Problema de valor limite - Boundary value problem

Mostra uma região onde uma equação diferencial é válida e os valores limites associados

Em matemática , no campo das equações diferenciais , um problema de valor de contorno é uma equação diferencial junto com um conjunto de restrições adicionais, chamadas de condições de contorno . Uma solução para um problema de valor de contorno é uma solução para a equação diferencial que também satisfaz as condições de contorno.

Os problemas de valor limite surgem em vários ramos da física, como qualquer equação diferencial física os permite. Os problemas que envolvem a equação de onda , como a determinação dos modos normais , são freqüentemente apresentados como problemas de valor de contorno. Uma grande classe de problemas de valor limite importantes são os problemas de Sturm-Liouville . A análise desses problemas envolve as autofunções de um operador diferencial .

Para ser útil em aplicações, um problema de valor limite deve ser bem colocado . Isso significa que, dada a entrada para o problema, existe uma solução única, que depende continuamente da entrada. Muito trabalho teórico no campo das equações diferenciais parciais é dedicado a provar que os problemas de valor limite decorrentes de aplicações científicas e de engenharia são de fato bem apresentados.

Entre os primeiros problemas de valor de contorno a serem estudados está o problema de Dirichlet , de encontrar as funções harmônicas (soluções para a equação de Laplace ); a solução foi dada pelo princípio de Dirichlet .

Explicação

Os problemas de valor limite são semelhantes aos problemas de valor inicial . Um problema de valor limite tem condições especificadas nos extremos ("limites") da variável independente na equação, enquanto um problema de valor inicial tem todas as condições especificadas no mesmo valor da variável independente (e esse valor está no limite inferior do domínio, daí o termo valor "inicial"). Um valor limite é um valor de dados que corresponde a um valor mínimo ou máximo de entrada, interno ou de saída especificado para um sistema ou componente.

Por exemplo, se a variável independente é o tempo sobre o domínio [0,1], um problema de valor limite especificaria valores para em e , enquanto um problema de valor inicial especificaria um valor de e em tempo . ${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle t = 1}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle y '(t)}$${\ displaystyle t = 0}$

Encontrar a temperatura em todos os pontos de uma barra de ferro com uma extremidade mantida em zero absoluto e a outra extremidade no ponto de congelamento da água seria um problema de valor limite.

Se o problema depender tanto do espaço quanto do tempo, pode-se especificar o valor do problema em um determinado ponto para todo o tempo ou em um determinado momento para todo o espaço.

Concretamente, um exemplo de um valor limite (em uma dimensão espacial) é o problema

${\ displaystyle y '' (x) + y (x) = 0}$

a ser resolvido para a função desconhecida com as condições de contorno ${\ displaystyle y (x)}$

${\ displaystyle y (0) = 0, \ y (\ pi / 2) = 2.}$

Sem as condições de contorno, a solução geral para esta equação é

${\ displaystyle y (x) = A \ sin (x) + B \ cos (x).}$

A partir da condição de contorno, obtém-se ${\ displaystyle y (0) = 0}$

${\ displaystyle 0 = A \ cdot 0 + B \ cdot 1}$

o que implica que a partir da condição de contorno encontramos ${\ displaystyle B = 0.}$${\ displaystyle y (\ pi / 2) = 2}$

${\ displaystyle 2 = A \ cdot 1}$

e assim pode-se ver que as condições de contorno imponentes permitiram determinar uma solução única, que neste caso é ${\ displaystyle A = 2.}$

${\ displaystyle y (x) = 2 \ sin (x).}$

Tipos de problemas de valor limite

Condições de valor limite

Encontrar uma função para descrever a temperatura dessa barra 2D idealizada é um problema de valor de contorno com as condições de contorno de Dirichlet . Qualquer função de solução irá resolver a equação do calor e cumprir as condições de contorno de uma temperatura de 0 K no limite esquerdo e uma temperatura de 273,15 K no limite direito.

Uma condição de contorno que especifica o valor da própria função é uma condição de contorno de Dirichlet ou condição de contorno de primeiro tipo. Por exemplo, se uma extremidade de uma barra de ferro for mantida em zero absoluto, o valor do problema seria conhecido naquele ponto do espaço.

Uma condição de contorno que especifica o valor da derivada normal da função é uma condição de contorno de Neumann ou condição de contorno de segundo tipo. Por exemplo, se houver um aquecedor em uma extremidade de uma barra de ferro, então a energia seria adicionada a uma taxa constante, mas a temperatura real não seria conhecida.

Se o limite tem a forma de uma curva ou superfície que dá um valor à derivada normal e à própria variável, então é uma condição de limite de Cauchy .

Exemplos

Resumo das condições de contorno para a função desconhecida,, constantes e especificadas pelas condições de contorno e funções escalares conhecidas e especificadas pelas condições de contorno. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Nome	Formulário na 1ª parte do limite	Formulário na 2ª parte do limite
Dirichlet	${\ displaystyle y = f}$
Neumann	${\ displaystyle {\ partial y \ over \ partial n} = f}$
Robin	${\ displaystyle c_ {0} y + c_ {1} {\ parcial y \ over \ parcial n} = f}$
Misturado	${\ displaystyle y = f}$	${\ displaystyle c_ {0} y + c_ {1} {\ parcial y \ over \ parcial n} = f}$
Cauchy	ambos e${\ displaystyle y = f}$${\ displaystyle c_ {0} {\ parcial y \ over \ parcial n} = g}$

Operadores diferenciais

Além da condição de contorno, os problemas de valor de contorno também são classificados de acordo com o tipo de operador diferencial envolvido. Para um operador elíptico , discute-se os problemas de valor de contorno elíptico . Para um operador hiperbólico , discute-se os problemas de valor limite hiperbólico . Essas categorias são subdivididas em tipos lineares e vários tipos não lineares.

Formulários

Potencial eletromagnético

Na eletrostática , um problema comum é encontrar uma função que descreva o potencial elétrico de uma determinada região. Se a região não contém carga, o potencial deve ser uma solução para a equação de Laplace (a chamada função harmônica ). As condições de limite, neste caso, são as condições de interface para campos eletromagnéticos . Se não houver densidade de corrente na região, também é possível definir um potencial escalar magnético usando um procedimento semelhante.

Veja também

Notas

Referências

• AD Polyanin and VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2ª edição) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN  1-58488-297-2 .
• AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9 .

links externos

• "Problemas de valor limite na teoria potencial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Boundary value problem, complex-variable methods" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Equações diferenciais parciais lineares: soluções exatas e problemas de valor limite em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Problema de valor limite" . Scholarpedia .