatividade no USENET Physics FAQ