Camada limite - Boundary layer

A camada limite em torno de uma mão humana, fotografia de Schlieren . A camada limite é a borda verde brilhante, mais visível nas costas da mão (clique para ver a imagem em alta resolução).

Na física e na mecânica dos fluidos , uma camada limite é a camada de fluido na vizinhança imediata de uma superfície delimitadora onde os efeitos da viscosidade são significativos. O líquido ou gás na camada limite tende a aderir à superfície.

A camada limite ao redor de um ser humano é aquecida por ele, portanto, é mais quente do que o ar circundante. Uma brisa rompe a camada limite e o cabelo e as roupas a protegem, fazendo com que o humano se sinta mais frio ou mais quente. Em uma asa de aeronave , a camada limite é a parte do fluxo perto da asa, onde as forças viscosas distorcem o fluxo não viscoso circundante. Na atmosfera da Terra , a camada limite atmosférica é a camada de ar (~ 1 km) próxima ao solo. É afetado pela superfície; fluxos de calor diurnos e noturnos causados ​​pelo aquecimento do sol no solo, umidade ou transferência de momentum de ou para a superfície.

Tipos de camada limite

Visualização da camada limite, mostrando a transição da condição laminar para turbulenta

Camadas limite laminares podem ser classificadas livremente de acordo com sua estrutura e as circunstâncias em que foram criadas. A fina camada de cisalhamento que se desenvolve em um corpo oscilante é um exemplo de camada limite de Stokes , enquanto a camada limite de Blasius se refere à solução de similaridade bem conhecida perto de uma placa plana fixada mantida em um fluxo unidirecional próximo e camada limite de Falkner-Skan , uma generalização do perfil de Blasius. Quando um fluido gira e as forças viscosas são equilibradas pelo efeito Coriolis (ao invés da inércia convectiva), uma camada de Ekman se forma. Na teoria da transferência de calor, ocorre uma camada limite térmica. Uma superfície pode ter vários tipos de camada limite simultaneamente.

A natureza viscosa do fluxo de ar reduz as velocidades locais em uma superfície e é responsável pela fricção da pele. A camada de ar sobre a superfície da asa que é desacelerada ou interrompida pela viscosidade é a camada limite. Existem dois tipos diferentes de fluxo da camada limite: laminar e turbulento.

Fluxo da camada limite laminar

O limite laminar é um fluxo muito suave, enquanto a camada limite turbulenta contém redemoinhos ou "redemoinhos". O fluxo laminar cria menos arrasto de fricção na pele do que o fluxo turbulento, mas é menos estável. O fluxo da camada limite sobre a superfície da asa começa como um fluxo laminar suave. À medida que o fluxo continua voltando da borda de ataque, a camada limite laminar aumenta em espessura.

Fluxo turbulento da camada limite

A alguma distância da borda de ataque, o fluxo laminar suave é interrompido e transita para um fluxo turbulento. Do ponto de vista do arrasto, é aconselhável ter a transição do fluxo laminar para turbulento o mais à ré possível na asa, ou ter uma grande parte da superfície da asa dentro da porção laminar da camada limite. O fluxo laminar de baixa energia, entretanto, tende a quebrar mais repentinamente do que a camada turbulenta.

Aerodinâmica

Ludwig Prandtl

Perfil de velocidade da camada limite laminar

A camada limite aerodinâmica foi definida pela primeira vez por Ludwig Prandtl em um artigo apresentado em 12 de agosto de 1904 no terceiro Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg, Alemanha . Ele simplifica as equações do fluxo de fluido dividindo o campo de fluxo em duas áreas: uma dentro da camada limite, dominada pela viscosidade e criando a maior parte do arrasto experimentado pelo corpo limite; e uma fora da camada limite, onde a viscosidade pode ser desprezada sem efeitos significativos na solução. Isso permite uma solução de forma fechada para o fluxo em ambas as áreas, uma simplificação significativa das equações completas de Navier-Stokes . A maior parte da transferência de calor de e para um corpo também ocorre dentro da camada limite, novamente permitindo que as equações sejam simplificadas no campo de fluxo fora da camada limite. A distribuição de pressão ao longo da camada limite na direção normal à superfície (como um aerofólio ) permanece constante ao longo da camada limite e é a mesma que na própria superfície.

A espessura da camada limite de velocidade é normalmente definida como a distância do corpo sólido até o ponto no qual a velocidade do fluxo viscoso é 99% da velocidade do fluxo livre (a velocidade da superfície de um fluxo invíscido). Espessura de deslocamento é uma definição alternativa afirmando que a camada limite representa um déficit no fluxo de massa em comparação com o fluxo invíscido com deslizamento na parede. É a distância pela qual a parede teria que ser deslocada na caixa invíscida para dar o mesmo fluxo de massa total que a caixa viscosa. A condição de não escorregamento requer que a velocidade do fluxo na superfície de um objeto sólido seja zero e a temperatura do fluido seja igual à temperatura da superfície. A velocidade do fluxo aumentará rapidamente dentro da camada limite, governada pelas equações da camada limite abaixo.

A espessura da camada limite térmica é similarmente a distância do corpo em que a temperatura é de 99% da temperatura do fluxo livre. A proporção das duas espessuras é governada pelo número de Prandtl . Se o número de Prandtl for 1, as duas camadas limite têm a mesma espessura. Se o número de Prandtl for maior que 1, a camada limite térmica é mais fina do que a camada limite de velocidade. Se o número de Prandtl for menor que 1, que é o caso do ar em condições padrão, a camada limite térmica é mais espessa do que a camada limite de velocidade.

Em projetos de alto desempenho, como planadores e aeronaves comerciais, muita atenção é dada ao controle do comportamento da camada limite para minimizar o arrasto. Dois efeitos devem ser considerados. Em primeiro lugar, a camada limite aumenta a espessura efetiva do corpo, através da espessura de deslocamento , aumentando assim o arrasto de pressão. Em segundo lugar, as forças de cisalhamento na superfície da asa criam arrasto de fricção superficial .

Em números de Reynolds altos , típicos de aeronaves de tamanho normal, é desejável ter uma camada limite laminar . Isso resulta em uma menor fricção da pele devido ao perfil de velocidade característico do fluxo laminar. No entanto, a camada limite inevitavelmente engrossa e torna-se menos estável à medida que o fluxo se desenvolve ao longo do corpo e, eventualmente, torna-se turbulento , processo conhecido como transição da camada limite . Uma maneira de lidar com esse problema é sugar a camada limite através de uma superfície porosa (consulte Sucção da camada limite ). Isso pode reduzir o arrasto, mas geralmente é impraticável devido à sua complexidade mecânica e à potência necessária para mover o ar e eliminá-lo. As técnicas de fluxo laminar natural (FLN) empurram a transição da camada limite para trás, remodelando o aerofólio ou fuselagem de modo que seu ponto mais espesso fique mais para trás e menos espesso. Isso reduz as velocidades na parte dianteira e o mesmo número de Reynolds é obtido com um comprimento maior.

Em números de Reynolds mais baixos , como aqueles vistos com aeromodelos, é relativamente fácil manter o fluxo laminar. Isso proporciona baixa fricção na pele, o que é desejável. No entanto, o mesmo perfil de velocidade que dá à camada limite laminar sua baixa fricção na pele também faz com que ela seja seriamente afetada por gradientes de pressão adversos . À medida que a pressão começa a se recuperar na parte traseira da corda da asa, uma camada limite laminar tende a se separar da superfície. Essa separação do fluxo causa um grande aumento no arrasto de pressão , uma vez que aumenta muito o tamanho efetivo da seção da asa. Nestes casos, pode ser vantajoso deslocar deliberadamente a camada limite para turbulência em um ponto anterior ao local da separação laminar, usando um turbulador . O perfil de velocidade mais completo da camada limite turbulenta permite que ela sustente o gradiente de pressão adverso sem se separar. Assim, embora a fricção da pele aumente, o arrasto geral diminui. Este é o princípio por trás das ondulações em bolas de golfe, bem como geradores de vórtice em aeronaves. As seções especiais da asa também foram projetadas para ajustar a recuperação da pressão, de forma que a separação laminar seja reduzida ou mesmo eliminada. Isso representa um compromisso ideal entre o arrasto de pressão da separação do fluxo e a fricção da pele da turbulência induzida.

Ao usar meios-modelos em túneis de vento, às vezes é usado um peniche para reduzir ou eliminar o efeito da camada limite.

Equações da camada limite

A dedução das equações da camada limite foi um dos avanços mais importantes na dinâmica dos fluidos. Usando uma análise de ordem de magnitude , as bem conhecidas equações governantes de Navier-Stokes de fluxo de fluido viscoso podem ser bastante simplificadas dentro da camada limite. Notavelmente, a característica das equações diferenciais parciais (PDE) torna-se parabólica, em vez da forma elíptica das equações de Navier-Stokes completas. Isso simplifica muito a solução das equações. Ao fazer a aproximação da camada limite, o fluxo é dividido em uma parte invíscida (que é fácil de resolver por vários métodos) e a camada limite, que é governada por um PDE mais fácil de resolver . A continuidade e as equações de Navier-Stokes para um fluxo incompressível estável bidimensional em coordenadas cartesianas são dadas por

${\ displaystyle {\ parcial u \ over \ parcial x} + {\ parcial \ upsilon \ over \ parcial y} = 0}$

${\ displaystyle u {\ parcial u \ over \ partial x} + \ upsilon {\ parcial u \ over \ parcial y} = - {1 \ over \ rho} {\ parcial p \ over \ parcial x} + {\ nu } \ left ({\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} u \ over \ parcial y ^ {2}} \ right)}$

${\ displaystyle u {\ partial \ upsilon \ over \ partial x} + \ upsilon {\ partial \ upsilon \ over \ partial y} = - {1 \ over \ rho} {\ partial p \ over \ partial y} + { \ nu} \ left ({\ partial ^ {2} \ upsilon \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} \ upsilon \ over \ partial y ^ {2}} \ right)}$

onde e são os componentes de velocidade, é a densidade, é a pressão e é a viscosidade cinemática do fluido em um ponto. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ upsilon}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ nu}$

A aproximação afirma que, para um número de Reynolds suficientemente alto, o fluxo sobre uma superfície pode ser dividido em uma região externa de fluxo invíscido não afetado pela viscosidade (a maioria do fluxo) e uma região próxima à superfície onde a viscosidade é importante (o camada limite). Let and be streamwise e velocidades transversais (parede normal), respectivamente, dentro da camada limite. Usando a análise de escala , pode ser mostrado que as equações de movimento acima reduzem dentro da camada limite para se tornar ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ upsilon}$

${\ displaystyle u {\ parcial u \ over \ partial x} + \ upsilon {\ parcial u \ over \ parcial y} = - {1 \ over \ rho} {\ parcial p \ over \ parcial x} + {\ nu } {\ parcial ^ {2} u \ sobre \ parcial y ^ {2}}}$

${\ displaystyle {1 \ over \ rho} {\ partial p \ over \ partial y} = 0}$

e se o fluido for incompressível (já que os líquidos estão sob condições padrão):

${\ displaystyle {\ parcial u \ over \ parcial x} + {\ parcial \ upsilon \ over \ parcial y} = 0}$

A análise de ordem de magnitude assume a escala de comprimento do fluxo significativamente maior do que a escala de comprimento transversal dentro da camada limite. Segue-se que as variações nas propriedades na direção do fluxo são geralmente muito mais baixas do que aquelas na direção normal da parede. Aplicar isso à equação de continuidade mostra que , a velocidade normal da parede, é pequena comparada com a velocidade da corrente. ${\ displaystyle \ upsilon}$${\ displaystyle u}$

Uma vez que a pressão estática é independente de , então a pressão na borda da camada limite é a pressão em toda a camada limite em uma determinada posição do fluxo. A pressão externa pode ser obtida através da aplicação da equação de Bernoulli . Let ser a velocidade do fluido fora da camada limite, onde e são paralelos. Isso dá ao substituir o seguinte resultado ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle u {\ parcial u \ over \ partial x} + \ upsilon {\ parcial u \ over \ parcial y} = U {\ frac {dU} {dx}} + {\ nu} {\ parcial ^ {2 } u \ over \ parcial y ^ {2}}}$

Para um fluxo em que a pressão estática também não muda na direção do fluxo ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ frac {dp} {dx}} = 0}$

então permanece constante. ${\ displaystyle U}$

Portanto, a equação do movimento simplifica para se tornar

${\ displaystyle u {\ parcial u \ sobre \ parcial x} + \ upsilon {\ parcial u \ sobre \ parcial y} = {\ nu} {\ parcial ^ {2} u \ sobre \ parcial y ^ {2}} }$

Essas aproximações são usadas em uma variedade de problemas práticos de fluxo de interesse científico e de engenharia. A análise acima é para qualquer camada limite laminar ou turbulenta instantânea , mas é usada principalmente em estudos de fluxo laminar, uma vez que o fluxo médio também é o fluxo instantâneo porque não há flutuações de velocidade presentes. Esta equação simplificada é uma PDE parabólica e pode ser resolvida usando uma solução de similaridade frequentemente chamada de camada limite de Blasius .

Teorema de transposição de Prandtl

Prandtl observou que de qualquer solução que satisfaça as equações da camada limite, outra solução , que também satisfaça as equações da camada limite, pode ser construída escrevendo ${\ displaystyle u (x, y, t), \ v (x, y, t)}$${\ displaystyle u ^ {*} (x, y, t), \ v ^ {*} (x, y, t)}$

${\ displaystyle u ^ {*} (x, y, t) = u (x, y + f (x), t), \ quad v ^ {*} (x, y, t) = v (x, y + f (x), t) -f '(x) u (x, y + f (x), t)}$

onde é arbitrário. Uma vez que a solução não é única do ponto de vista matemático, à solução pode ser adicionado qualquer um de um conjunto infinito de autofunções, conforme mostrado por Stewartson e Paul A. Libby . ${\ displaystyle f (x)}$

Von Kármán momentum integral

Von Kármán derivou a equação integral integrando a equação da camada limite através da camada limite em 1921. A equação é

${\ displaystyle {\ frac {\ tau _ {w}} {\ rho U ^ {2}}} = {\ frac {1} {U ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t }} (U \ delta _ {1}) + {\ frac {\ parcial \ delta _ {2}} {\ parcial x}} + {\ frac {2 \ delta _ {2} + \ delta _ {1} } {U}} {\ frac {\ partial U} {\ partial x}} + {\ frac {v_ {w}} {U}}}$

Onde

${\ displaystyle \ tau _ {w} = \ mu \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) _ {y = 0}, \ quad v_ {w} = v (x, 0, t), \ quad \ delta _ {1} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {u} {U}} \ right) \, dy, \ quad \ delta _ {2} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {u} {U}} \ left (1 - {\ frac {u} {U}} \ right) \, dy}$

${\ displaystyle \ tau _ {w}}$é a tensão de cisalhamento da parede, é a velocidade de sucção / injeção na parede, é a espessura de deslocamento e é a espessura do momento. A aproximação de Kármán – Pohlhausen é derivada desta equação.${\ displaystyle v_ {w}}$${\ displaystyle \ delta _ {1}}$${\ displaystyle \ delta _ {2}}$

Integral de energia

A integral de energia foi derivada por Wieghardt .

${\ displaystyle {\ frac {2 \ varepsilon} {\ rho U ^ {3}}} = {\ frac {1} {U}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ delta _ { 1} + \ delta _ {2}) + {\ frac {2 \ delta _ {2}} {U ^ {2}}} {\ frac {\ parcial U} {\ parcial t}} + {\ frac { 1} {U ^ {3}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (U ^ {3} \ delta _ {3}) + {\ frac {v_ {w}} {U}} }$

Onde

${\ displaystyle \ varepsilon = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mu \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right) ^ {2} dy, \ quad \ delta _ {3} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {u} {U}} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {U ^ {2}}} \ right ) \, dy}$

${\ displaystyle \ varepsilon}$é a taxa de dissipação de energia devido à viscosidade através da camada limite e é a espessura da energia.${\ displaystyle \ delta _ {3}}$

Transformação de Von Mises

Para camadas limites bidimensionais estáveis, von Mises introduziu uma transformação que leva e ( função de fluxo ) como variáveis ​​independentes em vez de e e usa uma variável dependente em vez de . A equação da camada limite então se torna ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ chi = U ^ {2} -u ^ {2}}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ chi} {\ partial x}} = \ nu {\ sqrt {U ^ {2} - \ chi}} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi} {\ parcial \ psi ^ {2}}}}$

As variáveis ​​originais são recuperadas de

${\ displaystyle y = \ int {\ sqrt {U ^ {2} - \ chi}} \, d \ psi, \ quad u = {\ sqrt {U ^ {2} - \ chi}}, \ quad v = u \ int {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {1} {u}} \ right) \, d \ psi.}$

Esta transformação é posteriormente estendida à camada limite compressível por von Kármán e HS Tsien .

Transformação de Crocco

Para camada limite compressível bidimensional constante, Luigi CROCCO introduzida uma transformação que leva e como variáveis independentes em vez de e e utiliza uma variável dependente (tensão de corte), em vez de . A equação da camada limite então se torna ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ tau = \ mu \ parcial u / \ parcial y}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ mu \ rho u {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {1} {\ tau}} \ right) + {\ frac { \ parcial ^ {2} \ tau} {\ parcial u ^ {2}}} - \ mu {\ frac {dp} {dx}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial u}} \ esquerda ({\ frac {1} {\ tau}} \ right) = 0, \\ [5pt] & {\ text {if}} {\ frac {dp} {dx}} = 0, {\ text {then}} {\ frac {\ mu \ rho} {\ tau ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ tau} {\ partial x}} = {\ frac {1} {u}} {\ frac {\ partial ^ { 2} \ tau} {\ parcial u ^ {2}}}. \ End {alinhado}}}$

A coordenada original é recuperada de

${\ displaystyle y = \ mu \ int {\ frac {du} {\ tau}}.}$

Camadas limite turbulentas

O tratamento de camadas limite turbulentas é muito mais difícil devido à variação dependente do tempo das propriedades de fluxo. Uma das técnicas mais amplamente utilizadas em que os fluxos turbulentos são enfrentados é a aplicação da decomposição de Reynolds . Aqui, as propriedades de fluxo instantâneo são decompostas em um componente médio e flutuante com a suposição de que a média do componente flutuante é sempre zero. A aplicação desta técnica às equações da camada limite fornece as equações completas da camada limite turbulenta, muitas vezes não fornecidas na literatura:

${\ displaystyle {\ partial {\ overline {u}} \ over \ partial x} + {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial y} = 0}$

${\ displaystyle {\ overline {u}} {\ parcial {\ overline {u}} \ over \ partial x} + {\ overline {v}} {\ partial {\ overline {u}} \ over \ partial y} = - {1 \ over \ rho} {\ parcial {\ overline {p}} \ over \ partial x} + \ nu \ left ({\ partial ^ {2} {\ overline {u}} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} {\ overline {u}} \ over \ parcial y ^ {2}} \ direita) - {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} ({\ overline {u'v '}}) - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} ({\ overline {u' ^ {2}}})}$

${\ displaystyle {\ overline {u}} {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial x} + {\ overline {v}} {\ partial {\ overline {v}} \ over \ partial y} = - {1 \ over \ rho} {\ parcial {\ overline {p}} \ over \ parcial y} + \ nu \ left ({\ partial ^ {2} {\ overline {v}} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} {\ overline {v}} \ over \ parcial y ^ {2}} \ direita) - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} ({\ overline {u'v '}}) - {\ frac {\ partial} {\ partial y}} ({\ overline {v' ^ {2}}})}$

Usando uma análise de ordem de magnitude semelhante, as equações acima podem ser reduzidas a termos de ordem principal. Ao escolher escalas de comprimento para mudanças na direção transversal e para mudanças na direção do fluxo, com , a equação de momento x simplifica para: ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ delta << L}$

${\ displaystyle {\ overline {u}} {\ partial {\ overline {u}} \ over \ partial x} + {\ overline {v}} {\ partial {\ overline {u}} \ over \ partial y} = - {1 \ over \ rho} {\ partial {\ overline {p}} \ over \ partial x} - {\ frac {\ partial} {\ partial y}} ({\ overline {u'v '}} ).}$

Esta equação não satisfaz a condição de não escorregamento na parede. Como Prandtl fez para suas equações da camada limite, uma nova escala de comprimento menor deve ser usada para permitir que o termo viscoso se torne a ordem principal na equação do momento. Ao escolher como escala y , a equação de momento de ordem líder para esta "camada limite interna" é dada por: ${\ displaystyle \ eta << \ delta}$

${\ displaystyle 0 = - {1 \ over \ rho} {\ partial {\ overline {p}} \ over \ partial x} + {\ nu} {\ partial ^ {2} {\ overline {u}} \ over \ parcial y ^ {2}} - {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} ({\ overline {u'v '}}).}$

No limite do número de Reynolds infinito, o termo gradiente de pressão pode ser mostrado como não tendo efeito na região interna da camada limite turbulenta. A nova "escala de comprimento interna" é uma escala de comprimento viscosa, e é de ordem , sendo a escala de velocidade das flutuações turbulentas, neste caso uma velocidade de atrito . ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle {\ frac {\ nu} {u _ {*}}}}$${\ displaystyle u _ {*}}$

Ao contrário das equações da camada limite laminar, a presença de dois regimes governados por diferentes conjuntos de escalas de fluxo (ou seja, a escala interna e externa) tornou difícil e controversa encontrar uma solução de similaridade universal para a camada limite turbulenta. Para encontrar uma solução de similaridade que abrange ambas as regiões do fluxo, é necessário combinar assintoticamente as soluções de ambas as regiões do fluxo. Tal análise produzirá a chamada lei de log ou lei de potência .

O termo adicional nas equações da camada limite turbulenta é conhecido como tensão de cisalhamento de Reynolds e é desconhecido a priori . A solução das equações da camada limite turbulenta requer, portanto, o uso de um modelo de turbulência , que visa expressar a tensão de cisalhamento de Reynolds em termos de variáveis ​​de fluxo conhecidas ou derivadas. A falta de precisão e generalidade de tais modelos é um grande obstáculo na previsão bem-sucedida das propriedades de fluxo turbulento na dinâmica de fluidos moderna. ${\ displaystyle {\ overline {u'v '}}}$

Uma camada de tensão constante existe na região próxima à parede. Devido ao amortecimento das flutuações da velocidade vertical perto da parede, o termo de tensão de Reynolds se tornará desprezível e descobrimos que existe um perfil de velocidade linear. Isso só é verdade para a região da parede muito próxima .

Transferência de calor e massa

Em 1928, o engenheiro francês André Lévêque observou que a transferência de calor por convecção em um fluido em escoamento é afetada apenas pelos valores de velocidade muito próximos à superfície. Para fluxos de grande número de Prandtl, a transição de temperatura / massa da temperatura da superfície para a temperatura do fluxo livre ocorre em uma região muito fina próxima à superfície. Portanto, as velocidades de fluido mais importantes são aquelas dentro dessa região muito fina, na qual a mudança na velocidade pode ser considerada linear com a distância normal da superfície. Desta forma, para

${\ displaystyle u (y) = U \ left [1 - {\ frac {(yh) ^ {2}} {h ^ {2}}} \ right] = U {\ frac {y} {h}} \ esquerda [2 - {\ frac {y} {h}} \ direita] \ ;,}$

quando então ${\ displaystyle y \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle u (y) \ approx 2U {\ frac {y} {h}} = \ theta y,}$

onde θ é a tangente da parábola de Poiseuille que cruza a parede. Embora a solução de Lévêque fosse específica para a transferência de calor para um fluxo de Poiseuille, sua visão ajudou a levar outros cientistas a uma solução exata para o problema da camada limite térmica. Schuh observou que em uma camada limite, u é novamente uma função linear de y , mas, neste caso, a tangente da parede é uma função de x . Ele expressou isso com uma versão modificada do perfil de Lévêque,

${\ displaystyle u (y) = \ theta (x) y.}$

Isso resulta em uma aproximação muito boa, mesmo para números baixos , de modo que apenas metais líquidos com muito menos que 1 não podem ser tratados dessa maneira. Em 1962, Kestin e Persen publicaram um artigo descrevendo soluções para transferência de calor quando a camada limite térmica está contida inteiramente dentro da camada de momentum e para várias distribuições de temperatura de parede. Para o problema de uma placa plana com um salto de temperatura , eles propõem uma substituição que reduz a equação da camada limite térmica parabólica a uma equação diferencial ordinária. A solução para esta equação, a temperatura em qualquer ponto do fluido, pode ser expressa como uma função gama incompleta . Schlichting propôs uma substituição equivalente que reduz a equação da camada limite térmica a uma equação diferencial ordinária cuja solução é a mesma função gama incompleta. ${\ displaystyle Pr}$${\ displaystyle Pr}$${\ displaystyle x = x_ {0}}$

Constantes de transferência convectivas da análise da camada limite

Paul Richard Heinrich Blasius derivou uma solução exata para as equações da camada limite laminar acima . A espessura da camada limite é uma função do número de Reynolds para fluxo laminar. ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ delta \ approx 5.0 {x \ over {\ sqrt {Re}}}}$

${\ displaystyle \ delta}$= a espessura da camada limite: a região de fluxo onde a velocidade é inferior a 99% da velocidade do campo distante ; é a posição ao longo da placa semi-infinita e é o Número de Reynolds dado por ( densidade e viscosidade dinâmica).${\ displaystyle v _ {\ infty}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Re}$${\ displaystyle \ rho v _ {\ infty} x / \ mu}$${\ displaystyle \ rho =}$${\ displaystyle \ mu =}$

A solução Blasius usa condições de contorno em uma forma adimensional:

${\ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} \ over v _ {\ infty} -v_ {S}} = {v_ {x} \ over v _ {\ infty}} = {v_ {y} \ over v_ { \ infty}} = 0}$     no     ${\ displaystyle y = 0}$

${\ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} \ over v _ {\ infty} -v_ {S}} = {v_ {x} \ over v _ {\ infty}} = 1}$     em e     ${\ displaystyle y = \ infty}$${\ displaystyle x = 0}$

A camada limite de velocidade (superior, laranja) e a camada limite de temperatura (inferior, verde) compartilham uma forma funcional devido à semelhança nos balanços de momento / energia e nas condições de limite.

Observe que, em muitos casos, a condição de limite de não escorregamento mantém que a velocidade do fluido na superfície da placa é igual à velocidade da placa em todos os locais. Se a placa não estiver se movendo, então . Uma derivação muito mais complicada é necessária se o deslizamento de fluido for permitido. ${\ displaystyle v_ {S}}$${\ displaystyle v_ {S} = 0}$

Na verdade, a solução Blasius para o perfil de velocidade laminar na camada limite acima de uma placa semi-infinita pode ser facilmente estendida para descrever as camadas limite térmica e de concentração para transferência de calor e massa, respectivamente. Em vez do equilíbrio diferencial de momento x (equação do movimento), ele usa um equilíbrio de energia e massa derivado de forma semelhante:

Energia:         ${\ displaystyle v_ {x} {\ parcial T \ over \ parcial x} + v_ {y} {\ parcial T \ over \ parcial y} = {k \ over \ rho C_ {p}} {\ parcial ^ {2 } T \ over \ parcial y ^ {2}}}$

Massa:           ${\ displaystyle v_ {x} {\ parcial c_ {A} \ over \ parcial x} + v_ {y} {\ parcial c_ {A} \ over \ parcial y} = D_ {AB} {\ parcial ^ {2} c_ {A} \ over \ parcial y ^ {2}}}$

Para o equilíbrio do momento, a viscosidade cinemática pode ser considerada como a difusividade do momento . No balanço de energia, isso é substituído pela difusividade térmica e pela difusividade de massa no balanço de massa. Na difusividade térmica de uma substância, está a sua condutividade térmica, está a sua densidade e é a sua capacidade térmica. O subscrito AB denota difusividade da espécie A difundindo-se na espécie B. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ alpha = {k / \ rho C_ {P}}}$${\ displaystyle D_ {AB}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle C_ {P}}$

Partindo do pressuposto de que , essas equações tornam-se equivalentes ao equilíbrio do momento. Assim, para o número de Prandtl e o número de Schmidt, a solução de Blasius se aplica diretamente. ${\ displaystyle \ alpha = D_ {AB} = \ nu}$${\ displaystyle Pr = \ nu / \ alpha = 1}$${\ displaystyle Sc = \ nu / D_ {AB} = 1}$

Consequentemente, esta derivação usa uma forma relacionada das condições de contorno, substituindo por ou (temperatura absoluta ou concentração da espécie A). O subscrito S denota uma condição de superfície. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle c_ {A}}$

${\ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} \ over v _ {\ infty} -v_ {S}} = {T-T_ {S} \ over T _ {\ infty} -T_ {S}} = {c_ {A} -c_ {AS} \ over c_ {A \ infty} -c_ {AS}} = 0}$     no     ${\ displaystyle y = 0}$

${\ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} \ over v _ {\ infty} -v_ {S}} = {T-T_ {S} \ over T _ {\ infty} -T_ {S}} = {c_ {A} -c_ {AS} \ over c_ {A \ infty} -c_ {AS}} = 1}$     em e     ${\ displaystyle y = \ infty}$${\ displaystyle x = 0}$

Usando a função aerodinâmica, Blasius obteve a seguinte solução para a tensão de cisalhamento na superfície da placa.

${\ displaystyle \ tau _ {0} = \ left ({\ partial v_ {x} \ over \ partial y} \ right) _ {y = 0} = 0,332 {v _ {\ infty} \ over x} Re ^ { 1/2}}$

E por meio das condições de contorno, sabe-se que

${\ displaystyle {v_ {x} -v_ {S} \ over v _ {\ infty} -v_ {S}} = {T-T_ {S} \ over T _ {\ infty} -T_ {S}} = {c_ {A} -c_ {AS} \ over c_ {A \ infty} -c_ {AS}}}$

Recebemos as seguintes relações para fluxo de calor / massa para fora da superfície da placa

${\ displaystyle \ left ({\ partial T \ over \ partial y} \ right) _ {y = 0} = 0,332 {T _ {\ infty} -T_ {S} \ over x} Re ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ left ({\ partial c_ {A} \ over \ partial y} \ right) _ {y = 0} = 0,332 {c_ {A \ infty} -c_ {AS} \ over x} Re ^ {1 / 2}}$

Então para ${\ displaystyle Pr = Sc = 1}$

${\ displaystyle \ delta = \ delta _ {T} = \ delta _ {c} = {5.0x \ over {\ sqrt {Re}}}}$

onde estão as regiões de fluxo onde e são menos de 99% de seus valores de campo distante. ${\ displaystyle \ delta _ {T}, \ delta _ {c}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle c_ {A}}$

Como o número de Prandtl de um determinado fluido nem sempre é a unidade, o engenheiro alemão E. Polhausen, que trabalhou com Ludwig Prandtl, tentou estender empiricamente essas equações para aplicá-las . Seus resultados também podem ser aplicados . Ele descobriu que para o número de Prandtl maior que 0,6, a espessura da camada limite térmica era aproximadamente dada por: ${\ displaystyle Pr \ neq 1}$${\ displaystyle Sc}$

Gráfico mostrando a espessura relativa na camada limite térmica versus a camada limite Velocidade (em vermelho) para vários números de Prandtl. Pois , os dois são iguais.${\ displaystyle Pr = 1}$

${\ displaystyle {\ delta \ over \ delta _ {T}} = Pr ^ {1/3}}$          e portanto          ${\ displaystyle {\ delta \ over \ delta _ {c}} = Sc ^ {1/3}}$

A partir desta solução, é possível caracterizar as constantes convectivas de transferência de calor / massa com base na região de escoamento da camada limite. A lei de condução de Fourier e a lei de resfriamento de Newton são combinadas com o termo de fluxo derivado acima e a espessura da camada limite.

${\ displaystyle {q \ over A} = - k \ left ({\ parcial T \ over \ parcial y} \ right) _ {y = 0} = h_ {x} (T_ {S} -T _ {\ infty} )}$

${\ displaystyle h_ {x} = 0,332 {k \ over x} Re_ {x} ^ {1/2} Pr ^ {1/3}}$

Isso nos dá a constante convectiva local em um ponto no plano semi-infinito. A integração ao longo do comprimento da placa dá uma média ${\ displaystyle h_ {x}}$

${\ displaystyle h_ {L} = 0,664 {k \ over x} Re_ {L} ^ {1/2} Pr ^ {1/3}}$

Seguindo a derivação com termos de transferência de massa ( = constante de transferência de massa convectiva, = difusividade da espécie A na espécie B ), as seguintes soluções são obtidas: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle D_ {AB}}$${\ displaystyle Sc = \ nu / D_ {AB}}$

${\ displaystyle k '_ {x} = 0,332 {D_ {AB} \ over x} Re_ {x} ^ {1/2} Sc ^ {1/3}}$

${\ displaystyle k '_ {L} = 0,664 {D_ {AB} \ over x} Re_ {L} ^ {1/2} Sc ^ {1/3}}$

Essas soluções se aplicam a fluxo laminar com um número de Prandtl / Schmidt maior que 0,6.

Arquitetura naval

Muitos dos princípios que se aplicam a aeronaves também se aplicam a navios, submarinos e plataformas offshore.

Para navios, ao contrário de aeronaves, trata-se de fluxos incompressíveis, onde a mudança na densidade da água é insignificante (um aumento de pressão próximo a 1000kPa leva a uma mudança de apenas 2–3 kg / m ³ ). Este campo da dinâmica dos fluidos é denominado hidrodinâmica. Um engenheiro naval projeta primeiro para a hidrodinâmica e só depois para a resistência. O desenvolvimento, a quebra e a separação da camada limite tornam-se críticos porque a alta viscosidade da água produz altas tensões de cisalhamento. Outra consequência da alta viscosidade é o efeito de deslizamento, no qual o navio se move como uma lança rasgando uma esponja em alta velocidade.

Turbina de camada limite

Esse efeito foi explorado na turbina Tesla , patenteada por Nikola Tesla em 1913. É conhecida como turbina sem pás porque usa o efeito de camada limite e não um fluido colidindo com as pás como em uma turbina convencional. As turbinas de camada limite também são conhecidas como turbina do tipo coesão, turbina sem pás e turbina de camada de Prandtl (em homenagem a Ludwig Prandtl ).

Previsão da espessura da camada limite transitória em um cilindro usando análise dimensional

Usando as equações de força transiente e viscosa para um fluxo cilíndrico, você pode prever a espessura da camada limite transitória encontrando o Número de Womersley ( ). ${\ displaystyle N_ {w}}$

Força Transiente = ${\ displaystyle \ rho vw}$

Força Viscosa = ${\ displaystyle {\ mu v \ over \ delta _ {1} ^ {2}}}$

Configurá-los iguais uns aos outros dá:

${\ displaystyle \ rho vw = {\ mu v \ over \ delta _ {1} ^ {2}}}$

A resolução para delta dá:

${\ displaystyle \ delta _ {1} = {\ sqrt {\ mu \ over \ rho w}} = {\ sqrt {\ v \ over \ w}}}$

Na forma adimensional:

${\ displaystyle {L \ over \ delta _ {1}} = {L {\ sqrt {w \ over \ v}}} = N_ {w}}$

onde = Número de Womersley; = densidade; = velocidade;  ?; = comprimento da camada limite transitória; = viscosidade; = comprimento característico. ${\ displaystyle N_ {w}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w =}$${\ displaystyle \ delta _ {1}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle L}$

Previsão de condições de fluxo convectivo na camada limite em um cilindro usando análise dimensional

Usando as equações de força convectiva e viscosa na camada limite para um fluxo cilíndrico, você pode prever as condições de fluxo convectivo na camada limite encontrando o Número de Reynolds adimensional ( ). ${\ displaystyle Re}$

Força convectiva: ${\ displaystyle \ rho v ^ {2} \ over \ L}$

Força viscosa: ${\ displaystyle {\ mu v \ over \ delta _ {2} ^ {2}}}$

Configurá-los iguais uns aos outros dá:

${\ displaystyle {\ rho v ^ {2} \ over \ L} = {\ mu v \ over \ delta _ {2} ^ {2}}}$

A resolução para delta dá:

${\ displaystyle \ delta _ {2} = {\ sqrt {\ mu L \ over \ rho v}}}$

Na forma adimensional:

${\ displaystyle {L \ over \ delta _ {2}} = {\ sqrt {\ rho vL \ over \ mu}} = {\ sqrt {Re}}}$

onde = Número de Reynolds; = densidade; = velocidade; = comprimento da camada limite convectiva; = viscosidade; = comprimento característico. ${\ displaystyle Re}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ delta _ {2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle L}$

Ingestão da camada limite

A ingestão da camada limite promete um aumento na eficiência de combustível da aeronave com um propulsor montado na popa ingerindo a camada limite da fuselagem lenta e reenergizando a esteira para reduzir o arrasto e melhorar a eficiência propulsiva . Para operar em fluxo de ar distorcido, o ventilador é mais pesado e sua eficiência é reduzida, e sua integração é desafiadora. É usado em conceitos como o Aurora D8 ou a agência de pesquisa francesa Onera 's Nova, economizando 5% em cruzeiro ao ingerir 40% da camada limite da fuselagem.

A Airbus apresentou o conceito Nautilius no congresso ICAS em setembro de 2018: para ingerir toda a camada limite da fuselagem, ao mesmo tempo em que minimiza a distorção do fluxo azimutal , a fuselagem se divide em dois fusos com ventiladores de razão de desvio de 13-18: 1 . As eficiências propulsivas são de até 90% como rotores abertos em contra-rotação com motores menores, mais leves, menos complexos e barulhentos. Ele poderia reduzir a queima de combustível em mais de 10% em comparação com um motor de relação de desvio de 15: 1 sob as asas usual.

Veja também

• Separação da camada limite
• Espessura da camada limite
• Espessura e forma da camada limite térmica
• Sucção da camada limite
• Controle de camada limite
• Microfone de limite
• Camada limite de Blasius
• Camada limite de Falkner-Skan
• Camada Ekman
• Camada limite planetária
• Teoria de perturbação
• Lei logarítmica da parede
• Fator de forma (fluxo da camada limite)
• Tensão de cisalhamento
• Camada superficial

Referências

• Chanson, H. (2009). Hidrodinâmica aplicada: uma introdução aos fluxos de fluidos ideais e reais . CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Holanda, 478 páginas. ISBN 978-0-415-49271-3.
• AD Polyanin and VF Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton - Londres, 2004. ISBN  1-58488-355-3
• AD Polyanin, AM Kutepov, AV Vyazmin e DA Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering , Taylor & Francis, Londres, 2002. ISBN  0-415-27237-8
• Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes "Boundary-Layer Theory" 8ª edição Springer 2004 ISBN  3-540-66270-7
• John D. Anderson, Jr., "Ludwig Prandtl's Boundary Layer" , Physics Today , dezembro de 2005
• Anderson, John (1992). Fundamentals of Aerodynamics (2ª ed.). Toronto: SSCHAND. pp. 711–714. ISBN 0-07-001679-8.
• H. Tennekes e JL Lumley , "A First Course in Turbulence", The MIT Press, (1972).
• Palestras em Turbulência para o Século 21 por William K. George

links externos

• National Science Digital Library - Camada de limite
• Moore, Franklin K., " Efeito de deslocamento de uma camada limite tridimensional ". Relatório NACA 1124, 1953.
• Benson, Tom, " Camada limite ". NASA Glenn Learning Technologies.
• Separação da camada limite
• Equações da camada limite: Soluções exatas - do EqWorld
• Jones, TV BOUNDARY LAYER HEAT TRANSFER